量子力學(xué)教程考研沖刺串講及模擬六套卷精講

沖刺串講（一 重點(diǎn)、難點(diǎn)掌一、緒１．了解光的波粒二象性的主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)２．掌握德布羅意關(guān)于微觀粒子的波粒二象性的假設(shè)二、波函數(shù)和方（１）理解量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)在關(guān)于描寫微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的不同觀念（２）掌握波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：有限性、連續(xù)性、單值性（３）理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)Ψｘ，ｔ）按不同動(dòng)量的平面波展開的方法及其物理意義（４）了解薛定諤方程的建立過程以及它在量子力學(xué)中的地位；薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程的關(guān)系；波函數(shù)和定態(tài)波函數(shù)的關(guān)系。（５）對(duì)于求解一維薛定諤方程，應(yīng)掌握邊界條件的確定和處理方法（６）關(guān)于一維定態(tài)問題要求如下ａ．掌握一維無限深勢(shì)阱的求解方法及其物理討論ｂ．掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點(diǎn)：ｃ．了解勢(shì)壘貫穿的討論方法及其對(duì)隧道效應(yīng)的解釋．三、力學(xué)量用算符表（１）掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)；坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符以及量子力學(xué)中一切可觀察的力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符均為厄米算符．（２）掌握有關(guān)動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)，它們的歸一性和正交性的表達(dá)形式，以及與這些算符有關(guān)的算符運(yùn)算的對(duì)易關(guān)系式．（３）電子在正點(diǎn)電荷庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)提供了三維中心力場(chǎng)下薛定諤方程求解的范例，應(yīng)由此了解一般三維中心力場(chǎng)下求解薛定諤方程的基本步驟和方法，特別是分離變量法．＾（４）掌握力學(xué)量平均值的計(jì)算方法．將體系的狀態(tài)波函數(shù)Ψｘ）按算符Ｆ的本征函數(shù)展開是這方法中常用的方法之一，應(yīng)掌握這一方法計(jì)算力學(xué)量的可能值、概率和平均值．理解在什么狀態(tài)下力學(xué)量具有確定值以及在什么條件下，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值．（５）掌握不確定關(guān)系并應(yīng)用這一關(guān)系來估算一些體系的基態(tài)能（６）掌握如何根據(jù)體系的哈密頓算符來判斷該體系中可能存在的守恒量如：能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、宇稱等．四、態(tài)和力學(xué)量的表（１）理解力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符在具體的表象下可以用矩陣來表示；厄米算符與厄米矩陣相對(duì)應(yīng)；力學(xué)量算符在自身表象下為一對(duì)角矩陣；１（２）掌握量子力學(xué)公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法（３）理解狄拉克符號(hào)及占有數(shù)表象（１）了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件（２）對(duì)于非簡(jiǎn)并的定態(tài)微擾論要求掌握波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一級(jí)、二級(jí)修正的計(jì)算（３）對(duì)于簡(jiǎn)并的微擾論，應(yīng)能掌握零級(jí)波函數(shù)的確定和一級(jí)能量修正的計(jì)算（４）掌握變分法的基本應(yīng)用（５）關(guān)于與時(shí)間有關(guān)的微擾論要求如下ａ．了解由初態(tài)躍遷到末態(tài)的概率表達(dá)式，特別是常微擾和周期性微擾下的表達(dá)式；ｂ．理解由微擾矩陣元Ｈｆｉ０可以確定選擇定則；ｃ．理解能量與時(shí)間之間的不確定關(guān)系：ｔｄ．理解光的發(fā)射與吸收的愛因斯坦系數(shù)以及原子內(nèi)電子由ｋ態(tài)躍遷到ｍ態(tài)的輻射強(qiáng)度均與矩陣元ｒ的模平方ｒ!成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則．（６）了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋六、自旋和全（１）了解斯特 格拉赫實(shí)驗(yàn)．電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與軌道回轉(zhuǎn)磁比率（２）掌握自旋算符的對(duì)易關(guān)系和自旋算符的矩陣形式（泡利矩陣）．與自旋相聯(lián)系的測(cè)量值、概率、平均值等的計(jì)算以及本征值方程和本征函數(shù)的求解方法．（３）了解簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)的物理機(jī)制（４）了解Ｌ－Ｓ耦合的概念及堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)和物理解釋（５）根據(jù)量子力學(xué)的全同性原理、多體全同粒子波函數(shù)有對(duì)稱和反對(duì)稱之分．掌握玻色子體系多體波函數(shù)取交換對(duì)稱形式，費(fèi)米子體系取交換反對(duì)稱形式，以及費(fèi)米子服從泡利不相容原理．（６）理解在自旋與軌道相互作用可以忽略時(shí)，體系波函數(shù)可寫為空間部分和自旋部分乘積形式．對(duì)于兩電子體系則有自旋單重態(tài)和三重態(tài)之分．前者自旋波函數(shù)反對(duì)稱，空間波函數(shù)對(duì)稱；后者自旋波函數(shù)對(duì)稱，空間波函數(shù)反對(duì)稱．２沖刺串講（二 重要內(nèi)容回一、概量子力學(xué)的誕生１．兩個(gè)理論相對(duì)論與量子論是２０世紀(jì)的兩個(gè)最重大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)光速ｃ和普朗克（Ｐｌａｎｃｋ）常數(shù)ｈ分別是其標(biāo)志性常數(shù)。當(dāng)υ ｃ時(shí)，相對(duì)論退化為牛頓（Ｎｅｗｔｏｎ）力學(xué)。當(dāng) ｈ時(shí)，量子論退化為牛頓（Ｎｅｗｔｏｎ）力學(xué)式中，υ為粒子的運(yùn)動(dòng)速率，ｌ與ｐ分別為粒子運(yùn)動(dòng)的范圍與動(dòng)量。２．三個(gè)實(shí)驗(yàn)（１）黑體輻維恩（ｉｅｎ公式ρｄν＝ｃｅｘｐ（－ｃν）ν ２瑞利（Ｒａｙｌｅｉｇｈ）－金斯（Ｊｅａｎｓ）公ρｄν＝８πｋＴν普朗克公 ρνｄν普朗克的能量子假說ε＝

）－１式中，ν為振子頻率，ρν為能量密度，ｋ為玻爾次曼（Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ）常數(shù)，Ｔ為溫度，ε為振子能量，ｃ１與ｃ２為常數(shù)。（２）光電效愛因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）的光量子假說ε＝由１ｍυ２＝ｈν－Ｗ

可知，只有當(dāng)光子的頻率ν不小于閾值

＝Ｗ０時(shí)，才有光電子的發(fā)射。式中，ｍ與υ分別為電子的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)速率，Ｗ０為脫出功，ε為光子能量（３）原子光玻爾（Ｂｏｈｒ）的舊量子原子在能量分別為Ｅｎ和Ｅｍ（Ｅｎ＞Ｅｍ）的兩個(gè)定態(tài)之間躍遷時(shí)，發(fā)射或吸收的電磁輻射的頻率滿足如下關(guān)系光譜項(xiàng)為Ｔ（ｎ）＝－ｈ

