南航戴華《矩陣論》第四章l矩陣的因子分解

第4章矩陣的因子分解4.1初等矩陣4.2滿秩分解4.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理與正規(guī)矩陣4.6奇異值分解4.1初等矩陣4.1.1初等矩陣4.1.2初等下三角矩陣4.1.3Householder矩陣4.1.1初等矩陣定義4.1.1設(shè)，σ為一復(fù)數(shù)，如下形式的矩陣稱為初等矩陣.

定理4.1.1初等矩陣E(u,v,σ)具有如下性質(zhì)：4.1.2初等下三角矩陣稱為初等下三角矩陣,即對(duì)初等下三角矩陣，當(dāng)i<j時(shí)，有用初等下三角矩陣Li左乘一個(gè)矩陣A，等于從A的第k行減去第i行乘以。對(duì)于，如果，取4.1.3Householder矩陣取u=v=w,σ=2，并且w是單位向量，即||w||=1，初等矩陣稱為Householder矩陣或初等Hermite矩陣。并且若上述條件成立，則使H(w)a=b成立的單位向量w可取為其中θ為任一實(shí)數(shù)。定理4.1.2Householder矩陣H(w)具有如下性質(zhì)：4.2滿秩分解定理4.2.1（滿秩分解定理）設(shè)m×n矩陣A的秩為r>0,則存在m×r矩陣B和r×n矩陣C使得并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩陣的滿秩分解？矩陣的滿秩分解是否存在？如果存在，滿秩分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的滿秩分解？滿秩分解有什么應(yīng)用？滿秩分解的應(yīng)用：有關(guān)結(jié)論的證明。計(jì)算廣義逆矩陣。4.3三角分解設(shè)A=(aij)是n階矩陣，如果A的對(duì)角線下(上)方的元素全為零，即對(duì)i>j,aij=0（對(duì)i<j,aij=0），則稱矩陣A為上（下）三角矩陣。上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。對(duì)角元全為1的上（下）三角矩陣稱為單位上（下）三角矩陣。什么是矩陣的LU分解？矩陣的LU分解是否存在？如果存在，LU分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的LU分解？LU分解有什么應(yīng)用？上（下）三角矩陣的性質(zhì)

定理4.3.1（LU分解定理）設(shè)A是n階非奇異矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零,即定理4.3.2（LDU分解定理）設(shè)A是n階非奇異矩陣,則存在唯一的單位下三角矩陣L，對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)和單位上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，即，并且分解式稱為矩陣A的LDU分解。一般說來，即使A是n階非奇異矩陣，A未必能作LU分解和LDU分解。定義4.3.1設(shè)ei是n階單位矩陣的第i列(i=1,2,…n)，以為列作成的矩陣稱為n階排列矩陣，其中是1,2,…n的一個(gè)排列。定理4.3.3設(shè)A是n階非奇異矩陣，則存在排列矩陣P使得其中L是單位下三角矩陣,是上三角矩陣，U是單位上三角矩陣，D是對(duì)角矩陣。排列矩陣的性質(zhì)。排列矩陣的作用。LU分解的應(yīng)用：求解線性方程組。求解矩陣特征值問題。4.4QR分解定理4.4.1設(shè)A是n階非奇異實(shí)（復(fù)）矩陣，則存在正交（酉）矩陣Q和非奇異實(shí)（復(fù)）上三角矩陣R使得且除去相差一個(gè)對(duì)角元絕對(duì)值(模)全等于1的對(duì)角矩陣因子外分解式（4.4.1）是唯一的。什么是矩陣的QR分解？矩陣的QR分解是否存在？如果存在，QR分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的QR分解？QR分解有什么應(yīng)用？定理瞇4.閑4.乎3設(shè)A是障矩陣寫，且滅，則存換在m階正繼交（僅酉）煙矩陣Q和墓行滿僻秩矩陣R使得或A有分義解定理成4.監(jiān)4.倆2設(shè)A是始實(shí)誘（復(fù)少）矩潮陣，爽且其n個(gè)列向閣量線驗(yàn)性無圍關(guān)，除則存臺(tái)在m階正酒交（舞酉）怕矩陣Q和n階非延奇異京實(shí)（撫復(fù)）勇上三重角矩桌陣R使得QR分解引的應(yīng)截用：求解瓜線性廳方程附組。求解進(jìn)矩陣檢特征燃值問煉題。求解本線性挎最小兼二乘鏟問題。4.突5Sc白hu自r定理控與正缺規(guī)矩加陣定義傷4.鍋5.漏1則稱A正交糠（酉罵）相宅似于B。定理克4.耐5.治1(Sc代hu哀r定理或)任何奧一個(gè)n階復(fù)當(dāng)矩陣A都酉問相似于擔(dān)一個(gè)謹(jǐn)上三液角矩泄陣，放即存厘在一語個(gè)n階酉諸矩陣U和一個(gè)n階上尺三角盯矩陣R使得其中R的對(duì)象角元紀(jì)是A的特?fù)д髦低?，它校們可循以按擇要求桿的次序證排列秘。定義贈(zèng)4.組5.急2則稱A為正費(fèi)規(guī)矩近陣。定理峽4.卡5.孕2n階矩育陣A酉相買似于脾一個(gè)瀉對(duì)角漂矩陣孫的充神分必要斥條件劣為A是正今規(guī)矩余陣。推論梅4.副5.脫1若A是n階He誓rm指it驅(qū)e矩陣奴，則A必酉蹤蝶相似辯于實(shí)對(duì)救角矩蝕陣，玻即存宗在n階酉爪矩陣U使得(4.歸5.雹6)上式稱攪為He碎rm惰it飽e矩陣A的譜牲分解眼式。定理旱4.戶5.窩3設(shè)A，B均為n階正假規(guī)矩謠陣，哥并且AB=BA，則存后在n階酉矩張陣U使得與巧同干時(shí)為芒對(duì)角矩陣鞋。定理4.銅5.4任何n階實(shí)貼矩陣A都正牛交相魯似于么一個(gè)呢?cái)M上茄三角矩杜陣，蜂即存畏在一馬個(gè)n階正邀交矩寒陣Q和一嚴(yán)個(gè)n階擬冷上三胡角矩陣R使得其中R是塊黨上三培角矩艱陣（麗或稱擬上朝三角想矩陣）,矩其對(duì)訊角塊為灘1階核塊或畝2階仁塊,兆每個(gè)駐1階俘塊是A的實(shí)乒特征創(chuàng)值,霉而每辦個(gè)2階早塊的暑兩個(gè)雨特征肺值是A的一籍對(duì)共蝦軛復(fù)撓特征尾值,潛且R的對(duì)角塊殘可以帳按要竭求的景次序朽排列灘。推論北4.勁5.沃2若A是n階實(shí)話對(duì)稱謙矩陣齊，則A正交春相似前于實(shí)對(duì)角格矩陣目，即袖存在n階正佳交矩碰陣Q使得4.聞6慘奇項(xiàng)異值沃分解定義么4.串6.騎1則稱σ為A的奇異遷值，u和v分別雄稱為A對(duì)應(yīng)框于奇裙異值σ的右奇滔異向嚼量和左奇畫異向仗量。由(續(xù)4.棕6.翅2)柜可得定理掃4.櫻6.獅1若A是正重規(guī)矩糧陣，礦則A的奇弓異值槍