大學(xué)物理課后習(xí)題冊(cè)答案第二版王建邦主編

參考答案

第一章

1-1已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分量式為

x=2t

y=6-2z2

(1)求軌道方程，并畫出軌跡圖;

(2)求r=l到f=2之間的Ar,V和⑺；(本題中x,y

的單位是m,。的單位是s,v的單位為m-sT。)

2

［答案］(I)y=6-y,(2)2i-6j,0,2i-6j.

(1)由質(zhì)點(diǎn)在水平方向、豎直方向的位置-時(shí)間函數(shù)關(guān)系：

x=2t

y=6—2t2

消去入得軌道方程為

y=6-----

2

軌跡為拋物線，如題1-1圖所示。

(2)將質(zhì)點(diǎn)的位矢分量式：

x=2t

y=6—2產(chǎn)

代入位矢r=r(f)=x(f)i+,可得質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r=2〃+(6-2/)/。

代入時(shí)間參量f,得質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的位置r。

由質(zhì)點(diǎn)位移和平均速度的定義，可求得

1-2如圖1-2所示，一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0m處以20.0m?sT的初速

率罰任意球，已知球門高為3.44m。若要在垂直于球門豎直平面內(nèi)將足球直接踢

進(jìn)球門，問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球(足球可視為質(zhì)點(diǎn))？

［答案］71.11叫>69.92,27.92>6?,>18.89.

以踢球點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)取平面坐標(biāo)系xOyo

按高中物理，設(shè)斜拋小球初速度%,斜拋仰角q,

寫出小球水平方向、豎直方向的位置-時(shí)間函數(shù)關(guān)

題1-2圖系：

X=%cos即(1)

y=%sin4，一；g/(2)

消去f得足球的軌跡方程y=tan%x——■

2環(huán)cos-%

依題意以x=25.0m,v=20.0m"s~'&3.44m>^>04^,AjH,可解得

71.1i6?,>69

27.926?>18o

l-3一質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻它的位置矢量r=(-如+5/)加，經(jīng)

△/=5s后，其位移Ar=(6"8j)m。求：(1)此時(shí)刻的位矢；(2)在。時(shí)間內(nèi)質(zhì)

點(diǎn)的平均速度。

［答案］(1)(2i-3j)m,(2)(|/-|j)m/s.

(1)設(shè)此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為r'=(xi+W)m，由質(zhì)點(diǎn)位移的定義加二一一廣，

可得質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)刻的位置矢量

r'=Ar+】

(2)將時(shí)間間隔△，代入質(zhì)點(diǎn)的平均速度公式(寸=詈，可得質(zhì)點(diǎn)在△/時(shí)間

內(nèi)的平均速度。

1-4質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以角速度<0(ty=2?/T,T為周期)做勻速率

圓周運(yùn)動(dòng)，試用笛卡兒坐標(biāo)系表示其運(yùn)動(dòng)方程的速度及加速度。

[答案]69/?[(-sin69Z)I+(COS69Z)j],-ty2R[(costyf)i+(sin0/)j].

取如圖所示笛卡爾坐標(biāo)系xOy,r、〃分別表示軌道的切向與法向單位矢量。

令笛卡爾坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)與圓心。重合。設(shè)f=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=R,y=0o

質(zhì)點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，則在笛卡爾坐標(biāo)

系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

x(t)-Rca(x

y(t)=Rsincot

將以上兩式代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

r=x(t)i+y?)j可得

r(f)=及(c儂+(szi財(cái)]

這就是笛卡爾坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的矢量式。

根據(jù)y=dWr，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)/求導(dǎo)，則速度在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為

dt

心

u-力=-a)Rsinot

x辦

-一

v.y.力=①Rcosot

于是)=G.—si@)i+c碗/]

繼續(xù)求導(dǎo)，得加速度在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為

dXr?

a=--=-a)2Rcowt

xvdt2

d2y、

a=--=一①-Rsiwt

-vdt2

故a(t)=-co2/^(co㈤)i*s碩/]

1-5當(dāng)物體以較低速度通過流體(氣體或液體)時(shí)，假定粘滯力可以表示成

F=-kv,試求：(1)物體豎直自由下落后的極限速度(極大速度)；(2)在物

體豎直自由下落過程中速度隨時(shí)間的變化規(guī)律；(3)在物體豎直自由下落過程中

位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。

,■、_---f-------J

［答案］(1)(mg—F')］k,(2)v=v(\-e,(3)x^v(t+—e

mmk

物體在流體中自由沉降時(shí)受到重力〃電、浮力人和粘滯力-如的作用，如圖

所示，動(dòng)力學(xué)方程為

mg+F'+(-kv)=ma(1)

