矩形菱形正方形

玩轉(zhuǎn)貴陽(yáng)10年中考真題考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)中考試題中的核心素養(yǎng)矩形相關(guān)的證明與計(jì)算（結(jié)合圖形的折疊和動(dòng)態(tài)問(wèn)題進(jìn)行考查）玩轉(zhuǎn)貴陽(yáng)10年中考真題

命題點(diǎn)1基礎(chǔ)訓(xùn)練1．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，則折痕EF的長(zhǎng)為(

)A.7B.C.8D.第1題圖B2.如圖，四邊形ABCD是矩形，連接BD，∠ABD＝60°，延長(zhǎng)BC到E使CE＝BD，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為(

)A.15°B.20°C.30°D.60°3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分別在邊BC，AD上，BE＝DF.將△ABE，△CDF分別沿著AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF，連接GH.若AG，CH分別平分∠EAD和∠FCB，則GH長(zhǎng)為(

)A.3B.4C.5D.7第2題圖第3題圖AB4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，且AF＝BF.(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE，垂足為F，交BC于點(diǎn)G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4.求CG的長(zhǎng)．第4題圖4.(1)證明：∵F為BE中點(diǎn)，AF＝BF，∴AF＝BF＝EF，∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形；第4題解圖(2)解：如解圖，連接EG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，∵F為BE的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BE，∴BG＝GE，∵S△BFG＝5，CD＝4，∴S△BGE＝10＝

BG·EH，∴BG＝GE＝5，在Rt△EGH中，GH＝＝3，在Rt△BEH中，BE＝＝BC，∴CG＝BC－BG＝4－5.菱形的相關(guān)證明與計(jì)算（10年6考，近6年僅2016年未考，在解答題中考查時(shí)會(huì)涉及三角形全等）

命題點(diǎn)25.(2019貴陽(yáng)4題3分)如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是4cm，∠ABC＝60°，那么這個(gè)菱形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)是(

)A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.4cm第5題圖A6.(2018貴陽(yáng)5題3分)如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF∥CB，交AB于點(diǎn)F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為(

)A.24B.18C.12D.9第6題圖A7.(2014貴陽(yáng)18題10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF，CD.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．第7題圖7.(1)證明：根據(jù)題意，△ADE≌△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，(2分)∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∴CD＝AD，∴四邊形ADCF是菱形．(5分)(2)解：在Rt△ACB中，AB＝＝10，∴AD＝

AB＝5，(6分)∵四邊形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝DC＝AD＝5，(8分)∴AB＋BC＋CF＋FA＝10＋8＋5＋5＝28.∴四邊形ABCF的周長(zhǎng)是28.(10分)8.(2013貴陽(yáng)20題10分)已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上的任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接EC.(1)求證：AE＝EC；(2)當(dāng)∠ABC＝60°，∠CEF＝60°時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？說(shuō)明理由．第8題圖8.(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD＝∠CBD，AB＝CB.(2分)∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝EC；(5分)(2)解：點(diǎn)F位于BC的中點(diǎn)．理由如下：由(1)知△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC＝∠CEF＝60°，∴△CEF∽△ABF，(6分)∴∠CFE＝∠AFB＝

×180°＝90°，即EF⊥BC.又∵∠EBC＝

×60°＝30°，∠ECB＝90°－∠CEF＝30°，∴∠EBC＝∠ECB＝30°，(8分)∴△CEB為等腰三角形，又∵EF⊥BC，∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．(10分)9.(2015貴陽(yáng)18題10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且AE∥CD，CE∥AB.(1)證明：四邊形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))．第9題圖9.(1)證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝

AB，(2分)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE為平行四邊形．(4分)又∵CD＝AD，∴四邊形ADCE為菱形；(5分)(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD為等邊三角形．(7分)∵BC＝6，∴AD＝CD＝BC＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°.∵四邊形ADCE是菱形，∴∠DAH＝2∠BAC＝2×30°＝60°，(9分)∴∠ADH＝30°.第9題解圖在Rt△ADH中，AD＝6，∴AH＝

AD＝

×6＝3，∴DH＝∴菱形ADCE的高為.(10分)10.(2017貴陽(yáng)18題10分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB上的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF＝2DE，連接CE，AF.(1)證明：AF＝CE；(2)當(dāng)∠B＝30°時(shí)，試判斷四邊形ACEF的形狀并說(shuō)明理由．第10題圖10.(1)證明：∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AC＝2DE，DE∥AC，∵EF＝2DE，∴AC＝EF，又∵DE∥AC，即EF∥AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴AF＝CE；(5分)(2)解：當(dāng)∠B＝30°時(shí)，四邊形ACEF為菱形．理由如下：∵點(diǎn)E是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BE＝

AB，∵∠B＝30°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝60°，∵AE＝CE，∴△ACE是等邊三角形，∴AC＝CE，由(1)知四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形ACEF是菱形．(10分)拓展訓(xùn)練11.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠ACD＝60°，AE＝cm，則BC的長(zhǎng)為(

)A.cmB.1cmC.2cmD.2cm第11題圖C12.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．第12題圖12.(1)證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE.∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝DB.∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC；∠AFE＝∠DBE∠FAE＝∠BDE

，AE＝DE在△AFE和△DBE中，(2)解：四邊形ADCF是菱形；證明：∵AF＝DC，AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC邊上的中線，∴AD＝