ｈν＝Ｅｎ－３３．三個(gè)飛（１）普朗克量子假說ε＝ｈνＥｎ＝ （ｎ＝０，１，２，…（２）德布羅意（ｄｅＢｒｏｇｌｉｅ）物質(zhì)波假Ｅ ω；ｐ＝式中 ＝ｈ，ω＝２πν為角頻率， ｋ為波矢量，ｐ為動(dòng)量，Ｅ為能量（３）薛定諤（Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ）方程與波恩（Ｂｏｒｎ）概率波解 ＾ ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ， 式中，ψｒ，ｔ）為描述體系狀態(tài)的波函數(shù) ψｒ， 表示ｔ時(shí)刻在ｒ附近單位體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒＾的概率，Ｈ為哈密頓（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）算符。４．五個(gè)基本原理 體系的狀態(tài)用波函數(shù) （ｒ，ｔ）來描述 ψｒ，

表示ｔ時(shí)刻在ｒ附近單位體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的率（２）狀態(tài)疊加原若體系具有一系列可能的狀態(tài)ψψψψｎ，則這些可能狀態(tài)的任意線性組ｎψ＝ｃ１ψ１＋ｃ２ψ２＋ｃ３ψ３＋…＋ｃｎψｎ＝∑ｃｍｍ也一定是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)，其中ｃｃｃ３，…，ｃｎ為任意復(fù)常數(shù)（３）薛定諤方狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循薛定諤方 ＾ ｔψｒ，ｔ）＝Ｈψｒ，（４）算符化規(guī)經(jīng)典物理學(xué)中的力學(xué)量用厄米（Ｈｅｒｍｉｔｅ）算符來代替，并且上述的替代關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的（５）全同性原在全同粒子體系中，交換任意兩個(gè)粒子的坐標(biāo)不改變體系的狀態(tài)?；緝?nèi)容包括波函數(shù)、算符和薛定諤方程三要素。特色在力學(xué)量取值量子化、勢(shì)壘隧穿及不確定關(guān)系等內(nèi)容上與經(jīng)典力學(xué)有本質(zhì)差別。二、波函數(shù)１．波函數(shù)的物理內(nèi)→（１）波函數(shù)ψ（ｒ，ｔ）是描述體系狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，滿足薛定諤方 ＾ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ，（２）波函數(shù)表示 波函數(shù)可以在任意表象中寫出來，例如ψ（ｒ，ｔ）、Φｐ，ｔ）、｛Ｃｎ（ｔ）｝分別表示坐標(biāo)、動(dòng)量和任意力量Ｆ表象中的波函數(shù)，也可以用狄拉克（Ｄｉｒａｃ）符號(hào)表示為｜ψｔ）〉（３）波函數(shù)的模方表示其自變量的取值概率（密度例如 Ｃｎ（ｔ）２

（ｒ，ｔ）２

Φｐ，

→２分別表示力學(xué)Ｆ、ｒ、ｐ的取值概率（密度）２．波函數(shù)應(yīng)滿足的條（１）波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的函!∫（２）自然條

→ψｒ，

ｄ＝有波函數(shù)還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的函數(shù)（３）邊界條Ａ．在位勢(shì)的間斷點(diǎn)ａ處，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連ψ１（ａ）＝ψ２（ａ） 、式中， ｍ分別為粒子在第一和第二區(qū)域中的有效質(zhì)量、 當(dāng)一個(gè)區(qū)域中的位勢(shì)為無窮大時(shí)，只要求波函數(shù)連續(xù)Ｂ．δ位勢(shì)Ｖ（ｘ）＝δｘ）要求波函數(shù)連續(xù)，而波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿′０＋）－′０－）＝±２ｍＶａψ２其中，ａ具有長(zhǎng)度量綱，Ｖ０具有能量量綱。３．具有特殊性質(zhì)的波函數(shù)（１）本征 定 滿足本征方程Ｆ｜ｎ〉＝ｆｎ｜ｎ〉的狀態(tài)｜ｎ〉稱為Ｆ的本征態(tài)正交歸一化條 〈ｍ｜ｎ〉＝封閉關(guān) ∑｜ｎ〉〈ｎ｜＝ｎ＾測(cè) 在Ｆ的本征態(tài)｜ｎ〉上，測(cè)量力學(xué)量Ｆ得其本征值（２）定定 定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)性質(zhì) 定態(tài)之下不顯含時(shí)間力學(xué)量的取值概率與平均值不隨時(shí)間改變。條件 哈密頓算符不顯含時(shí)間；初始時(shí)刻的波函數(shù)為定態(tài)。（３）束縛態(tài)與非束縛束縛 在無窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)，束縛態(tài)相應(yīng)的本征值是斷續(xù)的非束縛 在無窮遠(yuǎn)處不為零的狀態(tài)為非束縛態(tài)，非束縛態(tài)相應(yīng)的本征值是連續(xù)的（４）簡(jiǎn)并態(tài)與非簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并 一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上線性獨(dú)立的本征態(tài)時(shí)，稱該本征值簡(jiǎn)并，所對(duì)應(yīng)本征態(tài)稱為５并態(tài)，簡(jiǎn)并態(tài)的個(gè)數(shù)為簡(jiǎn)并度非簡(jiǎn)并 一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài)時(shí)，稱為非簡(jiǎn)并態(tài)，非簡(jiǎn)并態(tài)的簡(jiǎn)并度為１（５）正宇稱態(tài)與負(fù)宇稱正宇稱態(tài) 將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新波函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)描述的狀態(tài)為正宇稱態(tài)。負(fù)宇稱態(tài) 將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新波函數(shù)與原來的波函數(shù)相差一個(gè)負(fù)號(hào)，則稱該波函數(shù)描述的狀態(tài)為負(fù)宇稱態(tài)。（６）耦合波函數(shù)和非耦合波函以兩個(gè)自旋

的粒子為例，２

＝

＝１，總自旋量子數(shù)Ｓ＝０，１非耦合波函數(shù)為｜＋＋〉，｜－－〉，｜＋－〉，｜－＋〉耦合波函數(shù)為｜００〉，｜１０〉，｜１１〉，｜１－１〉耦合波函數(shù)與非耦合波函數(shù)的關(guān)系為｜１１〉＝｜＋＋｜１－１〉＝｜－－｜１０〉＝１［｜＋－〉＋｜－＋〉｜０１〉＝１［｜＋－〉｜－＋〉其中，｜〉＝｜±〉１｜±〉２是兩個(gè)粒子體系的非耦合波函數(shù)｜± ＝｜１，±１〉為第ｋ（＝１，２）個(gè)粒子在ｓ２、ｓ表象下的本征態(tài)ｋ ｋ（７）對(duì)稱波函數(shù)與反對(duì)稱波函反對(duì)稱波函 全同費(fèi)米（Ｆｅｒｍｉ）子體系的狀態(tài)用反對(duì)稱波函數(shù)描述，對(duì)二體問題而言，１ψａ槡

