測量誤差理論基本知識

關(guān)于測量誤差理論基本知識第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述1.基本概念誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之差。真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界條件。誤差產(chǎn)生原因：實踐表明，由于三大客觀條件的存在，對同一量進(jìn)行觀測多次時，測量結(jié)果總是存在著差異。第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述1.基本概念粗差：讀錯、記錯、測錯等錯誤，統(tǒng)稱粗差。粗差在測量中不允許出現(xiàn)，它不屬于誤差的范疇。等精度觀測：三大客觀條件相同的觀測。不等精度觀測：三大客觀條件不同的觀測。

第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述2.誤差的分類誤差按性質(zhì)分為：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)（偶然）誤差。2.1系統(tǒng)誤差⑴定義在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的符號、數(shù)值的大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑵性質(zhì)系統(tǒng)誤差具有累積性。它可以通過適當(dāng)?shù)挠^測方法或計算方法加以消除。第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述2.2隨機(jī)（偶然）誤差⑴定義在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一致，且從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。例如，估讀誤差、氣泡居中誤差、照準(zhǔn)誤差等。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑵性質(zhì)隨機(jī)誤差表面上無規(guī)律可尋，但受其內(nèi)部必然規(guī)律的支配。實踐表明：對某量進(jìn)行多次觀測，在只含有隨機(jī)誤差的情況下，其誤差出現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如，擲硬幣，出現(xiàn)正反面的機(jī)會，隨次數(shù)的增多而趨于相等。

正面反面正面反面反面正面正面反面反面第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述⑶隨機(jī)誤差的特性①有界性在一定的觀測條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定限度。②范圍性在一定的觀測條件下，絕對值較小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-1測量誤差概述③對稱性在一定的觀測條件下，絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。+--++-第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月④抵償性在一定的觀測條件下，同一量的等精度觀測，其隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的增多而趨于0，即其中，[]為總和的意思，相當(dāng)于“∑”§5-1測量誤差概述+-++--第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.學(xué)習(xí)誤差理論知識的目的了解隨機(jī)誤差的特性；正確處理觀測值，得出最可靠結(jié)果，衡量精度；用誤差理論指導(dǎo)實踐，規(guī)劃測量作業(yè)，達(dá)到預(yù)期精度。§5-1測量誤差概述OY(k/n/d△)X(△)第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.算術(shù)平均值在等精度觀測條件下，對某量進(jìn)行多次觀測，通常取其平均值作為最后結(jié)果，認(rèn)為是最可靠的。例如，對某量丈量4次，觀測值為l1，l2，l3，l4

則算術(shù)平均值為§5-2觀測值的算術(shù)平均值

若觀測n次，則第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.觀測值的改正數(shù)v改正數(shù)的定義：觀測值與算術(shù)平均值之差。即

§5-2觀測值的算術(shù)平均值

上式兩端取和有：因所以即，觀測值的改正數(shù)之和為0，它可以作為計算工作的檢核。第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂精度，即是指誤差分布的集中與離散程度，誤差分布集中，說明觀測值精度好（高），誤差分布離散，說明觀測值精度低。標(biāo)準(zhǔn)有：方差或中誤差、相對誤差、極限誤差§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差在同精度觀測條件下，對某量進(jìn)行了n次觀測，得觀測值為l1,l2,……,ln，設(shè)其真誤差分別為△1，△2，……，△n，則定義該組觀測值的精度為：§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)方差其中第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差當(dāng)n有限時，用均方差，即中誤差m來衡量精度，即菲列羅公式：§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差菲列羅公式：§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)注意：m代表一組觀測值的精度。即這組觀測值中的每一個觀測值都具有這樣的精度，或者說，同精度觀測值具有相同的精度。

△彼此并不相同，這是由于隨機(jī)誤差的性質(zhì)所決定的。

m的取位，要取2-3位有效數(shù)字。

第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差與中誤差例1：設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它們進(jìn)行10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和真誤差為：第1組：