取豎直向下為尤正方向，釋放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出式(1)的

分量形式為

mg-F'-kv-m—(2)

dt

(1)極限速度就是速度不會(huì)再發(fā)生變化的極大速度，也

就是在沉降中合力等于零時(shí)的速度。在物體剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，因速度丫=0,作用

于物體上的合力最大，物體加速度也最大，它使物體的速度增加。隨著v的增加,

阻力在減小，合力在減小，加速度也在減小，直到v增加到%時(shí)，合力減小為零,

物體的速度也就達(dá)到了極限值，這就是極限速度。此時(shí)

mg—F'—kvm=0(3)

所以v1n=(mF/)(4)

(2)求物體下落時(shí)，速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。由式(4)求出「代入式(2)

分離變量后，得-=-dt(6)

根據(jù)初始條件，兩邊求定積分得

m

從而u=%(1-(7)

(3)求物體自由下落時(shí)的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)式(7)直接積分求得

""”——1m——/tn

=x=J=JV(1-emdt=v,“t^-em--o

1-6如圖1-6所示，有一高速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子(uc)

V''

,—一沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)，初速為%,從某時(shí)刻，=()開始，粒子

/受到沿水平方向向右、隨時(shí)間成正比增大的電場(chǎng)力尸=fyi的

o'x

題卜6圖作用，兒是已知的常量，粒子質(zhì)量為相。試求粒子的運(yùn)動(dòng)軌

道。

［答案］x^^-=-^y\

2m36mv0

將帶電粒子看作質(zhì)點(diǎn)，對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的微粒，可不計(jì)它受到的重力，粒子在水平

方向的運(yùn)動(dòng)方程為

力尸是隨時(shí)間變化的力，粒子的加速度也隨時(shí)間變化,要進(jìn)一步從加速度求速度

和位移，就必須采用積分方法。

用/=半代入動(dòng)力學(xué)方程，整理后得

dt

dv=—dt

xm

按f=0,初速度匕=0,兩邊取定積分

「方=「龍力

Jo*Jom

得匕=紀(jì)

2m

z/v*

再用匕=與代入上式，整理后得

dt

心:扭-山

2m

選，=()時(shí)粒子所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用初始條件，對(duì)上式兩邊取定積分

「％=_41產(chǎn)力

Jo2mio

就可求出

2m36m

由于不計(jì)高速運(yùn)動(dòng)微粒的重力，利用y=最后求得粒子的軌道方程:

1-7如圖1-7所示，質(zhì)量為機(jī)的小球在向心力作用

下，在水平面內(nèi)作半徑為H的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，速率為

v,自A點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的半周內(nèi)，試問：

(1)小球動(dòng)量變化多少？

(2)向心力的平均值是多大？方向如何？

［答案］⑴2mv,方向-y；(2)-網(wǎng)」.

7TR

(1)以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析它在水平面內(nèi)只受向心力，建立如題1-7圖所示

的xOy坐標(biāo)系，則A、B二態(tài)的動(dòng)量及其變化量可表示為分量式，即

Z\P=mVy—mvA=(―mv);—/uj)=-i面

上式表明，動(dòng)量變化不為零，而是大小為2,研，其方向沿y軸反方向。

(2)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，可表示為平均力的形式，即

1=｛乃&=A

故向心力的平均值為

⑻=竺=一嗎

、/加乃R

1-8力/=12〃(N)作用在質(zhì)量機(jī)=2kg的物體上，使物體質(zhì)點(diǎn)由靜止開始運(yùn)

動(dòng)，求：

(1)頭3s內(nèi)該力的沖量；

(2)3s末物體的速度。

［答案］54iN-s,27rm-s-1.

⑴根據(jù)沖量定義/=］尸力，計(jì)算該力的沖量，變力不能直接從/=JF力的積分

號(hào)中提出。

(2)再由質(zhì)點(diǎn)初、末狀態(tài)動(dòng)量〃叫,、mv,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有

I=mv,-mY；=m)(因匕)=0)

可得

m

1-9繩的上端固定于M點(diǎn)(見圖1-9(a)),

下端掛一質(zhì)量為小的質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)以速率u在水

平面內(nèi)作半徑為「的圓周運(yùn)動(dòng)。求作用在質(zhì)點(diǎn)

上的重力W、拉力尸及合力尸在半個(gè)周期

(圖中的A點(diǎn)至8點(diǎn))中的沖量。

［答案］空W,2mvi+蟹巴k,2mvi.