φ１（ｘ１ φ１（ｘ２φ２（ｘ１ φ２（ｘ２＝１［φ（ｘ）φ（ｘ）－φ（ｘ）φ（ｘ）２ ２槡對(duì)稱波函 全同玻色（Ｂｏｓｅ）子體系的狀態(tài)用對(duì)稱波函數(shù)描述，對(duì)二體問題而言，ψ＝１［φ（ｘ）φ（ｘ）＋φ（ｘ）φ（ｘ） ４．狀態(tài)疊加原理與展開假設(shè)１）狀態(tài)疊加原理若ψ１ψ２ψ…，ψ為體系可能的狀態(tài)，則ψ＝ｃψ１＋ｃψ２＋ｃψ２＋…＋ｃｎψｎ也是體系，其中，ｃｃ，，…，ｃ為任意復(fù)常數(shù)２）展開假 若力學(xué)量算符Ｆ滿足本征方程Ｆφｎ＝ｆｎ６則任意的波函數(shù)ψ可以向｛φｎ｝展開，即ψ＝∑ｃｎｎ其中，ｃ２為力學(xué)量Ｆ在ψ狀態(tài)上?。妫钪档母怕?，因此可以把｛ｃｎ｝視為Ｆ表象下的波函數(shù)．５．狀態(tài)隨時(shí)間的變化ｎ（１）薛定諤方狀態(tài)隨時(shí)間的變化滿足薛定諤方（２）

Ｈ＾ｔ＝０時(shí)，薛定諤方程的Ｈ＾ｔ

→ ＾ｔψｒ，ｔ）＝ψｒ，

ｎ→ψｒ，ｔ）＝∑ｃ（０）φｎ（ｒ）ｅｘｐ（ｎ→→

Ｅｎ其中Ｈφｎ（ｒ）＝Ｅｎφ（ｒ），ｃｎ（０）＝τφ（ｒ）ψｒ，７沖刺串講（三三、算１．算符化規(guī)（１）線性厄米算＾可觀測(cè)的力學(xué)量Ｆ與一個(gè)線性厄米算符Ｆ相對(duì)應(yīng)（２）常用算 ＾ ｚ動(dòng)量算符ｐ＝－ｉ"＝ｐｘｉ＋ｐｙｊ＋ｐｚｚ＾ 其中，ｐｘ＝－ ｘ；ｐｙ＝－ ｙ；ｐｚ＝－ 自旋（２）算符ｓ＝ｓｘｉ＋ｓｙｊ＋ｓｚ＾ｓｘ

＾ ０１ ｓｙ

－ｉ ｓｚ＝ ＾→ →泡利（Ｐａｕｌｉ）算 σ＝σｘｉ＋σｙｊ＋σ

－＾σ

＾００１ １

＾ －ｉ σ

－ 總自旋算符Ｓ＝ｓ１＋ｓ２ Ｓ＝ｓ１＋ｓ２，ｓ１＋ｓ２－１，… →軌道角動(dòng)量算符ｌ＝ｒ× ｌｘ＝ｙｐｚ－ｚｐｙ ｌｙ＝ｚｐｘ－ｘｐｚ ｌｚ＝ｘｐｙ－

ｓ１－總軌道角動(dòng)量算符總角動(dòng)量算符→＾

ｌ＝ｌ１＋ｌ２ Ｌ＝ｌ１＋ｌ２，ｌ１＋ｌ２－１，…

ｌ１－Ｊ＝ｌ＋Ｓ Ｊ＝Ｌ＋Ｓ，Ｌ＋Ｓ－１，…

Ｌ－Ｊ＝Ｊ１＋Ｊ２ Ｊ１＝ｌ１＋ｓ１ Ｊ２＝ｌ２＋ 宇稱算符ψｒ）＝ψ－＾交換算符ｐｉｊψ…，ｘｉ，…，ｘｊ，…）＝ψ…，ｘｊ，…，ｘｉ，… 投影算符ｐｎ＝｜ｎ〉〈ｎ｜ ｐｍｎ＝｜ｍ〉〈ｎ（３）升降算符定 Ｊ±＝Ｊｘ± Ｊｘ＝２（Ｊ＋＋Ｊ－） Ｊｙ＝２ｉ（Ｊ＋－Ｊ－＾作用｜ｊ，ｍ〉＝２．厄米算符

槡ｊ（ｊ＋１）－ｍ（ｍ±１）｜ｊ，ｍ±１〉 定 ∫ｄｘφ（ｘ）ψｘ）＝ｄｘψｘ）Ｆφ（ 或者Ｆ＋＝性 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的３．對(duì)易關(guān)（１）定對(duì)易關(guān)＾［Ａ，＾＝ＡＢ＾＾＾ ＾ ＾反對(duì)易關(guān)系［Ａ，Ｂ］＋＝｛Ａ，Ｂ｝＝ＡＢ＋（２）對(duì)易子代＾＾ ＾ ＾ ［Ａ，ＢＣ］＝Ｂ［Ａ，Ｃ］＋［Ａ，Ｂ］＾ ＾ ＾ ［ＡＢ，Ｃ］＝Ａ［Ｂ，Ｃ］＋［Ａ，Ｃ］（３）常用對(duì)易關(guān) ［ｘ，ｐｘ］＝ｉ ［ｙ，ｐｙ］＝ｉ ［ｚ，ｐｚ］＝＾ ＾ ＾ ［ｊｘ，ｊｙ］＝ｉｊｚ；［ｊｙ，ｊｚ］＝ｉｊｘ ［ｊｚ，ｊｘ］＝ｉ４．守恒定 滿

ｔ＝０和 Ｆ，Ｈｔ性質(zhì) 守恒量的取值概率與平均值不隨時(shí)間改變。５．對(duì)稱性若體系哈密頓算符具有某種對(duì)稱性，則必有某個(gè)守恒量與之對(duì)應(yīng)，同時(shí)也存在某個(gè)不可觀測(cè)量（１）間平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒，間的絕對(duì)原點(diǎn)是不可觀測(cè)的?（２）間平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)能量守恒，間的絕對(duì)原點(diǎn)是不可觀測(cè)的?（３）間反演對(duì)稱性對(duì)應(yīng)宇稱守恒，間的絕對(duì)左右是不可觀測(cè)的?（４）間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性對(duì)應(yīng)角動(dòng)量守恒空間的絕對(duì)方向是不可觀測(cè)的６．兩個(gè)力學(xué)量的取＾ （１）同時(shí)取確定 若Ａ，Ｂ＝０，則Ａ和Ｂ有共同完備本征函數(shù)系，可同時(shí)取確定值９＾ （２）不確定關(guān) 若Ａ，Ｂ≠０，則Ａ與Ｂ的測(cè)量誤差滿足不確定關(guān)（ΔＡ２·（Δ １（ｉ＾＾） Ａ，特別是ｘ· Δ 其中ΔＡ＝槡（Δ２＝槡Ａ２－（Ａ）（３）力學(xué)量完全如果有Ｎ個(gè)相互對(duì)易的力學(xué)量算符能惟一地確定體系的狀態(tài)，稱這Ｎ個(gè)力學(xué)量為力學(xué)量完全集。７．算符隨時(shí)間的變化（１）定義