BC＝DC.∴四邊形ADCF是菱形．13.(2017貴陽(yáng)10題3分)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD.以AB，BC，DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3.若S1＝3，S3＝9，則S2的值為(

)A.12B.18C.24D.48正方形的相關(guān)證明與計(jì)算（10年5考，在解答題中考查會(huì)涉及三角形全等）

命題點(diǎn)3第13題圖D14.(2012貴陽(yáng)21題10分)如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上．(1)求證：CE＝CF；(2)若等邊三角形AEF的邊長(zhǎng)為2，求正方形ABCD的周長(zhǎng)．第14題圖14.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.(1分)∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，(3分)∴BE＝DF，∵BC＝CD，∵BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(5分)(2)解：在Rt△EFC中，CE＝EF·sin∠CFE＝2×sin45°＝.(6分)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則在Rt△ABE中，x2＋(x－)2＝22，(8分)解得x1＝

，x2＝(舍去)，(9分)∴正方形ABCD的周長(zhǎng)為4×.(10分)拓展訓(xùn)練15．如圖，分別沿長(zhǎng)方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對(duì)角線AC，EG剪開，拼成?KLMN，若中間的四邊形OPQR恰好是正方形，且?KLMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為________．第15題圖25【對(duì)接教材】九上第一章P1－P29.

考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)矩形、菱形、正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系矩形性質(zhì)判定面積菱形性質(zhì)判定面積正方形性質(zhì)判定面積考點(diǎn)精講直角相等且互相平分2直角相等3具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊：對(duì)邊平行且相等角：四個(gè)角都是_________對(duì)角線：對(duì)角線________________

對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它有______條對(duì)稱軸矩形性質(zhì)判定有一個(gè)角是_________的平行四邊形是矩形（定義）對(duì)角線_________的平行四邊形是矩形有_________個(gè)角是直角的四邊形是矩形面積：S＝ab（a，b分別為矩形的長(zhǎng)和寬）返回思維導(dǎo)圖具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊：四條邊都相等對(duì)角線：對(duì)角線_______________，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它有____條對(duì)稱軸菱形性質(zhì)判定有一組鄰邊_________的平行四邊形是菱形（定義）對(duì)角線_________的平行四邊形是菱形四條邊都_________四邊形是菱形面積：S＝，m，n分別為兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，a為菱形的邊長(zhǎng)，h為菱形任意一邊的高若已知m、n、a、h中任意三個(gè)可以用等面積法求出另一個(gè)）互相垂直且平分2相等互相垂直相等返回思維導(dǎo)圖既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)邊：四條邊都相等角：四個(gè)角都是___________對(duì)角線：對(duì)角線互相________且相等，每條對(duì)角線_____一組對(duì)角對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它有____條對(duì)稱軸正方形性質(zhì)判定有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形（定義）有一組鄰邊相等的矩形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形面積：S＝，（a為正方形的邊長(zhǎng)，l為對(duì)角線的長(zhǎng)）直角垂直平分平分4返回思維導(dǎo)圖平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系【溫馨提示】對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形；對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形；對(duì)角線,垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.直角相等相等直角返回思維導(dǎo)圖重難點(diǎn)突破一、矩形的相關(guān)證明與計(jì)算例1題圖①例1已知，四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.(1)如圖①，添加一個(gè)條件_____________________________，可以使平行四邊形ABCD為矩形；【判定依據(jù)】______________________________；(2)如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，則∠ABC＝________度，BD＝________；AC＝BD或AO＝BO或DO＝CO對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形905(3)如圖②，四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE，交BC于點(diǎn)G.①若∠BED＝60°，∠OGC＝________度；例1題圖②120【解法提示】∵BE＝BD，∠BED＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∵O為BD的中點(diǎn)，∴OE⊥BD，∵BC⊥DE，∴BC平分∠DBE，∴∠DBC＝30°，∴∠OBG＝30°，∴∠BGO＝60°，∴∠OGC＝120°.②取BE的中點(diǎn)F，連接OF，證明：OF⊥BC；③若AB＝6，BE＝10，求OE的長(zhǎng)．②證明：∵點(diǎn)O、F分別為BD、BE的中點(diǎn)，∴OF為△BDE的中位線，∴OF∥DE，∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DE，∴OF⊥BC；③解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥CD于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC＝BD，∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴BE＝BC，例1題解圖∴BE＝AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵BE＝BD＝10，∴CD＝CE＝6，同理，可得CP＝DP＝

CD＝3，∴EP＝9，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC＝＝8，∵OB＝OD，∴OP為△BCD的中位線，∴OP＝

BC＝4，∵OP⊥CD，∴在Rt△OPE中，OE＝二、菱形的相關(guān)證明與計(jì)算例2

(1)如圖①，四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.添加一個(gè)條件________，可以使平行四邊形ABCD為菱形；【判定依據(jù)】_________________________________．例2題圖①AC⊥BD對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形(2)如圖②，菱形ABCD中，

H為BC上一點(diǎn)，連接OH，若AC＝16，BD＝12.①BC＝________，菱形ABCD的面積是________；例2題圖②【解法提示】∵AC＝16，BD＝12，∴OB＝6，OC＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，∴BC＝10.S＝

AC×BD＝96.