VV

質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期7=21；7口，半個(gè)周期

為T/2=w/u

由于重力W是個(gè)恒力，在計(jì)算沖量時(shí)可以從積分號(hào)內(nèi)提出，因此重力的沖

量

I=［~Wdt=-W=—W

wJo2v

它的大小為="〃咫/丫，方向與W相同，即垂直向下。

繩的拉力尸’以及合力F則與重力W不同。盡管他們的大小是常量

(F,^mg/cos0,F=mgtg6),但方向隨時(shí)在變，因此，尸’和尸都是變力，不

能再從積分號(hào)中提出，即

I.I^-F

F2F2

為了求尸和尸的沖量，先將拉力尸分解為垂直分量FZ：和圓平面上的分量

F,r,即

F=F:+F,

其中F：=Fcos。=mg(即6=-W)

Fr=Fsin0=mgtgB=F(即￡=尸)

則尸;的沖量為

氣=『9=『「鬻k=-Iw

再如題1-9圖(b)所示，在圓平面上取直角坐標(biāo)系X0y,令尸;與y軸的夾

角為9，則

Fr=Frx+Fr=mgt^siwp，一c0.

2zr

又d(p=①dU——c

.r,r,

所以dt=-0=-d

2萬v

于是，尸;的沖量為

rH2.mgtgOr.

I=cFat=---------(sin(pi-cos(pj)a(p

'rJ。ryJO

=":制(c。神s謠”

_2mgr^g.

y

由于工’=?,所以

,,2mgr6g..

7=I=-----------1=2mvi

/r5V

最后，將％和與合成/…得

r*.--mg7ir

IF，=I+1=2mviH--------

'Fr=F『v

l-io在無軸線上運(yùn)動(dòng)的物體，速度為v=(45+6)(m.sT),作用力大小為

F=(r-3)(N),并沿x軸方向，試求在％=ls至j=5s期間，力產(chǎn)對(duì)物體所做的

功。

［答案］128J.

變力做功，根據(jù)功的定義w=J：f(r心=『f⑺y力求解。力不能直接從積分號(hào)

中提出，要先積分后求解。

入步1-11如圖1-11所示，一物體平放在傾角為a的長

斜面上，斜面與物體間的摩擦因數(shù)為〃，當(dāng)我們沿斜面

----------------向上給物體以沖量，使物體在尸點(diǎn)產(chǎn)生初速度％時(shí)，問

題MI圖

物體是否可能返回P點(diǎn)？如果可能的話，返回至P點(diǎn)時(shí)

的速度y等于多少？

［答案］能，%乒叵近.

\sina+4cosa

物體從最高點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)能夠下滑的條件是：mgsina大于〃mgcosa。

因物體在沿斜面上升過程中，重力和摩擦力都做負(fù)功，正壓力恒不做功，所

以，物體的動(dòng)能一定是逐漸減少，直至為零，這時(shí)速度也為零，物體達(dá)到最高點(diǎn)

。。在這之后，它從最高點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)能否下滑，取決于斜面的傾角，只有火。

大于〃時(shí)，物體才能下滑。即sgsin。大于〃〃zgcosa,作用于物體的合力沿斜

面向下。在下滑過程中，合力的功大于零，即物體的動(dòng)能將會(huì)由零逐漸增加，物

體的速度越來越大，物體也就一定能回到出發(fā)點(diǎn)P。

設(shè)物體可以上升到最高點(diǎn)Q,~PQ=x,根據(jù)動(dòng)能定理，從P到。有

A=-mgsviiazmgaoai~o

解得x=-----------------------o

2g（sicn+pica

物體從P至最高點(diǎn)。，再回至P點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)動(dòng)路徑為2x（它

與摩擦力的功有關(guān)），位移為零（它說明重力所做總功為零）。根據(jù)動(dòng)能定理，有

=L^-Li

A=-2jLimgxcosa2mv2mv°

將x代入上式，便可解得物體返至P點(diǎn)時(shí)的速率為

siiaz—〃cas

丫=%

si歐+〃cas

顯然，由于物體在往返運(yùn)動(dòng)過程中，只有摩擦力做負(fù)功，所以總動(dòng)能一定減少,

習(xí)題1-12如圖1-12所示，求質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量。

［答案］4=0,%=mgRtz.