+3″、-2″、-4″、+2″、0″、-4″、+3″、+2″、-3″、-1″第2組：

0″、-1″、-7″、+2″、+1″、+1″、-8″、0″、+3″、-1″試求這兩組觀測值的中誤差，并比較精度高低?！?-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解：依據(jù)菲列羅公式得

m1=±2.7″m2=±3.6″故第1組觀測值精度高于第2組觀測值精度?！?-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月白塞爾公式：通常觀測值的真值是不知道的。如某一段距離、某一角度、某一點高程等，因此，無法計算真誤差△，因而就不能用菲列羅公式計算一組觀測值的中誤差。但是觀測量的最或是值是可求的，這時可用改正數(shù)v來計算中誤差，即用白塞爾公式計算：§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月白塞爾公式：

§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月方差與中誤差結(jié)論：已知觀測值真值時，用菲列羅公式求觀測值得中誤差；

未知觀測值真值時，用白塞爾公式求觀測值中誤差?！?-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差真誤差△與中誤差m都是絕對誤差。相對誤差(k)：

絕對誤差的絕對值與相應(yīng)的測量成果之比，并化成1/N形式，即§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)——相對中誤差——相對誤差第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差例2：分別丈量兩段距離，其結(jié)果為100m±0.02m和200m±0.02m，試比較其角度高低。解：兩者中誤差分別為

m1=±0.02，m2=±0.02m相對誤差為

§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)通過比較可知，后者較前者精度高。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差例3：試比較角20°35′25″±10″和角70°20′42″±10″精度的高低。解：因為m1=m2=±10″

且角度無論大小均為兩方向讀數(shù)之差，故只要中誤差相等，說明精度相同。

§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.相對誤差結(jié)論：經(jīng)緯儀測角時，不能用相對誤差的概念衡量精度，相對誤差用于衡量與長度、面積、體積等有關(guān)的量?！?-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差根據(jù)隨機(jī)誤差的有界性可知，在一定的觀測條件下隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的限度。中誤差只能代表一組觀測值的精度，而不能代表某一個觀測值的真誤差大小，但二者之間有一定的統(tǒng)計學(xué)上的關(guān)系?！?-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差在一系列等精度觀測誤差中：

|△|>|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為30%|△|>2|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為5%|△|>3|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為0.3%§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差換言之，

|△|≤|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為70%|△|≤2|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為95%|△|≤3|m|的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為99.7%

§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極限誤差與容許（允許）誤差故一般認(rèn)為大于3m的隨機(jī)誤差是不可能的，所以一般取3m為隨機(jī)誤差的極限誤差，即

|△極|=3|m|測量中，取2m為△的容許值△容，即

|△容|=2|m|若觀測值的隨機(jī)誤差超過2m，認(rèn)為該值不可靠（但不是錯誤），應(yīng)舍去不用。§5-3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.誤差傳播定律的定義在實際工作中，某些未知量不能直接觀測而求得，而是需要用觀測值間接求得，如HB=HA+∑h中，HB是獨立觀測值h1,h2,…,hn的函數(shù)，那么就需要由觀測值的中誤差求出函數(shù)的中誤差。定義：闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。

§5-4誤差傳播定律

——觀測值函數(shù)的中誤差

第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用求函數(shù)中誤差的步驟①根據(jù)題意，列出函數(shù)式②求增量，即求全微分。若為線性函數(shù)，則可省略此步驟③應(yīng)用誤差傳播定律求出函數(shù)中誤差第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用例1：在三角形ABC中，直接觀測了角A和角B，其中誤差分別為mA=±3″，mB=±4″，試求角C的中誤差mC

。解：①列函數(shù)式：C=180°-A-B②求增量（此步可省略）：△C=-△A-△B

③應(yīng)用誤差傳播定律求mCABC?mc=±5″第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用例2：若題為已知mA=±３″，為使C角具有±5″的精度，問B角需以多高的精度觀測？分析：題中觀測量為A、B角，函數(shù)為C。ABC?第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用解題：①列函數(shù)式：C=180°-A-B②求增量（此步可省略）：③應(yīng)用誤差傳播定律ABC?即，B角需以不低于±4″的精度觀測，才能使C角具有±5″的精度。第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用例3：已知水準(zhǔn)測量中，每測站高差中誤差均為m站，由A測向B共測n站，求總高差的中誤差A(yù)B1342第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§5-5誤差傳播定律的應(yīng)用解：①列函數(shù)式AB1342②應(yīng)用誤差傳播定律第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年