2020-2021學年上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有2題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接寫結果，1～6題每個空格填對得4分，7～12題每個空格填對得5分.1．（4分）角75°可以換算成弧度．2．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（1，﹣2），則α的正弦值是．3．（4分）指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點（2，9），則該指數(shù)函數(shù)的表達式為．4．（4分）函數(shù)y＝log2（x+1）的定義域是．5．（4分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，則x的解為．6．（4分）已知tanα＝，tanβ＝﹣2，則tan（α+β）＝．7．（5分）函數(shù)f（x）＝sin（kx+）（其中常數(shù)k≠0）的最小正周期是2，則k＝．8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈R，y＝f（x）是奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝x3+2x﹣1，則x＜0時，f（x）＝．9．（5分）在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，則△ABC的面積是．10．（5分）已知tcosx+1＝2t，x∈R，則實數(shù)t的取值范圍是．11．（5分）函數(shù)y＝sin2x+2sinx?cosx+3cos2x的最大值是．12．（5分）已知點A的坐標為（1，2），將OA繞坐標原點O逆時針旋轉至OA′，則點A′的坐標為．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.13．（5分）下列函數(shù)與函數(shù)y＝x相同的是（）A． B．y＝lnex C． D．y＝14．（5分）在非等邊斜三角形ABC中，R為△ABC的外接圓半徑，S為△ABC的面積，下列式子中正確的是（）A．cosA＝sin B．S＝2RsinA?sinB?sinC C．tanA+tan+tanC＝tanA?tanB?tanC D．15．（5分）下列式子中正確的是（）A．sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαsinβ B．cos（α+β）?cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β C．tan（α+β）?tan（α﹣β）＝tan2α﹣tan2β D．sin（α+β）?sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β16．（5分）函數(shù)f（x）＝sin4x+cos4x，設它的最小正周期為T，值域為M，則（）A．且f（x）為奇函數(shù) B．且f（x）為偶函數(shù) C．且f（x）為奇函數(shù) D．且f（x）為偶函數(shù)三、解答題（第17～19題每題14分，第20題16分，第21題18分，滿分76分）17．（14分）某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，設立了兩個觀測點A和B．某日兩個觀測點的林場人員都觀測到C處出現(xiàn)火情在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處，問火場C分別距離A以及B多遠．（精確到千米）18．（14分）設函數(shù)，x∈R，a＞0．（1）若，求a；（2）是否存在正實數(shù)a＞0，使得是偶函數(shù)．19．（14分）已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（，2π）．（1）計算sin2α?cos2β；（2）計算．20．（16分）已知函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一個周期內，當x＝時，y有最大值為2，當x＝時，y有最小值為﹣2．（1）求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）表達式；（2）并畫出函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）在一個周期內的簡圖．（用“五點法”）；（3）當x∈[0，]時，求函數(shù)的最值．21．（18分）設函數(shù)f（x）＝x+tanx，，函數(shù)g（x）＝tan（x+θ）+θ?sin2x，，k∈Z．（1）當函數(shù)y＝g（x）是奇函數(shù)，求θ；（2）證明y＝f（x）是嚴格增函數(shù)；（3）當y＝g（x）是奇函數(shù)時，解關于α的不等式[f（α）]3﹣[g（α）]3＞．