一個(gè)質(zhì)量為力的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)由A點(diǎn)自由下落時(shí)，若以A為參考點(diǎn),

題1-12圖

釋放時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，圖1-13

并且不計(jì)空氣阻力，則

,12

r=-gr

p=mv=

質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻f的角動(dòng)量為

LA=r'xmv

若以。為參考點(diǎn)，釋放時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，

并且不計(jì)空氣阻力，則

r=Ri+/1戶

p=mv=/7g

質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻1的角動(dòng)量為

L^=rxmvo

習(xí)題廠13如圖1T3所示，求作用于圓錐擺質(zhì)點(diǎn),〃

上的重力、拉力及合力的力矩。

［答案］如題1-13圖所示，質(zhì)點(diǎn)機(jī)所受重力的大小為機(jī)g,

拉力大小/'=利g/cos。，合力大小/uAHgtan。，

質(zhì)點(diǎn)〃z相對(duì)圓錐擺懸點(diǎn)A的矢徑為口，相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中心0

的矢徑為〃，設(shè)同=〃，可按式|M=msin(r,b)計(jì)算重力W、拉力尸’及合力尸

分別以A點(diǎn)及。點(diǎn)為參考點(diǎn)所得力矩。

A點(diǎn)。點(diǎn)

重力矩MwrAxW大?。簃grr(1xW大?。簃gr

方向：方向：

吃xF‘大小：mgr

拉力據(jù)%,rAxF'=0

方向：?

rAxF大?。簃gr

合力矩"/roxF=0

方向：

力矩方向垂直紙面向里時(shí)以因表示，垂直紙面向外以表示。

k____、、____1-14在變半徑旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，如圖1T4所示，一質(zhì)

/(r^)/量為機(jī)的質(zhì)點(diǎn)系在繩子的一端，繩的另一端穿過水平

C=’《丁彳/光滑平板的小孔后下垂，用手握住。開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)以速

IF率v=4.0m.sT做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后用手慢慢地向下

題1-14圖

拉繩子，當(dāng)圓半徑由開始時(shí)的0.5m變至0.1m時(shí)，小球

運(yùn)動(dòng)速率為多少？

［答案］20m

在手緩慢下移過程中，質(zhì)點(diǎn)受到的是一個(gè)有心力，此力對(duì)小孔的力矩為零，

故質(zhì)點(diǎn)對(duì)小孔的角動(dòng)量守恒L==常量，即rtxmv{=r2xmv2o

1-15列出你在高中物理中學(xué)習(xí)過的所有理想模型。

［答案］略.

第二章

2-1一質(zhì)量為10g、速率為6.0m.sT的鋼球，以與鋼板法線

成a=45J角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度反

彈。設(shè)鋼球與鋼板的碰撞時(shí)間為0.05s,求在此時(shí)間內(nèi)鋼板受到

的平均沖力。

［答案］-1.697N,方向沿x軸的負(fù)方向.

設(shè)球受到鋼板作用的平均沖力為（尸）o

如題2-1圖所示選取坐標(biāo)，由題意可知，V)=v2=v=6.0m/s,則有

vlx.=-vcosa,vlv=vsincr

v2x=vcosa，v2y=vsiraz

運(yùn)用動(dòng)量定理.，可得

(Fx)-^t=mv2x-mvix

=加卬0。+mvcaj

=2mvcO6r

?加=加彩,一m也

=misiMZ—mvsizr

因此，球受到鋼板作用的平均沖力

（丹=優(yōu)上生泮

設(shè)（尸）為球?qū)︿摪遄饔玫钠骄鶝_力，由牛頓第三定律有（尸），因而有

2mvco應(yīng)

2-2用棒打擊質(zhì)量0.3kg、速率20m-sT的水平

飛來的球，球飛到豎直上方10m的高度。求棒給予

-球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為0.02s,求

題2-2圖

球受到的平均沖力。

［答案］7.32N.S,方向如圖2-2所示；366N,方向與/相同.

選球作為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理，棒給予球的沖量為

I=mv2—mVj

2

則I=yl(mv2y+(mv2),方向如題2-2圖所示。

又由沖量定義，可得球受到的平均沖力為

⑺=J

所以

2-3討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心。設(shè)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成

的系統(tǒng)，他們的質(zhì)量分別為碼、丐，且〃4=祖2并

相距為/,

［答案］以。點(diǎn)為參考點(diǎn)，中，以。'點(diǎn)為參

2

考占(%+*

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心公式〃=也±些求解。

班+m2

如題2-3圖所示，當(dāng)以圖中所示。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心位矢為

_n^r^m5rr+}r

c

iriy+m22

或

rx-rc=-{r2-rc)

(+4=2G

這表明，質(zhì)心c位于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)連線的中點(diǎn)。

當(dāng)以圖中所示。'點(diǎn)為參考原點(diǎn)，并令兩質(zhì)點(diǎn)連線方向?yàn)闊o方向時(shí)，質(zhì)心位矢

_叫xf+m^i^Cx+/)..