＝

＋１＾＾ Ｆ，（２）坐

ｄｔｄｔｒｔ

ｍ（３）動(dòng) 埃倫費(fèi)斯特（Ｅｈｒｅｎｆｅｓｔ）定ｄｐ

＝－Ｖ（４）動(dòng) 位力（Ｖｉｒｉａｌ）定＾ 對(duì)于定態(tài)有Ｔ ｒ·"Ｖ２ 特別是，當(dāng)Ｖ＝ｘ＋βｙｎ＋ｚ時(shí)，有Ｔ ２（５）哈密頓量 赫爾曼（ｌｎ費(fèi)恩曼（Ｆｅｙｎｍａｎ）定理對(duì)于束縛定態(tài)有 其中，λ是Ｈ中的任意一個(gè)參數(shù)，Ｅｎ為Ｈ的第ｎ個(gè)本征值８．算符的矩陣表（１）算符的矩陣表 在任意的基底｛｜ｎ〉｝之下，算符Ｆ的矩陣元為Ｆｍｎ＝〈ｍ｜Ｆ｜ｎＦ１１Ｆ１２Ｆ１３ Ｆ２１Ｆ２２Ｆ２３ 其矩陣形式 Ｆ＝

… （２）角動(dòng) １ ｊ＝ｊ＋

·ｊ

２–ｊ２－ｊ ２

２（ ｚ在ｊ２與ｊ的基底｛｜ｊｍ〉｝之ｚ 〈ｊ′ｍ｜ｊ１·ｊ２｜ｊ〉＝２［ｊ（ｊ＋１）－ｊ１（ｊ１＋１）－ｊ２（ｊ２＋１）］δδ（３）坐在線性諧振子基底｛｜ｎ〉｝之 ＝〈ｍ｜ｘ｜ｎ〉＝１ ｎ

ｎ＋） δｍ，）其中，α 槡

α槡２ｍ， 槡（４）兩個(gè)基底之間的變＾若已知算符Ｆ在任意的基底｛｜ｎ〉｝之下的矩陣元為Ｆｍｎ則其在另一基底｛｜ｉ〉｝之下的矩陣 為Ｆ′ｉｊ＝〈ｉ｜Ｆ｜ｊ〉＝∑〈ｉ｜ｍ〉〈ｍ｜Ｆ｜ｎ〉〈ｎ｜ｊ〉＝〈ｉ｜ｍ〉Ｆｍｎｎ｜ｊｍ， ｍ，沖刺串講（四１．精確求（１）解析Ａ．阱寬為ａ的非對(duì)稱無限深方勢(shì)２２２ ψ（ｘ） ２ｓｉｎ（Ｅｎ

２μａ２

槡

（ｎ＝１，２，３，…ａＢ．線諧振Ｅ＝（ｎ＋１）ω ｜ｎ （ｎ＝０，１，２，… Ｃ．球諧振

＝（２ｎ＋ｌ＋３）ω； ｜ｎｌｍ〉（ｎ＝０，１，２，…；ｌ＝０，１，２，…；ｍ＝ｌ，ｌ－１，ｌ－２，…，－ｌ）Ｄ．氫原子μｅＥｎ＝－２２ｎ２ ｜ｎｌｍ（ｎ＝１，２，３，…；ｌ＝０，１，２，…，ｎ－１；ｍ＝ｌ，ｌ１－，ｌ－２，…－Ｅ．自由粒 ＾Ｅｐ＝２μ ψｐ（ｒ）（２）直接判斷

３（２π）

ｐ （－!＜ｐ＜ Ａ．當(dāng)勢(shì)能平移±Ｖ０時(shí)，即Ｈ＝Ｈ０Ｖ０時(shí)，則Ｈ與Ｈ０的本征函數(shù)是一樣的，若Ｈ０的本征值為＾，則Ｈ的本征值變成Ｅｎ±Ｖ０。＾Ｂ．當(dāng)坐標(biāo)平移ａ時(shí)，即ｘ１＝ｘａ時(shí)，則Ｈ的本征值不變，而相應(yīng)的本征函數(shù)的坐標(biāo)變量由ｘ為ｘ±ａ（３）坐標(biāo)變換＾設(shè)Ｈ０的本征值為Ｅ０ｎ，則如下前三種情況成立＾

２

Ａ．若Ｈ＝２μ＋２μωｘ＋λ＝Ｈ０＋λ，則Ｅｎ＝Ｅｎ－＾

２

，則Ｅ＝ １Ｂ．若Ｈ＝２μ

２μωｘ＋λ＝Ｈ０＋

ｎ

２＾２ Ｃ．若Ｈ＝２μ＋Ｖ（ｘ）＋ ＝Ｈ０＋λ，則Ｅｎ＝Ｅｎ－ ＾ ＾

１＾

Ｄ．若Ｈ＝２Ｉ（Ｌｘ＋Ｌｙ）＋２ＩＬｚ，則Ｅｌｍ＝［２Ｉｌ（ｌ＋１）＋（ –２Ｉ）ｍ （４）分區(qū)均勻位勢(shì)Ａ．束縛態(tài)問題

當(dāng)Ｅ＞Ｖ０時(shí)，取振蕩解（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ｋｘ＋δ，其中ｋ當(dāng)Ｅ＜Ｖ０時(shí)，取衰減解ψｘ）＝Ａｅｘｐ（αｘ＋Ｂｅｘｐ（－αｘ其中，ｋ＝Ｂ．勢(shì)壘隧穿問題ψｘ）＝Ａｅｘｐ（ｉｋｘ）＋Ｂｅｘｐ（－ｉｋｘ），其中，ｋ＝反射系數(shù)Ｒ與透射系數(shù)Ｔ分別為Ｒ Ｔ＝１－２．近似方（１）微擾 Ｈ＝Ｈ０＋＾Ｈ｜ｋｉ〉０＝Ｅ０｜ｋｉ〉 （ｉ＝１，２，３，…，ｆ＾ Ａ．無簡(jiǎn)并微擾論（ｆｋ＝１Ｅ≈Ｅ０＋

ｋ，

＋

Ｅ０－ｎｋｉ ｜ｋ〉≈｜ｋ〉０＋ ｎｉ，ｋ｜ｎｉ〉ｎｋｉ１Ｅ０－ 其中，Ｗｎｉ，

＝０〈ｎｉ｜Ｗ｜ｋ〉Ｂ．簡(jiǎn)并微擾論（ｆｋ＞１在簡(jiǎn)并子空間中，求解能量一級(jí)修正Ｅ（１）滿足的本征方∑∑［ –Ｅ（１）δ］Ｂ（０）＝其中其中，ｋｊ，（２）變分

＝０〈ｋｊ｜ｋｌ

ｋｊ，ｉ

ｋｊ，Ａ．試探波函選擇含有變分參數(shù)ａ的歸一化的試探波函數(shù)｜ψａ）〉。Ｂ．能量平均值在此狀態(tài)之下計(jì)算哈密頓算符的平均值，＾Ｈ（ａ）＝〈ψａ）｜Ｈ｜（ａ）Ｃ．極值條再利用極值條