2020-2021學年上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有2題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接寫結果，1～6題每個空格填對得4分，7～12題每個空格填對得5分.1．（4分）角75°可以換算成弧度．【分析】利用180°等于π弧度，計算即可．【解答】解：75°＝75×＝，所以75°可以換算成弧度．故答案為：．【點評】本題考查了角度制化為弧度制的應用問題，是基礎題．2．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（1，﹣2），則α的正弦值是．【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：由題意得sinα＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．3．（4分）指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點（2，9），則該指數(shù)函數(shù)的表達式為y＝3x．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝ax圖象過點（2，9），代入解得a的值．【解答】解：指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點（2，9），所以9＝a2，解得a＝3，所以該指數(shù)函數(shù)的表達式為y＝3x．故答案為：y＝3x．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的定義與應用問題，是基礎題．4．（4分）函數(shù)y＝log2（x+1）的定義域是（﹣1，+∞）．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，列出x+1＞0，再解出不等式．【解答】解：根據(jù)題意得x+1＞0，解得x＞﹣1，∴函數(shù)的定義域A＝（﹣1，+∞），故答案為：（﹣1，+∞）．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求法，真數(shù)大于零是解題的關鍵．5．（4分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，則x的解為π﹣arccos．【分析】直接利用三角函數(shù)值，求解角即可．【解答】解：cosx＝﹣，x∈[0，π]，可得x＝π﹣arccos，故答案為：π﹣arccos．【點評】本題考查三角方程的解法，反三角函數(shù)的應用，是基礎題．6．（4分）已知tanα＝，tanβ＝﹣2，則tan（α+β）＝﹣1．【分析】由已知結合兩角和的正切公式即可直接求解．【解答】解：因為tanα＝，tanβ＝﹣2，則tan（α+β）＝＝＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了兩角和的正切公式，屬于基礎題．7．（5分）函數(shù)f（x）＝sin（kx+）（其中常數(shù)k≠0）的最小正周期是2，則k＝±π．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的周期性，得出結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（kx+）（其中常數(shù)k≠0）的最小正周期是＝2，則k＝±π，故答案為：±π．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎題．8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），x∈R，y＝f（x）是奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝x3+2x﹣1，則x＜0時，f（x）＝x3﹣2﹣x+1．【分析】當x＜0時，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表達式，結合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）3+2﹣x﹣1＝﹣x3+2﹣x﹣1，又由f（x）為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x3+2﹣x﹣1）＝x3﹣2﹣x+1，則f（x）＝x3﹣2﹣x+1，故答案為：x3﹣2﹣x+1．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質以及應用，涉及函數(shù)解析式的計算，屬于基礎題．9．（5分）在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，則△ABC的面積是．【分析】先利用余弦定理求得cosA的值，再由同角三角函數(shù)的平方關系得sinA的值，然后根據(jù)S＝bc?sinA，得解．【解答】解：由余弦定理知，cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝＝，∴△ABC的面積S＝bc?sinA＝×5×6×＝．故答案為：．【點評】本題考查解三角形中余弦定理和三角形面積公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．10．（5分）已知tcosx+1＝2t，x∈R，則實數(shù)t的取值范圍是[，1]．【分析】用t表示cosx，再根據(jù)cosx∈[﹣1，1]可解得t的取值范圍．【解答】解：∵tcosx+1＝2t，當t＝0時，不成立，當t≠0時，cosx＝．又∵cosx∈[﹣1，1]，∴﹣1≤≤1，解得：≤t≤1．故答案為：[，1]．【點評】本題考查余弦函數(shù)的值域、不等式解法，考查數(shù)學運算能力，屬于容易題．11．（5分）函數(shù)y＝sin2x+2sinx?cosx+3cos2x的最大值是4．【分析】首先把三角函數(shù)關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質的應用求出函數(shù)的最大值．【解答】解：函數(shù)y＝sin2x+2sinx?cosx+3cos2x＝＝＝，當，即x＝k（k∈Z）時，ymax＝4．故答案為：4．