叫+m,2

這說明，質(zhì)心。還是位于兩質(zhì)點(diǎn)連線的中點(diǎn)。

2-4一枚炮彈在它飛行的最高點(diǎn)炸裂成質(zhì)量相等的兩部分，每部分的質(zhì)量都

為加，一部分在炸裂后豎直下落，另一部分則繼續(xù)向前飛行。求這兩部分的著地

點(diǎn)以及質(zhì)心的著地點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射時(shí)的初速度為％,發(fā)射角為6。（忽略空氣

阻力）

［今案］（sin2。3vgsin20sin20

口2g，2g，g.

炮彈飛行按拋體問題處理，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心公式憶="3+’""2求解。

町+m、

以炮彈發(fā)射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2-4所示坐標(biāo)系。

如果炮彈沒有炸裂，則它的著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是它的射程，即

作用下兩部分被分開，但圖2-5

炮彈水平方向受合外力為零，只在豎直方向受到重力的作用，所以質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)

仍和未炸裂的炮彈一樣，它著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍是小，即

%=紅絲（3）

S

設(shè)第二部分炮彈著地點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9,則根據(jù)質(zhì)心的定義，有

_"7干+卡

cm+m2

由此可得

c3v3sin10

x,=2xc—內(nèi)=--------

2g

2-5如圖2-5所示，有兩部裝運(yùn)沙子的卡車A和B沿

水平面在同一方向運(yùn)動(dòng)?？ㄜ?的速率為“，從卡車8上

題2-5圖以5kg/s的速率將沙子抽到卡車A上。沙子由管尾部垂直

下落，在時(shí)刻f,卡車A的質(zhì)量為,速度為u=u（r）o

求4寸刻卡車A的瞬時(shí)加速度a（不計(jì)地面摩擦）。

5(〃-v)

［答案］

m

以卡車A、卡車B和，時(shí)刻被抽的沙子組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象。設(shè)它們的

質(zhì)量分別為根=皿，）,〃,而。由于不計(jì)地面摩擦，系統(tǒng)水平方向受力為零。水平

方向動(dòng)量守恒。

f=0時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量為

m(0)v(OF)M-u+dm0=m(0-)v(?)/

f時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量為

m-v+(M—dm)-u+dm-v

由水平方向動(dòng)量守恒，得

m-v+(M-d^n-u+dm片(G力?((>)+

整理，得

m-v+dv-)u=(rfi)■(

兩邊同時(shí)對(duì)f求導(dǎo)，得

所以

2-6有一個(gè)三級(jí)火箭，第一級(jí)火箭脫落前的質(zhì)量比為乂，第二級(jí)火箭剛發(fā)動(dòng)

時(shí)火箭的質(zhì)量與第二級(jí)火箭耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量比為N2,第三級(jí)火箭剛點(diǎn)燃時(shí)火

箭的質(zhì)量與燃料耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量比為若取乂=愀=%=7.4,各級(jí)火箭

的噴射速率都為M=2.5km.sL不計(jì)重力影響，求該火箭最后達(dá)到的速率。

[答案]1.5xl04m-s-'.

火箭在自由空間飛行，可認(rèn)為它不受引力或空氣阻力等任何外力的影響。如圖

2-7所示，火箭在飛行時(shí)，將某時(shí)刻，火箭的總質(zhì)量/時(shí)分為兩部分，一部分是火

箭主體質(zhì)量〃z總-曲另一部分是將被噴射的物質(zhì)質(zhì)量d加。在/時(shí)刻，力”尚未

被噴出，火箭總質(zhì)量加總相對(duì)地面的速度為V,動(dòng)量為a”(沿空間坐標(biāo)x軸正向);

在f+力時(shí)刻，火箭噴出了質(zhì)量為力〃的氣體，其噴射速度相對(duì)于箭體為“，此時(shí)

箭體相對(duì)于地面的飛行速度為u+小。將箭體和噴射物質(zhì)視為一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)

量守恒定律，系統(tǒng)在X方向分量守恒，則有

m^y=[(m返-力〃)(u+dv)+dm(u+du—

令dm=-dm總,代入上式，整理得

得火箭速度公式v(/)=甲+tdfl-2-

必

根據(jù)火箭速度公式，各級(jí)火箭燃料耗盡時(shí)達(dá)到的速度分別為

匕=ulnN]

