結構力學李廉錕結構動力學

§14-1

概述§14-2結構的振動自由度§14-3單自由度結構的自由振動§14-4單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動§14-6多自由度結構的自由振動第十四章結構動力學§14-7多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-8振型分解法§14-9無限自由度結構的振動§14-10計算頻率的近似方法靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩慢，不會促使結構產生顯著的運動狀態(tài)的變化，結構將處于平衡狀態(tài)。計算平衡狀態(tài)下結構的內力和變形問題稱為靜力計算。

注意：區(qū)分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身性質來看，要看其對結構產生的影響。一、結構動力計算的特點和任務1.動力荷載與靜力荷載的區(qū)別：隨時間變化的結構的位移和內力，稱為動位移和動內力，并稱為動力反應。計算動力荷載作用下結構的動力反應問題，稱為動力計算。動力荷載（干擾力）：隨時間迅速變化的荷載§14-1概述結構動力計算的特點：在動力荷載作用下，結構將產生振動，其位移和內力都是隨時間變化的。在運動過程中，結構的質量具有加速度，必須考慮慣性力的作用。考慮慣性力的作用是結構動力計算的最主要特征。

結構靜力計算的特點：結構的位移和內力只取決于靜力荷載的大小及其分布規(guī)律，與時間無關。2.結構動力計算的特點3.結構動力計算可分為兩大類：自由振動：結構受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在以后的振動過程中不再受外部干擾力作用。強迫振動：如果結構在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫振動。

4.結構動力計算的任務：(2)分析計算動力荷載作用下結構的動力反應，確定動力荷載作用下結構的位移、內力等量值隨時間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設計的依據(jù)。(1)分析計算自由振動，得到的結構的動力特性(自振頻率、振型和阻尼參數(shù))；§14-1概述周期荷載——

隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載(按弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化)。二、動力荷載的分類簡諧荷載1.周期荷載非簡諧性周期荷載

例：打樁時落錘撞擊所產生的荷載。

§14-1概述在很短的時間內，荷載值急劇減小(或增加)，如爆炸時所產生的荷載。2.沖擊荷載

3.突加常量荷載突然作用于結構上、荷載值在較長時間內保持不變。例：起重機起吊重物時所產生的荷載。上述荷載是時間的確定函數(shù)，稱之為確定性動力荷載。

§14-1概述

隨機荷載（非確定性荷載）——荷載的變化極不規(guī)則，在任—時刻的數(shù)值無法預測。地震荷載和風荷載都是隨機荷載。隨機荷載（非確定性荷載）4.隨機荷載§14-1概述結構振動的自由度:結構在彈性變形過程中確定全部質點位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目單自由度結構多自由度結構（自由度大于1的結構）§14-2結構振動的自由度當梁本身的質量遠小于電動機的質量時，可以不計梁本身的質量，同時不考慮梁的軸向變形和質點的轉動，則梁上質點的位置只需由撓度y(t)就可確定。由質點豎向撓度為獨立參數(shù)的單自由度結構確定絕對剛性桿件上三個質點的位置只需桿件轉角(t)便可，故為單自由度結構?！?4-2結構振動的自由度雖然只有一個集中質點，但其位置需由水平位移x和豎向位移y兩個獨立參數(shù)才能確定，因此振動自由度等于2，為多自由度體系。三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結構振動時橫梁不能豎向移動和轉動而只能作水平移動，故振動自由度等于3，多自由度體系。§14-2結構振動的自由度分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加剛性鏈桿法來確定結構的振動自由度。剛性鏈桿法：在結構上施加最少數(shù)量的剛性鏈桿以限制剛架上所有質點的位置，則該剛架的自由度數(shù)即等于所加鏈桿數(shù)目。具有兩個集中質量，加入三根鏈桿即能使各質量固定不動其振動自由度為3。注意：體系振動自由度的數(shù)目不完全取決于質點的數(shù)目，也與體系是否靜定或超靜定無關。體系的自由度數(shù)目與計算假定和計算精度有關。如果考慮質點的轉動慣性，還應增加控制轉動的約束，才能確定結構的振動自由度數(shù)目。§14-2結構振動的自由度實際結構中，除有較大的集中質量外，還有連續(xù)分布的質量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進行計算集中質量法：把體系的連續(xù)分布質量集中為有限個集中質量(實際上是質點)，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。簡化方法有多種，如集中質量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討論集中質量法。水塔的質量大部分集中在塔頂上，可簡化成以x(t)為位移參數(shù)的單自由度結構。§14-2結構振動的自由度凡屬需要考慮桿件本身質量（稱為質量桿）的結構都是無限自由度體系。

例：用集中質量法將連續(xù)分布質量的簡支梁簡化為有限自由度體系。將梁二等分，集中成三個集中質量，單自由度體系。將梁三等分，質量集中成四個集中質量的兩個自由度體系。§14-2結構振動的自由度自由振動：結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。產生自由振動的原因：結構在振動初始時刻受到干擾。初始干擾的形式:（1）結構具有初始位移（2）結構具有初始速度（3）上述二者同時存在1.不考慮阻尼時的自由振動對于各種單自由度體系的振動狀態(tài),都可以用一個簡單的質點彈簧模型來描述。梁在質點重量W作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置”?！?4-3單自由度結構的自由振動取圖示質點彈簧體系中質點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規(guī)定位移y和質點所受的力都以向下為正。設彈簧發(fā)生單位位移時所需加的力為k11，稱為彈簧的剛度；單位力作用下彈簧產生的位移為δ11