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．12．（5分）已知點A的坐標為（1，2），將OA繞坐標原點O逆時針旋轉至OA′，則點A′的坐標為（，）．【分析】結合三角函數(shù)的定義可先求出經(jīng)過點的角的三角函數(shù)值，然后結合兩角和的正弦及余弦公式及三角函數(shù)定義可求．【解答】解；設點A′的坐標（x，y），則OA＝OA′＝，設A為α終邊上的一點，則sinα＝，cos，則cos（）＝＝﹣＝，sin（）＝（sinα+cosα）＝＝，即x＝﹣，y＝，故點A′的坐標為（，）．故答案為：（，）．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及兩角和的正弦及余弦公式，屬于基礎題．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.13．（5分）下列函數(shù)與函數(shù)y＝x相同的是（）A． B．y＝lnex C． D．y＝【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，即可判斷它們是相同函數(shù)．【解答】解：對于A，函數(shù)y＝＝|x|，x∈R，與函數(shù)y＝x，x∈R的對應關系不同，不是相同函數(shù)；對于B，函數(shù)y＝lnex＝x，x∈R，與函數(shù)y＝x，x∈R的定義域相同，對應關系也相同，是相同函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＝x，x≠0，與函數(shù)y＝x，x∈R的定義域不同，不是相同函數(shù)；對于D，函數(shù)y＝＝|x|，x∈R，與函數(shù)y＝x，x∈R的對應關系不同，不是相同函數(shù)．故選：B．【點評】本題考查了判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)的應用問題，是基礎題．14．（5分）在非等邊斜三角形ABC中，R為△ABC的外接圓半徑，S為△ABC的面積，下列式子中正確的是（）A．cosA＝sin B．S＝2RsinA?sinB?sinC C．tanA+tan+tanC＝tanA?tanB?tanC D．【分析】對于A，利用誘導公式化簡已知可得2cos2﹣cos﹣1＝0，解方程可解得cos的值，可求范圍∈（0，），即可判斷；對于B，利用S＝absinC＝2R2sinAsinBsinC判定；對于C，利用tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，計算即可；對于D，利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式可求A＝B＝C，結合已知即可判斷得解．【解答】解：對于A，因為sin＝sin（）＝cos，若cosA＝sin，則可得2cos2﹣cos﹣1＝0，解得cos＝1，或﹣，因為A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故錯誤；對于B，S＝absinC＝?2RsinA?2RsinB?sinC＝2R2sinAsinBsinC，故錯誤；對于C，因為△ABC為非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，則tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正確；對于D，若，則，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等邊三角形，由于△ABC為斜三角形，故錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了正弦定理的運用，解三角形問題，三角函數(shù)基本性質．考查了推理和歸納的能力，是中檔題．15．（5分）下列式子中正確的是（）A．sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαsinβ B．cos（α+β）?cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β C．tan（α+β）?tan（α﹣β）＝tan2α﹣tan2β D．sin（α+β）?sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β【分析】結合兩角和與差的三角公式分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：sin（α+β）+sin（α﹣β）＝sinαcosβ+sinβcosα+sinαcosβ﹣sinβcosα＝2sinαcosβ，A錯誤；cos（α+β）?cos（α﹣β）＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ），＝（cos2αcos2β﹣sin2αsin2β）＝cos2α（1﹣sin2β）﹣sin2α（1﹣cos2β）＝cos2α﹣sin2α，故B選項錯誤；例如α＝45°，β＝30°，tan（α+β）?tan（α﹣β）＝1，tan2α﹣tan2β≠1，C不成立；sin（α+β）?sin（α﹣β）＝（sinαcosβ+cosαsinβ）?（sinαcosβ﹣cosαsinβ）＝sin2α?cos2β﹣cos2α?sin2β＝sin2α?（1﹣sin2β）﹣（1﹣sin2α）?sin2β＝sin2α﹣sin2β，故D選項正確．故選：D．【點評】本題主要考查了兩角和與差的三角公式的應用，解題的關鍵是靈活利用公式，屬于基礎題．16．（5分）函數(shù)f（x）＝sin4x+cos4x，設它的最小正周期為T，值域為M，則（）A．且f（x）為奇函數(shù) B．且f（x）為偶函數(shù) C．