眩=U]+〃lnN

匕=Uz+alnN

火箭主體最后達(dá)到的速度為

匕=MInN&Ao

2-7如圖2-7所示，一根長為/的均質(zhì)鏈條，放在摩

擦系數(shù)為〃的水平桌面上，其一端下垂長度為。，如果

鏈條自靜止開始向下滑動(dòng)，試求鏈條剛剛滑離桌面時(shí)的

速率？

［答案］

非保守力做功問題，應(yīng)用功能原理求解。

由于鏈條下滑時(shí)摩擦力為變力，當(dāng)下垂的長度為光時(shí)，摩擦力大小為

￡.=〃(/一畔g

式中加為鏈條總質(zhì)量。

故摩擦力做功為

4=j-frdx=￡-//(/-x)ygdx

(1)

又由功能原理可得

./I12、,aa

A,=(-m-Hini)m-j⑵

聯(lián)立（1）、（2）兩式可得

"2A

v-J(/-—k+—

VIm

2-8倔強(qiáng)系數(shù)為人的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為根的物體。先用手托

住物體，使彈簧不伸長。

（1）手突然與物體分開，使物體快速下落，問彈簧的最大伸長和彈性力是多

少？

(2)在(1)中，物體經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度是多少？

［答案］(1)孚，2mg；(2)&.

kVk

(1)物體快速下落時(shí)，由于只受重力與彈性力作用，故機(jī)械能守恒。取物體開

始下落位置為勢(shì)能零面。設(shè)到達(dá)最大位置時(shí)彈簧的伸長量為西，由系統(tǒng)機(jī)械能守

恒，有；kx；-mgxt=0

則寸辿

k

此時(shí)彈性力大小為于=左產(chǎn)2m

(2)設(shè)物體經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度大小為V,由機(jī)械能守恒律有

1,1,

2AX?X+-/?V一加g%=。(1)

當(dāng)物體機(jī)平衡時(shí)，所受的重力與彈簧的彈力相等，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律

”aLm⑵

聯(lián)立(1)>(2),可得

2-9舉例說明什情況下采用“隔離體法”，什么情況下采用“整體方法”？

［答案］略.

第三章

3-1一個(gè)勻質(zhì)圓盤，由靜止開始，以恒定角加速度繞過中心而垂直于盤面的

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在某一時(shí)刻，轉(zhuǎn)速為10r-sT,再轉(zhuǎn)60轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)速為15r試計(jì)算:

(1)圓盤的角加速度；

(2)由靜止到達(dá)轉(zhuǎn)速為lO-s-i所需的時(shí)間;

(3)由靜止到轉(zhuǎn)速為10r-sT時(shí)，圓盤所轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

［答案］(1)6.54rad-s-2；(2)9.61s；(3)48圈.

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度由囚=2外1。44/：變?yōu)?2=2乃*15^。/；期間的角位移

22

e=60x2rraa,則角加速度可用￡=色二五求得。

2。

(2)從靜止到轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為例=2萬xlO"0/s所需的時(shí)間

t=5

(3)那寸間內(nèi)圓盤所轉(zhuǎn)的圈數(shù)為

01CD,t

n=——=-----o

2乃2T2

一、、、3-2如圖3-2所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)機(jī)作圓周運(yùn)動(dòng)，求它對(duì)圓心的轉(zhuǎn)

i動(dòng)慣量。

\、----/

題3-2圖

［答案］mR2.

如圖3-2所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式/=\&7%2,對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有

J=mro

3-3如圖3-3所示，A與8兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使

之連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4=10.0kg-m2,開始時(shí)B輪靜止，A

(I)

題3-3圖輪以々=600rmin-'的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與8連接，因而B輪

得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于巧=200廣min-1

為止。求：(1)8輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)在嚙合過程中損失的機(jī)械能。

［答案］(1)20.0kgm2；(2)-1.32X104J.

(1)取兩飛輪為系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，有

，?尸(，十J)w

則8輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

入二色二巴/一〃？

1

gn2

(2)系統(tǒng)在嚙合過程中機(jī)械能的變化為

1212

△E——(?/1+J2)—-?/1①:o

3-4如圖3-4(a)所示，質(zhì)量〃％=16kg的實(shí)心圓柱體A,

其半徑為廠=15cm,可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力忽略不

計(jì)。一條輕的柔繩繞在圓柱體上，其另一端系一個(gè)質(zhì)量為

牝=8.0kg的物體8,求：

(a)(b)

(1)物體B由靜止開始下降1.0s后的距離。

題3-4圖

(2)繩的張力。

［答案］(1)2.45m；(2)39.2N.