Ｈ（ａ＝０，定出變分參數(shù)Ｈ（ａＤ．基態(tài)近似將ａ入試探波函數(shù)得到｜ψａ）〉，此即體系基態(tài)波函數(shù)的近似結(jié)果，進(jìn)而可以得到基態(tài)能量的近似值Ｅ０Ｈ（ａ例 設(shè)量子體系的束縛態(tài)能級(jí)和歸一化能量本征態(tài)分別為Ｅｎ和ψｎ（ｎ為量子數(shù)或編號(hào)），設(shè)為Ｈ含有的任何一個(gè)參數(shù)證明

＝〈

Ｈλψｎ〉（Ｆ－Ｈ定理 （Ｈλ證：｜ψｎ〉滿足能量本征方程（Ｈ－Ｅｎ）ψｎ）＝ （λ其共軛方程為 〈ψｎ｜（Ｈ－Ｅｎ）＝０ 視λ為參數(shù)，式（２ａ）對(duì)λ求導(dǎo)，得到λ（Ｈ－Ｅｎ）｜ψ〉＋（Ｈ－Ｅ ｜ψ〉＝ （λλ λλ以〈ψｎ｜左乘式（３），利用式（２ｂ）和歸一化條件〈ψｎ｜ψｎ）＝１，即得式（１）。例２ 維里（Ｖｉｒｉａｌ）定理：設(shè)哈密頓算符為Ｈ＝２μ＋Ｖ（ （〈 ψｎ〉＝２〈ψｎ｜ｒ·"Ｖｒ）｜ψｎ （ ２Ｔ＝ｒ· （這稱為維里定理。討論Ｖ（ｒ）是（ｘ，ｙ，ｚ）的ｖ次齊次函數(shù)的情形。 詳見視頻。第一套模擬試—、論述題：（本題共３６分，前３小題每小題８分，第４小題１２分）１．描述兩個(gè)能夠證明電子具有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)。２．介紹量子力學(xué)描述粒子狀態(tài)的空間以及在此空間中如何選取表象描述粒子的狀態(tài)３．玻色子與費(fèi)密子全同粒子體系波函數(shù)各有何種對(duì)稱性？為什么４．建立彈性散射問題量子力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，并說明如何得到微分散射截面。二、證明題與計(jì)算題： １．（１２分）已知算子ａ與

＾之間對(duì)易關(guān)系為ａ，ａ＋

＝１，證明：粒子數(shù)算符Ｎ≡ａ＋ａ對(duì)易關(guān)＋＾＾＋ ＋Ｎ， ＝ａ２．（１２分）已知上題的對(duì)易關(guān)系及ａ＾＋｜ｎ〉 ｎ＋１｜ｎ＋１〉，其中｛｜ｎ〉｝ 為Ｎ＾的本征函數(shù) ｎ （本征值為ｎ），求Ｎ表象中ａ＋和Ｎ的表示三、（１５分）一維無限深勢(shì)阱Ｖ（ｘ）＝０， ０＜ｘ＜ａ， ｘ＜０，ｘ＞ａ中，求：一個(gè)粒子在這個(gè)勢(shì)阱中的能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；四、（２０分）氫原子以１／４的概率處于ｎ＝２，ｌ＝１，ｍ＝１．自旋

的態(tài)，即Ｒ２１（ｒ）Ｙ１１（θφ，２３／４的概率處于ｎ＝２，ｌ＝１，ｍ＝０．自旋為２（１）寫出氫原子所處狀態(tài)的旋量波函數(shù)

的態(tài)，即Ｒ２１（ｒ）Ｙ１０（θφ）（２）求軌道角動(dòng)量ｚ分量和自旋角動(dòng)量ｚ分量的平均值。五、（２５分）試求哈密頓量為 ２ ２ Ｈ＝－２ｍｄｘ２＋２ｍωｘ＋ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ為小的常量）的體系能量一級(jí)近似 六、（９分）求在算符Ｓｎ＝Ｓｘｃｏｓ＋Ｓｙｃｏ＋Ｓｚｃｓ（電子自旋角動(dòng)量投影）的本征態(tài)ψ１＋ 槡 （ｃｏ＋ｉｓβ測(cè)量電子自旋角動(dòng)量ｚ分量Ｓｚ的可能值可能值及其幾率以及平均值槡１＋第一套模擬試卷參考答—、論述題：（本題共３６分，前３小題每小題８分，第４小題１２分１．答：戴維遜和革么把電子注正入射到鎳單晶上，通過觀察散射電子束的強(qiáng)度和散射角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：散射電子束的強(qiáng)度隨散射角而改變，當(dāng)散射角取某些確定值時(shí)，強(qiáng)度有最大值。這現(xiàn)象與Ｘ射線衍射現(xiàn)象相同，充分說明電子具有波動(dòng)性。另外，讓電子束穿過薄金屬片后，也象Ｘ射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象；電子的波動(dòng)性還可以用與光的雙狹縫衍射相當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)來顯示。將光的雙狹縫衍射中的光源換成電子源，讓電子束通過雙狹縫，用計(jì)數(shù)器在屏上各點(diǎn)接收電子，可得到電子流強(qiáng)度分布與光的雙狹縫衍射相同的分布規(guī)律，這也說明了電子具有波動(dòng)性。２．答：量子力學(xué)描述粒子的狀態(tài)的空間稱為Ｈｉｌｂｅｒｔ空間。該空間采用一組正交完備的函數(shù)集作為基矢量，任何波函數(shù)都可以用這組正交完備的基矢量展開。具體的表象選取是這樣的：以一組力學(xué)量完備集的共同的正交歸一本征函數(shù)集作為基矢量張開的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間就構(gòu)成該力學(xué)量完備集的表象。如設(shè)力學(xué)量Ｑ的正交完備的本征態(tài)集合為｛｜ｕｎ｝，則以｛｜ｕｎ｝為基矢量展開的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間!稱為Ｑ表象。對(duì)于粒子的任意一個(gè)狀態(tài)波函數(shù)用｛｜ｕｎ〉｝展開，記為ψ＝∑Ｃｎｕｎ，則在Ｑ表象中ｎ可以表示為｛Ｃｎ｝。其矩陣形式為ψＴ＝（…，Ｃｎ，…），且ｎ

