上海市虹口區(qū)第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

上海市虹口區(qū)第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直線Ax﹣By﹣C=0不經(jīng)過的象限是（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限參考答案：B考點(diǎn)： 確定直線位置的幾何要素．專題： 計(jì)算題．分析： 化直線的方程為斜截式，由已知條件可得斜率和截距的正負(fù)，可得答案．解答： 由題意可知B≠0，故直線的方程可化為，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的幾何意義可知直線不經(jīng)過第二象限，故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線的斜率和截距的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．2.（5分）函數(shù)g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值為（） A． 5 B． 9 C． 21 D． 6參考答案：B考點(diǎn)： 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷：函數(shù)g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]單調(diào)遞減，求解即可．解答： ∵函數(shù)g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]，∴對(duì)稱軸為x=2，∴函數(shù)g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]單調(diào)遞減，∵最小值為g（0）=9，故選：B點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，閉區(qū)間上的最值，屬于容易題，難度不大．3.已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C4.設(shè)數(shù)集，，且都是集合,叫做集合的“長(zhǎng)度”，那么集合的“長(zhǎng)度”

的最小值是

A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則的值是A．0

B．

C．1

D．參考答案：B6.判斷下列各命題的真假：（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4）兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；(6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)

參考答案：C7.如圖是2018年我校舉辦“激揚(yáng)青春,勇?lián)?zé)任”演講比賽大賽上,七位評(píng)委為某位選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為(

)A.85；87 B.84；86 C.85；86 D.84；85參考答案：D【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義，去掉最高分和最低分后計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】去掉最高分：93；最低分：79中位數(shù)為：84；平均數(shù)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖求解中位數(shù)和平均數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.4.甲乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲乙下成和棋的概率為（）A．60%

B．30%

C．10%

D．50%參考答案：D略9.如圖，為了測(cè)量山坡上燈塔CD的高度，某人從高為的樓AB的底部A處和樓頂B處分別測(cè)得仰角為，，若山坡高為，則燈塔高度是（

）A.15 B.25 C.40 D.60參考答案：B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中由正弦定理求得，在中求得，從而求得燈塔的高度．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高為，則燈塔的高度是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用和正弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．10.函數(shù)y=2sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇﹣2，]，則b﹣a的最大值和最小值之和等于（）A．4π B． C．D．3π參考答案：C【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)y=2sinx的最大值為2，最小值為﹣2，而函數(shù)y=2sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇﹣2，]，不妨假設(shè)[a，b]中含有﹣，當(dāng)b﹣a最大值時(shí)，a=﹣，b=，此時(shí)，b﹣a=；當(dāng)b﹣a最小值時(shí)，a=﹣，b=，此時(shí)，b﹣a=，故b﹣a的最大值和最小值之和等于=，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡(jiǎn)

.參考答案：12.已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量，則向量____，向量____．參考答案：(3,1)

(－7,－4)；【分析】由點(diǎn)，，向量，先求出點(diǎn)坐標(biāo)為，由此利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則能求出向量和向量．【詳解】點(diǎn)，，向量，點(diǎn)坐標(biāo)為，向量，向量．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減坐標(biāo)運(yùn)算。13.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則

．參考答案：414.與直線2x+3y﹣6=0平行且過點(diǎn)（1，﹣1）的直線方程為．參考答案：2x+3y+1=0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】設(shè)與直線2x+3y﹣6=0平行的直線方程為2x+3y+m=0，把點(diǎn)（1，﹣1）代入解出m即可得出．【解答】解：設(shè)與直線2x+3y﹣6=0平行的直線方程為2x+3y+m=0，把點(diǎn)（1，﹣1）代入可得：2﹣3+m=0，解得m=﹣．因此所求的直線方程為：2x+3y+1=0，故答案為2x+3y+1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15.對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：

①

②

③

④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

▲

參考答案：②④16.設(shè)f（x﹣1）=3x﹣1，則f（x）=．參考答案：3x+2【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】由題意需要設(shè)x﹣1=t，再用t表示x，代入f（x﹣1）=3x﹣1進(jìn)行整理，然后再用x換t．【解答】解：設(shè)x﹣1=t，則x=t+1，代入f（x﹣1）=3x﹣1得，f（t）=3（t+1）﹣1=3t+2，∴f（x）=3x+2，故答案為：3x+2．17.函數(shù)，的值域?yàn)?/p>

參考答案：[4,26]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1（其中x∈R），求：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（3）函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1=2sin2x+2sinxcosx﹣1=1﹣cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x﹣），故（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為=π．（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）令2x﹣=kπ+，求得x=+，可得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=+，k∈Z；2x﹣=kπ，求得x=+，可得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為（+，0），k∈Z．19.如圖,是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若平面,平面平面,,且（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求證：平面平面。參考答案：證明:(1)取的中點(diǎn),連接、,因?yàn)?，且…?分所以,,.

……3分又因?yàn)槠矫妗推矫?所以平面

所以∥，

………4分又因?yàn)槠矫?平面，

………5分所以∥平面.

…………6分(2)由(1)已證∥,又,,所以四邊形是平行四邊形,

所以∥.

……………8分由（1）已證，又因?yàn)槠矫妗推矫?所以平面,

所以平面.

又平面,所以.

........10分

因?yàn)?,所以平面.

因?yàn)槠矫?所以平面⊥平面.

…12分略20.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且滿足，，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，.（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用，可求公差，然后可求；的通項(xiàng)公式可以利用退位相減法求解；（Ⅱ）求出代入，利用分離參數(shù)法可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，又，也成立，∴是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴.（Ⅱ），∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和參數(shù)范圍的確定，熟練掌握公式是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.在等差數(shù)列{an}中，公差，且，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量或者性質(zhì)可求；（2）利用錯(cuò)位相減法可以求得.【詳解】解：（1）由題可得，聯(lián)立解得或（舍去），.(2)由（1）可得，則有，①，②由②-①式得，整理得.22.如圖，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于點(diǎn)D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E﹣BD﹣C的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】不妨設(shè)AB==SA，利用已知和勾股定理可得SB=BC=，AC．在Rt△SAC中，可得∠SCA，SC．利用DE垂直平分SC，可得EC，DC．利用余弦定理可得BD，再利用勾股定理的逆定理可得BD⊥DC．利用線面、面面垂直的性質(zhì)定理可得BD⊥平面SAC，因此BD⊥DE．于是得到∠EDC是二面角E﹣BD﹣C的平面角．【解答】解：如圖所示．不妨設(shè)AB==SA，則SB=BC