且f（x）為奇函數(shù) D．且f（x）為偶函數(shù)【分析】利用倍角公式把已知函數(shù)解析式變形，再由周期公式求周期，由x的范圍求得函數(shù)值域，再由奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．【解答】解：∵f（x）＝sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝＝，∴f（x）的最小正周期T＝．∵﹣1≤cos4x≤1，∴，則函數(shù)f（x）的值域為M＝[，]＝[，1]．又f（x）的定義域為R，且f（﹣x）＝，則f（x）為偶函數(shù)．故選：B．【點評】本題考查二倍角的三角函數(shù)，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質，是基礎題．三、解答題（第17～19題每題14分，第20題16分，第21題18分，滿分76分）17．（14分）某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，設立了兩個觀測點A和B．某日兩個觀測點的林場人員都觀測到C處出現(xiàn)火情在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處，問火場C分別距離A以及B多遠．（精確到千米）【分析】由題意得，AB＝10，∠BAC＝130°，∠ABC＝30°，∠ACB＝20°，然后結合正弦定理可求．【解答】解：由題意得，AB＝10，∠BAC＝130°，∠ABC＝30°，∠ACB＝20°，由正弦定理得，＝，即，所以AC＝≈14.6km，BC＝≈22.4km．故火場C分別距離A以及B分別約為14.6km，22.4km．【點評】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應用，解題的關鍵是根據(jù)已知明確相應的量．18．（14分）設函數(shù)，x∈R，a＞0．（1）若，求a；（2）是否存在正實數(shù)a＞0，使得是偶函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意，求出f（1）、f（﹣1）的值，進而可得關于x的方程，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，假設存在正實數(shù)a＞0，使得是偶函數(shù)，結合偶函數(shù)的定義可得＝，變形分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則f（1）＝，f（﹣1）＝＝+2，若f（1）+f（﹣1）＝，則++2＝，變形可得（a﹣2）2＝0，即a＝2；（2）假設存在正實數(shù)a＞0，使得是偶函數(shù)，即f（﹣x）＝f（x），即＝，變形可得（ax﹣4x）（1+ax）＝0，必有a＝4，故存在正實數(shù)a＝4，使得是偶函數(shù)．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質以及應用，涉及函數(shù)解析式的計算，屬于基礎題．19．（14分）已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（，2π）．（1）計算sin2α?cos2β；（2）計算．【分析】（1）由已知結合同角基本關系先求cosα，sinβ，然后結合二倍角公式即可求解；（2）結合二倍角公式及兩角差的余弦公式即可直接求解．【解答】解；（1）因為sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（，2π），所以cosα＝，sinβ＝﹣，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝﹣，cos2β＝2cos2β﹣1＝﹣，sin2α?cos2β＝﹣×（﹣）＝；（2）因為cosα＝2cos﹣1＝，且，所以cos＝，sin＝，所以＝coscosβ+sinsinβ＝+×（﹣）＝﹣．【點評】本題主要考查了同角平方關系，二倍角公式及和差角公式，考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．20．（16分）已知函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一個周期內，當x＝時，y有最大值為2，當x＝時，y有最小值為﹣2．（1）求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）表達式；（2）并畫出函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）在一個周期內的簡圖．（用“五點法”）；（3）當x∈[0，]時，求函數(shù)的最值．【分析】（1）根據(jù)題意得A＝2，周期為T＝π，求出ω＝2，φ＝，從而得到函數(shù)的解析式；（2）結合（1）的解析式，用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內的簡圖；（3）求出x∈[0，]時2x+的取值范圍，即可求得函數(shù)的最小值和最大值．【解答】解：（1）在1個周期內，當x＝時y有最大值為2，當時y有最小值為﹣2，所以A＝2，且函數(shù)的周期T＝2×（﹣）＝π，所以ω＝＝2．把（，2）代入f（x）＝2sin（2x+φ），得2×+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z，結合|φ|＜，取k＝0，得φ＝；所以函數(shù)表達式為y＝2sin（2x+）．（2）由題意列表如下：2x+0π2πx﹣y＝2sin（2x+）020﹣20描點、連線，畫出函數(shù)在1個周期[﹣，]上的簡圖如下：（3）x∈[0，]時，2x+∈[，