(1)分別作兩物體的的受力分析圖［3.4(b)］。對(duì)實(shí)心圓柱體而言，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

1,C

%r=F=3"/(1)

對(duì)懸掛物體而言，依據(jù)牛頓定律，有

為一匕=g8_耳=1712a(2)

且耳=耳，又由角量與線量之間的關(guān)系，得

P-ra(3)

解上述方程組，可得物體下落的加速度

a=2叫g(shù)

叫+2m2

在/時(shí)刻，B下落的距離為

12ntg產(chǎn)

s=-at=—2———

2仍+2ml

（2）由式（2）可得繩中的張力為

F=m{g-d)=

T叫+2火

3-5一塊長為L,質(zhì)量為機(jī)板的均質(zhì)薄木板，可繞水平軸

無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)木板靜止在平衡位置時(shí)，有一質(zhì)量為相

的子彈以速度與垂直擊中它的A點(diǎn)，A離轉(zhuǎn)軸的距離為/,如

圖3-5所示。子彈穿出木板后速度為V,試求木板獲得的角速

度。等于多少？

［答案］膂.

先以木板為研究對(duì)象。在子彈穿射過程中，木板受子彈的沖力尸、

重力帆板g和軸的支持力耳「此三力中只有沖力戶對(duì)。。'軸產(chǎn)生力矩。如果面對(duì)

。'。軸觀察，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，則外力矩為M=&,根據(jù)角動(dòng)量定理，

可列得木板在該過程中的下述等式，即

|m板d上JFIAtJIE血Q.

式中，J=；1n板產(chǎn)。于是，只要知道木板所受沖量1F力，即可由上式解得口。

為求該沖量，再以子彈為研究對(duì)象。

動(dòng)量定理可知它受到的沖量為

-JFdf=機(jī)力卬（以子彈的速度方向?yàn)檎较颍?/p>

聯(lián)立以上兩式可算出

_/jFdt_lm（va-v）

co—■

J鏟板”

以上是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理與剛體的角動(dòng)量定理聯(lián)立求解的。

取子彈與木板這一物體系為研究對(duì)象。在子彈穿射過程中，外力只有重力（、

mg）和軸的支持力‘丫，合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。對(duì)于初、末兩

態(tài)可列出下面的守恒式，即

Imy=Im-vco

由此可解得陽=竿二2。

3

3板

3-6登山運(yùn)動(dòng)員所用的尼龍繩，當(dāng)爬山者的體重為80kg時(shí)，繩伸長了1.5m,

如果繩的原長為50m,直徑為9mm，問繩的彈性模量是多少？

［答案］4.1xlO8N-m-2.

繩中的張力與爬山者所受重力相等。

由2=￡(4)，得

JI

楊氏模量E=乙

3-7一質(zhì)量為15kg的重物系于原長為0.5m的鋼絲一端。使重物在豎直平面內(nèi)

作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)重物轉(zhuǎn)到圓周最低點(diǎn)時(shí)其角速度為4rad.sT,鋼絲的橫截面積為

0.02cm2o計(jì)算當(dāng)重物經(jīng)過路線的最低點(diǎn)時(shí)鋼絲的伸長量(此題E值查P81表

3-2)0

［答案］1.66mm.

設(shè)在最低點(diǎn)重物受鋼絲拉力為尸，則

F'—Mg=MR(^

即F'=MR}2-M

鋼絲所受的力F與尸大小相等，故鋼絲伸長量為

A.Z,_=F—lo

ES

3-8一根鋼絲拴住圓木后由拖拉機(jī)拉走，鋼絲直徑為12.5mm,拖拉機(jī)到圓木

的距離為10.5m,拉走圓木需要9500N的力，設(shè)鋼絲的￡=20.0xlO'MPa,求：

(1)鋼絲中的應(yīng)力。

(2)鋼絲中的應(yīng)變。

(3)拉圓木時(shí)鋼絲的伸長量。

［答案］(1)77MPa；(2)3.9x10"；(3)4.1xl0-3m.

F

(1)由正應(yīng)力的定義式。=C,

s

(2)由式￡=反生)，可得

SI

MF

￡--■=——

IES

(3)由式￡=子，可得

△I=￡lo

3-9一鋼桿的橫截面積為5.0xl0Tm2,所受軸

匯蘆一五二P

44

ABUD向外力如圖|3-9所示：f；=6xlON,/^=8xlON,

題3-9圖

/^=5X104N,/^=3X104N,試計(jì)算A、B,B、

C和C、。之間的正應(yīng)力。

［答案］0.4xl()8N?m-2,O.6xlO8N-m-2,O.4xlO8N-m-2.