２＝１ＣｎＣ３．答：因?yàn)椴Ｉ拥淖孕孔訑?shù)為整數(shù)，玻色子全同粒子體系遵循玻色統(tǒng)計(jì)，波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱的；而費(fèi)密子的自旋量子數(shù)為１／２的奇數(shù)倍，費(fèi)密子全同粒子體系遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，波函數(shù)應(yīng)是反對(duì)稱的，受泡利原理限制，不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上費(fèi)密子處于同一個(gè)微觀量子狀態(tài)。４．答：如果一粒子在與另一粒子碰撞的過程中，只有動(dòng)能的交換，粒子的內(nèi)部狀態(tài)并無改變，則這種碰撞為彈性散射。設(shè)處于散射中心的粒子Ａ的質(zhì)量比入射粒子的質(zhì)量大的多，由碰撞而引起的散射中心粒子Ａ的運(yùn)動(dòng)可以忽略，入射粒子受散射中心粒子Ａ的作用而偏離原來的運(yùn)動(dòng)方向，發(fā)生散射。粒子被散射后的運(yùn)動(dòng)方向與入射方向之間的夾角θ稱為散射角。單位時(shí)間內(nèi)散射到面積元ｄＳ上的粒子數(shù)ｄｎ應(yīng)與ｄＳ成正比，而與ｄＳ到散射中心Ａ的距離ｒ平方成反比，即：ｄｎ～ｄＳ＝ｄ；同時(shí)ｄｎ還應(yīng)與入射粒子流強(qiáng)度Ｎ成正比，即ｄｎ～Ｎｄ，在一般情況下，ｄｎ與觀察的方（θ）向有關(guān)，因而可設(shè)比例系數(shù)為ｑ（θφ，稱為微分散射截面。則ｄｎ＝ｑ（θφＮｄΩ （１）另一方面，從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，散射體系的波函數(shù)應(yīng)由兩部分組成，一部分描寫入射粒子的ψ面 ＝Ａｅｉｋｚ（設(shè)入射方向?yàn)椋较颍│祝绷硪徊糠质敲鑼懮⑸淞Ｗ拥牟ê瘮?shù)，應(yīng)為散射球面波ψ２＝ｆ（θ

ｒ，這個(gè)波是由散射中心向傳播的，ｆ（θφ稱為散射振幅。由于是彈性散射，所以散射波的能量不變，即ｋ的數(shù)值應(yīng)不變。則２２＝ψ１＋ψ２，滿足薛定諤方程－２ｍ"ψ＋Ｕψ＝Ｅψ，因?yàn)橛^察離散射中心比較遠(yuǎn)，故ｒ!時(shí)，Ｕ（ｒ）ｚ０。取Ａ＝１， ２＝１，入射波的幾率流密度是ｚ

＝

１ψｚ １－１ψｚ

ψ１＝ψ*ｒ ψ*ｒ散射波的幾率流密度是

＝

ψ

— ψ２

＝ ｆ（θφ２故單位時(shí)間內(nèi)穿過面積ｄＳ的粒子數(shù)

ｄｎ＝ＪｄＳ＝ ｆ（θ ２ｄＳ＝ ｆ（θ ２ （ 因?yàn)棣裕剑危容^（１）和（２）式，可知微分截面ｑ（θ） ｆ（θφ可見，只要知道了ｆ（θ）就可求得ｑ（θ）。ｆ（θ）的具體形式通過求解薛定諤方程并在ｒ!時(shí)的解得出二、證明題與計(jì)算題１．（１２分＾＾＋

＾＾＋ ＾

＾＾ ＾

＾＋

＾ ＾＾

＾＋ ＾證： ａ，２．（１２分

＝１， Ｎ， ＝ａａａ－ａａａ＝ａ（ａａ－ａａ）＝＾解：∵

＝〈ｍ｜ａ＋｜ｎ〉＝槡ｎ＋

ｍ，

，

＝〈ｍ｜Ｎ｜ｎ〉＝

ｍ，

，所以，在Ｎ表象中，它們矩陣形式

００ ００…

…

ａ＋＝

０

Ｎ＝

… …００槡 ……

… …三、（１５分

２ 從薛定諤方程－２ｍｄｘ２ψ＋Ｖ（ｘ）ψ＝Ｅψ和所給條件，可得ｄ２ｄｘ２ｍＥψ＝ｄ２ｄｘ２ｍＥψ＝０ ０＜ｘ＜ （ｄ２ψ ｘ＞ａ，ｘ＜ （根據(jù)波函數(shù)滿足連續(xù)、單值、有限性，可知，在ｘ＜０，ｘ＞ａ的情況下，ψ＝０，故我們只需考慮（１）式的解。 設(shè)ｋ ２Ｅ，則（１）式變?yōu)椋洌拨祝毽祝搅瞀祝剑粒悖铮螅耄拢螅椋睿耄?，ψ０）＝Ａ＋０＝ψａ）＝Ａｃｏｓｋａ＋Ｂｓｉｎｋａ?/p>

Ａ＝０Ｂｓｉｎｋａ＝０而Ｂ不能為零，則，ｓｉｎｋａ＝０ 得到，ｋａ＝ｎπ即，ｋ＝ｎπ其中，ｎ＝１，２，…。ｎ不能為零，ａ!∫致波函數(shù)恒處于零。因此，ψｘ）＝Ｂｓｉｎｎπ，利用歸一性∫ａ

ψｘ）２ｄｘ

ａ∫Ｂ２ａ

ｘｄｘ＝１Ｂπ槡π槡２２則，能量本征值是：Ｅｎ＝２ｍａ２對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)

ｎ＝１，２，３，ψｘ）

ｎπｘ ０＜ｘ＜

ｎ＝１，２，ａ ｘ＞ ｘ＜ａ四、（２０分 （１）（ｒ，θφｓ）＝１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）＋槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（ψｒ，θφｓ）＝１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）－槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（或（ｒ，θ）＝－１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）＋槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（ψｒ，θφｓ）＝－１２

（ｒ）

（θφ

１／

（ｓ）－槡Ｒ２Ｒ

（ｒ）

（θφ

－１／

（１（２）在以上四個(gè)旋量波函數(shù)中，ｌ＝１，ｍ＝１或０，因此，軌道角動(dòng)量ｚ分量的平均值為：ｌｚ＝４＋３×０

；而在

時(shí)，概率為１／４，Ｓ

＝－ 時(shí)概率為３／４，所以，自旋角動(dòng)量的平均值為：Ｓ＝１ ＋３×（ ）＝ 五、（２５分 ２ ２解：從題設(shè)可將Ｈ改寫成兩項(xiàng)：Ｈ＝Ｈ０＋Ｈ′，其中：Ｈ０＝－２ｍｄｘ２＋２ｍω ０是為無微擾的一維線性諧振子的哈密頓，Ｈ′＝ａｘ３＋ｂｘ４中ａ， 均為小的常量，可看作是對(duì)０ 的微擾。因此，可設(shè)ψ０）＝｜ｎ〉，Ｅ（０）＝（ｎ＋ ２而一級(jí)修正為ＥＥ

＝

＝〈ｎ｜Ｈ′｜ｎ〉＝〈ｎ｜（ａｘ３＋ｂｘ４）｜ｎ〉＝ａ〈ｎ｜ｘ３｜ｎ〉＋ｂ〈ｎ｜ｘ４｜ｎ由于：ｘ｜ｎ〉＝ α槡

｜ｎ－１〉＋

ｎ＋１｜ｎ＋１〉

，所以ｘ２｜ｎ〉＝ｘ·ｘ｜ｎ〉＝１ ｎｘ｜ｎ－１〉 ｎ＋１ｘ｜ｎ＋１〉α

α槡槡２｜ｎ－２〉槡２

槡｜ｎ

｜ｎ〉 ｜ｎ＋２〉＝

ｎ－

ｎ＋

ｎ＋

ｎ＋ 槡＝１

槡 ＋ 槡２α２槡ｎ（ｎ－１）｜ｎ－２〉＋（２ｎ＋１）｜ｎ〉

槡（ｎ＋１）（ｎ＋

｜ｎ＋２＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｘ｜ｎ＋１ｘ３｜ｎ〉＝ｘ·ｘ２｜ｎ〉 ２槡ｎ（ｎ－１）＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｘ｜ｎ＋１槡ｎ（ｎ－１） ｎ－２｜ｎ－３〉 ｎ－１｜ｎ－１〉＋（２ｎ＋１） ｎ｜ｎ－１〉 ｎ＋１｜ｎ＋１〉１ 槡 槡 槡 槡 ＝

槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）

ｎ＋

｜ｎ＋１〉

ｎ＋

｜ｎ＋３〉

槡 槡１＝２槡

槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）｜ｎ－３〉＋３ｎ槡ｎ｜ｎ－１〉＋３（ｎ＋３）槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）｜ｎ＋３〉

槡ｎ＋１｜ｎ＋１〉＋同３〉 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）ｘ３〉 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）ｘ｜ｎ－３〉＋３ｎ槡ｎｘ｜ｎ－１〉｜ｎ３（ｎ＋１）槡ｎ＋１ｘ｜ｎ＋１〉＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）ｘ｜ｎ｜ｎ槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）

ｎ

＋３ｎ槡 ｎ

｜ｎ－２〉

ｎ｜ｎ

槡１ 槡槡

槡 槡 ｜ｎ＋２ ｜ｎ＋２ ３（ｎ＋１）槡ｎ

ｎ｜ｎ〉

ｎ ＋（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）

ｎ

｜ｎ＋２〉

ｎ ｜ｎ 槡 槡 槡 槡 槡ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）｜ｎ－４〉＋［（ｎ－２）槡ｎ（ｎ－１）＋３ｎ２（ｎ－１）槡（ｎ－２）］｜ｎ－２〉１ ＝４［３ｎ２＋３（ｎ＋１）２］｜ｎ〉＋［３（ｎ

（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋（ｎ

槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）］｜ｎ＋２〉＋槡（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）｜ｎ＋４ 所以，〈ｎ｜ｘ３｜ｎ〉＝〈ｎ｜

｜ｎ〉

＋３（ｎ＋

２

２ｎ２＋２ｎ＋從而，Ｅ（１）

３ｂ（

＋２ｎ＋１），能量的一級(jí)近似為 Ｅ＝（ｎ＋１）ω＋３ｂ（２ｎ２＋２ｎ＋ 六、（９分解

１＋

１

１＋ｃｓγｃ＋

０ψ１／

１＋ｃｏｓγｃｏｓ＋ｉｃｏｓ＝ ２

１＋

知，電子自旋 １＋ｃｏｓ １＋ １－ 動(dòng)量ｚ分量Ｓｚ的可能值 ２或－２，幾率分別是 ；電子自旋角動(dòng)量ｚ分量Ｓｚ平均值為Ｓ １＋ｃｏｓ＋（ ）１－γ 第二套模擬試—、問答題（每小題８分，共４０分＾１．對(duì)于一個(gè)力學(xué)量Ｆ，在其本征態(tài)φｎ中，該力學(xué)量可取何值？在某非本征態(tài)ψ中，該力學(xué)量可何值，各取值出現(xiàn)的幾率如何確定２．何為全同粒子？全同粒子體系的波函數(shù)有何特點(diǎn)？３．量子力學(xué)中的力學(xué)量需要是線性厄密算符，為什么４．軌道角量子數(shù)ｌ＝１，并且自旋角量子數(shù)為ｓ＝１／２的粒子，其總角動(dòng)量的角量子數(shù)和磁量子數(shù)分別可取何值？５．簡(jiǎn)述愛因斯坦關(guān)于光的發(fā)射和吸收的理論。二、證明題（每小題１０分，共３０分）１．證明：定態(tài)中，幾率密度和幾率流密度不隨時(shí)間改變。２．證明：表象理論中量子力學(xué)算符矩陣為厄密陣。３．已知：Ｌ＾＝Ｌ＾ｘ±ｉＬ＾ｙ；證明：三、（１０分）設(shè)氫原子處在狀態(tài)

Ｌ＾ｚ，Ｌ＾±＝±Ｌ＾Ψｒ，θ，ｓｚ）＝３Ｒ２１（ｒ）Ｙ１１（θ）χ１（ｓｚ）＋４ａＲ２１（ｒ）Ｙ１０（θφχ－１（ｓｚ 求：（１）能量、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量ｚ分量及自旋角動(dòng)量ｚ分量的可能值（２）這些可能值出現(xiàn)的幾率和它們的平均值。四、（２０分）某體系哈密頓量的矩陣形式為 ０Ｈ＝ａ ０ ０ｂ－其中ａ、ｂ為實(shí)數(shù)且遠(yuǎn)小于１求：（１）利用矩陣形式的本征方程求解體系能量的精確值（２）應(yīng)用微擾論求體系能量至二級(jí)近似第二套模擬詳見第三套模擬試—、填空題（１、２題共１０空，每空２分，３題２０分，共４０分１、在量子力學(xué)中，體系的量子態(tài)用Ｈｉｌｂｅｒｔ空間中的 來描述，而力學(xué)量用 來描述。力學(xué)量算符必為 算符，以保證其 為實(shí)數(shù)。當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果一般來說是不確定的。測(cè)量結(jié)果的不確定性來源于 ２．在量子力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)量是否是守恒量只決定于 的性質(zhì)，也就是說，決定于該力學(xué)量是否與體系的 對(duì)易，而與體系的 無關(guān)。一個(gè)力學(xué)量是否具有確定值，只決定于體系的 ，也就是說，決定于體系是否處于該力學(xué)量的 ，無論該力學(xué)量是否是守恒量。３．簡(jiǎn)要說明（２０分（ａ）束縛定態(tài)的主要性質(zhì)（ｂ）單價(jià)原子自發(fā)能級(jí)躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。二、證明題（３小題，每題１０分，共３０分）。 １．設(shè)全同二粒子的體系的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量為Ｈ（１，２），波函數(shù)為ψ１，２）。試證明交換算符Ｐ１２是個(gè)守恒量＾ ＾２．設(shè)Ｕ是一個(gè)幺正算符，求證Ｈ＝ｉｄｔ·Ｕ是厄米算符＾３．設(shè)σ為Ｐａｕｌｉ矩陣ｙ（１）求證：ｅｉ＝ｃｏｓθ＋ｉσｙ（２）試求：ｒｅ＾三、（１０分）求證：ψｘｙｚ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ是角動(dòng)量平方算符ｌ２的本征值為２２的本征函數(shù)四、（１０分）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)ψθφ （ｅｉｉｎ＋ｃθ所描述的量子態(tài)。求＾（１）在該態(tài)下，ｌｚ的可能測(cè)值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率＾（２）ｌｚ的平均值如有必要可利用

３ｃｏ槡１槡

３ｉθｅ±槡 五、（２０分）已知在一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征值和本征函數(shù)分 ２２ Ｅｎ＝２ｍａ２ ψｎ＝槡ａ

