CH第節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

一、連續(xù)型隨機(jī)變量的引入

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度

.二、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義有,使得對任意實(shí)數(shù),

對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)三、概率密度的性質(zhì)1o2o【注】這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件0xf(x)面積為1利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有0xf(x)x1x2

故

X的密度f(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對f(x)的進(jìn)一步理解:若不計(jì)高階無窮小，有表示隨機(jī)變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xoa(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檫B續(xù)型r.v的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的，且請注意:當(dāng)時(shí)得到(2)對連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下結(jié)論：例2故有解(1瓶)因?yàn)閄是連涌續(xù)型味隨機(jī)灘變量,例3設(shè)隨僚機(jī)變夢量X的概電率密敬度函粘數(shù)為苗：且憑求（1）a,紀(jì)b的值雄；（2）解（1）解之憂得（2）1.均勻傾分布則稱X在區(qū)尖間(a,易b)上服怒從均煤勻分獎(jiǎng)布，X～U(a,b)三、策常見租的連口續(xù)型揚(yáng)隨機(jī)悶變量若r避.v績X的概蔥率密瀉度為絞：記作公交嘆線路貌上兩輛扶公共雅汽車尺前后特通過酬某汽驕車?？s慧車站雄的時(shí)坊間，懇即乘奸客的悶候車黨時(shí)間候等.均勻齒分布豎常見垃于下醉列情鑰形：如在典數(shù)值以計(jì)算違中，診由于所四舍次五奴入，億小數(shù)學(xué)點(diǎn)后樹某一架位小堅(jiān)數(shù)引法入的配誤差砌；例2某公擔(dān)共汽尸車站箏從上唯午7時(shí)起拌，每15分鐘掉來一肅班車負(fù)，即7:廁00，7:熱15，7:需30搜,穴7示:4煮5等時(shí)沉刻有吃汽車去到達(dá)犯此站頭，如遺果乘潤客到姓達(dá)此魂站時(shí)功間X是7:伴00到7:摟30之間滑的均填勻隨凝機(jī)變熄量,試求綱他候?qū)④嚂r(shí)敗間少塘于5分鐘判的概交率.解依題攝意，X～U(驅(qū)0,講3段0敗)以7:管00為起點(diǎn)0，以嚴(yán)分為計(jì)單位為使山候車慰時(shí)間X少于5分鐘城，乘肥客必死須在7:慘10到7:核15之間坦，或麥在7:攤25到7:剖30之間株到達(dá)宜車站.所求溜概率肥為：即乘岸客候羽車時(shí)遭間少托于5分鐘搜的概汪率是1/初3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，指數(shù)傲分布以常用囑于可類靠性藍(lán)統(tǒng)計(jì)巡壽研究具中，刊如元遞件的游壽命粗.2訂.指數(shù)謀分布若r曾.vX具有渠概率垃密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.若X服從液參數(shù)患為的指數(shù)腰分布,則其分布趟函數(shù)為事實(shí)株上,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),例5設(shè)某始類日那光燈塞管的潛使用抱壽命X服從壩參數(shù)溉為θ=2站00匯0的指蘿數(shù)分懼布(單位:小時(shí)).(1黎)任取射一只午這種間燈管,求能蜓正常虜使用10消00小時(shí)魂以上的畏概率.(2供)有一畏只這浴種燈吐管已決經(jīng)正刮常使續(xù)用了10鄰00小時(shí)梯以上,求還謠能使哨用10傍00小時(shí)衛(wèi)以上返的概告率.X的分體布函斜數(shù)為解指數(shù)茂分布貍的重匯要性辨質(zhì):“無記天憶性”.3.正態(tài)吵分布若連珠續(xù)型r據(jù).vX的概率輩密度女為其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布.記作事實(shí)備上,函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線根據(jù)嘗對密諷度函猶數(shù)的拆分析姜，也余可初瘦步畫佛出正揉態(tài)分呼布的限概率散密度延曲線汁圖.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)些分布條的分免布函輛數(shù)正態(tài)舊分布舉由它倒的兩小個(gè)參磚數(shù)μ和σ唯一米確定羊，炮當(dāng)μ和σ不同謝時(shí)，剃是不辨同的衡正態(tài)牢分布它。標(biāo)準(zhǔn)揪正態(tài)丹分布下面舍我們內(nèi)介紹授一種墻最重睬要的虧正態(tài)幕分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)亡正態(tài)待分布的性腔質(zhì):事實(shí)煤上,標(biāo)準(zhǔn)幫正態(tài)瓦分布男的重般要性在于禁，任航何一虧個(gè)一柱般的種正態(tài)差分布先都可閃以通桶過線友性變餃換轉(zhuǎn)米化為義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)返分布.定理1證Z的分皺布函悠數(shù)為則有根據(jù)飾定理1,只要慚將標(biāo)趁準(zhǔn)正怪態(tài)分澆布的享分布螺函數(shù)眨制成貍表，如就可脹以解鉗決一微般正慎態(tài)分燈布的諸概率亮計(jì)算溝問題.于是書末鵲附有前標(biāo)準(zhǔn)到正態(tài)俊分布淋函數(shù)狼數(shù)值襪表，僚有了顫它，閑可以蠶解決播一般轎正態(tài)醫(yī)分布督的概彎率計(jì)活算查樹表.正態(tài)障分布饒表當(dāng)x<限0時(shí),表中核給的芝是x>0時(shí),Φ(x)的值春.若若X～N(0配,1決),~N(0,1)

則由標(biāo)范準(zhǔn)正特態(tài)分馬布的悔查表甩計(jì)算飾可以咽求得川，這說鳴明，X的取鄰值幾需乎全墨部集槳中在[-3,拼3]區(qū)間內(nèi)，岸超出追這個(gè)浙范圍敢的可準(zhǔn)能性么僅占雅不到0.勿3%.當(dāng)X～N(0慣,1沿)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準(zhǔn)則將上洗述結(jié)亂論推殖廣到朝一般盾的正蘋態(tài)分吵布,可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”.~N(0,1)

時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).解P(X≥假h)≤宜0.月01或P(X<h)≥0.芝99，下面帥我們印來求儉滿足斤上式殊的最銳小的h.應(yīng)用月正態(tài)探分布笑的例襪子:例6公共魔汽車扔車門論的高藏度是怠按男棚子與擠車門請頂頭精碰頭連機(jī)會(huì)汽在0.悅01以下吐來設(shè)澇計(jì)的.設(shè)男螺子身扮高X～N(17配0,62),問車志門高隸度應(yīng)爐如何它確定?設(shè)車壺門高征度為hcm,按設(shè)左計(jì)要要求因?yàn)閄～N(17峰0,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)垂車門限高度蓋為18量4厘米慮時(shí)，蔽可使男子避與車部門碰杜頭機(jī)會(huì)跡不超引過0.行01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以.例7某地稅抽樣喬調(diào)查堡結(jié)果凱表明,考生織的外泥語成跌績近默似服服從正依態(tài)分避布噸，嫂且96分以傭上的簽占考衛(wèi)生總紡數(shù)的2.駱3%迷,試求照考生冊的外趟語成指績在60篇~8稿4分之錦間的腥概率.例8某班數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布,第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多