正應(yīng)力是垂直作用在單位面積上的力。

FT

A、B之間的正應(yīng)力為

S

FT

B、C之間的正應(yīng)力為

S

鳥-總

C、。之間的正應(yīng)力為s

3-10有一個(gè)水平放置的針筒，內(nèi)徑為2R,針孔內(nèi)徑為2「。當(dāng)用力尸推活塞

時(shí)，可使藥水從針孔噴出，設(shè)藥水密度為o,求藥水噴出的速度。

［答案］

設(shè)針筒中藥水流速為匕，藥水噴出的速率為為。針筒的截面積為萬A?,針頭的截

面積為萬產(chǎn)，當(dāng)用力尸推活塞時(shí)，針筒中軸線上的壓強(qiáng)為P1='。當(dāng)針?biāo)椒?/p>

置時(shí)，藥水滿足伯努力方程：

11

萬「因2+8=］。2嗎2+P2

由流體的連續(xù)性原理得

V］兀R?=v27ir'

近似取“2為一個(gè)大氣壓，即“2=%，可得

3-11舉例說明你在學(xué)習(xí)物理過程中如何運(yùn)用“類比法”？

［答案］略.

第四章

4-1計(jì)算均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)戶處的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)圓盤半徑為R,面電荷

密度為3〉0）,P點(diǎn)到圓盤中心的距離為X。

解法一：在帶電圓盤上任,二畫不dS=/d兇如圖所示，面元所帶電荷量

dq=（7dS,該電荷元dq在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

1d<7_r'ad（pdr'

dE=7~er~~

4nsr~4起r

00

將d￡分解為與軸平行及與軸垂直的分量dE和它們分別是

dE=d氏os。，dE±=d￡*sin。

由電荷分布的軸對(duì)稱性可知，各電荷元的d紇將互相抵消，又因cose=%,所

以

E=]dE=與門酎一=一=

J4乃￡「?！埂＃↙+x）2so\_J_2+.2_

圖中尸點(diǎn)E沿x軸的方向。

解法二：取任一半徑為，，寬為db的細(xì)圓環(huán)，如圖c）中陰影所示，該環(huán)所帶

的電荷量為dq=cr2^r'dr'。此環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

1xdq1xb2乃r'dr'

,廠z-j卜—__________________±__________________________________

4%（/2+%2）%4%（/2+%2）%

將上式積分便得尸點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

a27rx『Ardr

￡=jdE=4勺J。J（/2+f）3

(b)(c)

4-2求無限大均勻帶電平面外的電場(chǎng)分布。設(shè)面電荷密度為。。

解：我們作一閉合柱面（高斯面），如圖所

示，使其側(cè)面垂直于帶電平面，兩底面與帶

電平面平行，底面的面積以及柱面所截帶電

平面的面積都是S。這樣，通過側(cè)面的電通

量為零，通過兩底面的電通量均為ES。因

此，通過整個(gè)閉合柱面的電通量就是

i//e-2ESo

根據(jù)高斯定理，有

We=2cEgS=一—q=一—os

￡o

于是￡=￡

2%

4-3如題4-3圖所示，球形金屬腔帶電荷量?！?,內(nèi)半徑為a,

外半徑為6,腔內(nèi)距球心。為r處有一點(diǎn)電荷q,求球心。處的電

勢(shì)。

解：導(dǎo)體球達(dá)到靜電平衡時(shí)，內(nèi)表面感應(yīng)電荷-“，外表面感應(yīng)電

荷4,根據(jù)電勢(shì)疊加，。點(diǎn)的電勢(shì)等于帶電量為4的點(diǎn)電荷、帶電量分別為-外

題4-3圖q+Q的兩個(gè)球殼三者在空間產(chǎn)生電勢(shì)的疊加。

根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式，點(diǎn)電荷在。點(diǎn)的電勢(shì)■=」一；電荷任意分布的帶電球

4延r

0

殼在球心的電勢(shì)丫=」一，所以內(nèi)表面感應(yīng)電荷在。點(diǎn)的電勢(shì)匕=-一

4磔R4笳a

00

外表面電荷在。點(diǎn)的電勢(shì)K=2t2,球心的電勢(shì)為三者之和

4n￡b

o

v=M+%+K=_-------+o

4席r4夜a4宓b