ａ （ｎ＝１，２，３，…＾設(shè)粒子受到微擾：Ｈ′（ｘ）

２ｋ， ０＜ｘ＜ａ （ａ－ｘ）， ＜ｘ＜ａ 求基態(tài)（ｎ＝１）能量的一級(jí)近似?！遥悖铮螅洌剑悖铮螅?、（２０分）設(shè)｜ｎ〉（ｎ＝１，２，３，…）表示一維諧振子的能量本征態(tài)，且已知ｘ｜ｎ〉＝１ ｎ＋１｜ｎ＋１〉＋ ｎ｜ｎ－１〉， α＝ α槡 槡 （１）求矩陣元〈ｍ｜ｘ２｜ｎ〉（２）設(shè)該諧振子在ｔ＝０時(shí)處于基態(tài)｜０〉，從ｔ＞０開始受微擾Ｈ′＝ｘｅ－２ｋｔ的作用。求：經(jīng)過充分長(zhǎng)時(shí)間（ｔ!以后體系躍遷到｜２〉態(tài)的幾率。七、（共２０分，每小題１０分某物理體系由兩個(gè)粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。已知單粒子“軌道”態(tài)只有３種 ψａ（ｒ），ψｂ（ｒ），ψｃ（ｒ），試分別就以下兩種情況，求體系的可能（獨(dú)立）狀態(tài)數(shù)目（１）無自旋全同粒子（２）自旋角動(dòng)量

的全同粒子（例如電子）２第三套模擬詳見第四套模擬試、填空題及簡(jiǎn)答題（４０分１．Ｐｌａｎｃｋ的量子假說揭示了微觀粒 特性，Ｅｎｓｔｅｉｎ的光量子假說揭示了光性。Ｂｏｈｒ的氫原子理論解決了經(jīng)典電磁場(chǎng)理論和原子的 之間的矛盾，解決了原子的的起源問題。２．力學(xué)量算符必須是 算符，以保證它的本征值為 。對(duì)一個(gè)量子體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，所得到的測(cè)量值肯定是 當(dāng)中的某一個(gè)，測(cè)量結(jié)果一般來說是不確定的，除非體系處于該力學(xué)量的某一本征態(tài)。測(cè)量結(jié)果的不確定性來源于 。兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件是 ３．量子力學(xué)中的力學(xué)量需要是線性厄密算符，為什么？４．簡(jiǎn)述愛因斯坦關(guān)于光的發(fā)射和吸收的理論。５．何為態(tài)疊加原理？某波函數(shù)展開為某算符本征態(tài)疊加表示中的疊加系數(shù)有何物理意義？二、證明題 ＾１．設(shè)算符ａ具有性質(zhì)ａ２＝０，｛ａ，ａ＋｝＝１。求證 （１）Ｎａ＋ａ本征值必為實(shí)數(shù) （２）Ｎ２＝＾（３）Ｎ的本征值為０或者１２．利用對(duì)易式σ×σ＝２ｉ，求證：｛σ，σ｝＝０，（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）其中，σ，σ為泡利矩陣。３．證明一維諧振子 ＜Ｖ＞＝＜ｐ２／２＞。三、（本題１５分 →１．設(shè)氦原子中的兩個(gè)電子都處于１ｓ態(tài)，（不簡(jiǎn)并）兩個(gè)電子體系的空間波函數(shù)為 ψ１００（ｒ１）ψ１００（ｒ２）（１）寫出兩個(gè)電子體系的四個(gè)可能的自旋波函數(shù)χ，χ２，χ，→（２）寫出對(duì)兩個(gè)電子的交換反對(duì)稱的總體波函數(shù)φ（ｒｒｓ１ｚｓ２ｚ（同時(shí)考慮空間自由度和自旋自由度）２．一電子處于自旋態(tài)｜ψ〉＝１（｜↑〉＋｜↓〉），求

（ｒ１，ｒ２）２ ２槡＾（１）在自旋態(tài)｜ψ〉下，Ｓｚ的可能測(cè)值與相應(yīng)的幾率＾（２）在自旋態(tài)｜ψ〉下，Ｓｘ的可能測(cè)值與幾率四、（本題１５分）設(shè)一個(gè)類氫離子的電荷數(shù)由由Ｚ變成Ｚ＋１，試用微擾方法計(jì)算基態(tài)能量的一級(jí)近似值。已知：類氫離子的基態(tài)能量本征值和本征函數(shù)３Ｅｎ＝

，ψ１００

１（Ｚ

–ｅ–計(jì)算時(shí)，可利用積分公

ｄｘ ∫０五、（本題２０分

設(shè)一維諧振子的能量本征函數(shù)為ψｎ（ｘ），求＾（１）動(dòng)量ｐ在ψｎ（ｘ）態(tài)下的平均值＾（２）動(dòng)能Ｔ在ψｎ（ｘ）態(tài)下的平均值。如有必要，可以利 ｄψ（ｘ）＝ （ｘ） ｎ＋ ψψ槡２

ｎ＋１（ｘ）槡六、（本題１５分設(shè)一量子體系的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量 ａ２ Ｈ＝ ａ３ ａ Ｅ２而且

２、

２３２、ａ １，試?yán)梦_法計(jì)算體系能量的一，二級(jí)修正值２３七、（１０分）在偶極近似條件下，根據(jù)選擇定則畫出下圖中各能級(jí)間可能發(fā)生的躍遷。（直接畫在圖上）第五套模擬試、填空題及簡(jiǎn)答題（本題２８分＾１．自由粒子的能量算符Ｈ＝ ，它是 是自由粒子能量算符的本征值 的本征函數(shù)，它是平面單色波 的疊加態(tài)，在該態(tài)下， 具有確定值，但 不具有確定值，它的可能測(cè)值是 ２．一個(gè)處于２ｐ態(tài)的電子，問軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量耦合后的總角動(dòng)量的角量子數(shù)ｊ和磁量子數(shù)ｍ可取何值？３．何為全同粒子？全同粒子體系的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？二、（本題１２分）在下列兩種情況下，求一維運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量平均值ｐ（１）波函數(shù)ψｘ）是實(shí)函數(shù)０（２）波函數(shù)φｘ）＝（ｘ）ｅｉｋ０ｘ，其中，（ｘ）是歸一化的實(shí)函數(shù)，ｋ是實(shí)常數(shù)。三、（本題１０分）０在氯化鈉晶體內(nèi)有些負(fù)離子空穴，每個(gè)空穴束縛一個(gè)電子，因此可將這些電子看成束縛在邊長(zhǎng)為晶格常數(shù)的立方體內(nèi)的粒子。設(shè)在室溫下電子處于基態(tài)，求處于基態(tài)下的電子吸收電磁波躍遷到第一激發(fā)態(tài)時(shí)，所吸收電磁波的波長(zhǎng)。四、（本題１０分個(gè)電子在ｔ＝０時(shí)，觀測(cè)到自旋沿ｚ軸正向。問在ｔ＞０時(shí)電子的自旋方向在ｘ－ｚ平面內(nèi)Ｚ軸成θθ＜π）角的幾率是多少２五、（本題１５分設(shè)