初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)圖形的相似-相似三角形的性質(zhì)

1.理解并掌握相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，并運(yùn)用其解決問(wèn)題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.理解相似三角形面積的比等于相似比的平方，并運(yùn)用其解決問(wèn)題.(重點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.相似三角形的判定方法有哪幾種？?定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似?平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似?三邊成比例的兩個(gè)三角形相似?兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似?兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似?一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似2.三角形除了三個(gè)角，三條邊外，還有哪些要素?如果兩個(gè)三角形相似，那么，對(duì)應(yīng)的這些要素有什么關(guān)系呢？高中線角平分線周長(zhǎng)面積

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少？講授新課相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比一ABCA'B'C'合作探究類似地，可以證明相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.由此我們可以得到：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.一般地，我們有：

相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.歸納：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.ABCA'B'C'D'D∴例1

例1、在比例尺為1：500的地圖上，測(cè)得一個(gè)三角形地塊ABC的周長(zhǎng)為12cm，面積為6cm2．求這個(gè)地塊的實(shí)際周長(zhǎng)和面積．典例精析1.兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3，它們的對(duì)應(yīng)角平分線之比為_(kāi)_______，周長(zhǎng)之比為_(kāi)______，面積之比為_(kāi)______2.

若兩個(gè)三角形面積之比為16：9，則它們的對(duì)高之比為_(kāi)____，對(duì)應(yīng)中線之比為_(kāi)______

3.兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，周長(zhǎng)之差為6，則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)分別為_(kāi)_________練一練

相似三角形的周長(zhǎng)比也等于相似比嗎？為什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而相似三角形面積的比二

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？合作探究ABCA'B'C'由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D相似三角形面積的比等于相似比的平方．由此得出：歸納：1.已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格：相似比2

k……周長(zhǎng)比……面積比10000……試一試：24100100kk22.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來(lái)的______倍；(2)如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的______倍.25103.兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別是35cm、14cm，(1)它們的周長(zhǎng)差60cm，這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是________________；(2)它們的面積之和是58cm2，這兩個(gè)三角形的面積分別是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為

如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，較大三角形一邊上的高為7，則較小三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為_(kāi)_____.

練一練例3

如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

△ADE∽△ABC.又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2

.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).BCADE

如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE練一練解：∵DE∥BC，D為AB中點(diǎn)，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE=1，S△EFC=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=1.判斷：(1)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)也擴(kuò)大為原來(lái)的5倍

()(2)一個(gè)四邊形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，這個(gè)四邊形的面積也擴(kuò)大為原來(lái)的9倍

()√×當(dāng)堂練習(xí)3.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長(zhǎng)比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C4.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的中線長(zhǎng)分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長(zhǎng)是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長(zhǎng)____cm，面積為_(kāi)___cm2.145.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡(點(diǎn)A)發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2

米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，

∴△ADF∽△ACH，ADEFCBH∴即解得CH=0.9米.∴陰影部分的面積為：(平方米).答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米.6.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，則AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.7.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，S△ADE＝2S