，稱為彈簧的柔度，k11與δ11二者之間滿足：無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度系數(shù)k11各等于多少？思考：簡支梁：懸臂梁：答：§14-3單自由度結構的自由振動為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規(guī)律，需要先建立其振動微分方程，然后求解。振動微分方程的建立方法：（1）剛度法。即列動力平衡方程。設質點m在振動的任一時刻位移為y，取質點

m為隔離體，不考慮質點運動時受到的阻力，則作用于質點m上的力有：(a)彈簧恢復力該力有將質點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方向恒與位移y的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。(b)慣性力負號表示其方向恒與加速度的方向相反對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質點的重量mg向平衡而抵消，故振動過程中這兩個力都毋須考慮?！?4-3單自由度結構的自由振動質點在慣性力F1和恢復力Fc作用下維持平衡，則有：或將F1和Fc的表達式代入令（14-1）有（14-2）單自由度結構自由振動微分方程§14-3單自由度結構的自由振動（2）柔度法。即列位移方程。當質點m振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體系的質量上，則在其作用下結構在質點處的位移y應當為：即同剛度法所得方程此二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為：(a)(b)由初始條件t=0時，有可得到有(14-3)§14-3單自由度結構的自由振動可見:單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。

令,有（14-4）

（14-6）其中（14-5）

位移滿足周期運動的下列條件：a表示質量m的最大動位移，稱為振幅。其由常數(shù)ω、初始條件y0和v0決定的。φ是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常數(shù)ω、初始條件y0

和v0

。

T

稱為結構的自振周期，其常用的單位為秒(s)。自振周期的倒數(shù)代表每秒鐘內的振動次數(shù)，稱為工程頻率，記作f，其單位為1／秒(s-1)，或稱為赫茲(Hz)。(14-7)§14-3單自由度結構的自由振動表示2π秒內的振動次數(shù)，是結構動力性能的一個很重要的標志。

ω的單位為弧度／秒(rad／s)，亦常簡寫為1／s(s-1)。從圓周運動的角度來看，稱它為圓頻率，一般稱ω為自振頻率。根據(jù)式(14-1)，可給出結構自振頻率ω的計算公式如下：相應地，結構的自振周期T的計算公式為：式中g表示重力加速度，Δst表示由于重量mg所產生的靜力位移。結構的自振頻率和周期只取決于它自身的質量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素無關，它反映著結構固有的動力特性。（14-8）§14-3單自由度結構的自由振動解：壘三種酷支承膠情況畝的梁己均為葛單自衡由度拒體系新。例14方-1圖示夠為三成種不杰同支上承情宴況的蒙單跨甘梁，EI＝常數(shù)箏，在休梁中觸點有帝一集輛中質量m，當不昌考慮宇梁的閥質量嘆時，先試比藏較三違者的姓自振令頻率鑄。據(jù)此可得隨著結消構剛度邪的加大椒，其自小振頻率脫也相應到地增高掘。§14-灰3單自由寸度結構池的自由犧振動2.考慮拆阻尼址時的尋自由拒振動物體的理自由振丑動由于誕各種阻創(chuàng)力的作和用將逐么漸衰減諒下去而澤不能無頂限延續(xù)狗。阻力可阿分為兩熟種：一牛種是外皂部介質踏的阻力臥；另一乘種來源小于物體瓜內部的酒作用。喝這些統(tǒng)鑒稱為阻奧尼力。種通常引毫用福格撞第假定獅，即近焦似認為牲振動中掀物體所編受阻尼鉤力與其摟振動速尚度成正努比，稱詞為粘滯魔阻尼力亞，即：其中：β為阻尼狗系數(shù)，亭負號表宴示阻尼萬力的方幅向恒與潛速度方列向相反考慮督阻尼應時，悼質點m的動力吐平衡方剛程為即：令有(14-9)§14-墻3單自由僚度結構煮的自由痕振動這是械一個項常系佳數(shù)齊杯次線盯性微亭分方仰程，勺設其俊解的誦形式席為解得其特征降方程為把：根據(jù)資阻尼位大小扛不同承，現(xiàn)高分以魔下3種情像況討訪論：(1脆)k<ω，即小退阻尼昨情況，此犧時r1和r2為兩個顧共軛復絡數(shù)，式(14惡-9)通解烈為：(14-9)（14限-1丈0）（14養(yǎng)-1班1）有阻尼是自振頻旅率（14既-1盯2）式（14夕-1景0）可改佛寫為：§14擦-3單自由竿度結構雷的自由鉆振動式中（14臥-1玩2）

小阻尼情況自由振動時的y-t曲線小阻衰尼時京自由曉振動閣曲線柔為衰掀減的類正弦過曲線濫，其興振幅菠按e-kt的規(guī)律流減小，惠故k為衰競減系記數(shù)?！?4-無3單自由誦度結構挪的自由狠振動由式(14-11)有工程塵中ξ的值罩很小旁（對鉗于鋼扶筋混掃凝土宵結構ξ大約哲為5%，鋼結背構的大繩約為1%-門2%）。班于是駱有ω=ω'相隔漁一周休期后牌的兩抄個振襯幅之磁比為凍一常買數(shù)，份振幅字是按呀等比榨級數(shù)淋遞減剪的。若用yn表示叨某一既時刻tn的振幅摧，yn+1表示怒經過得一個閥周期T'后的振甲幅，則塔有上式香兩邊拴取對借數(shù)，冷得振幅的客對數(shù)遞盞減量同理，肅經過j個周絮期后舊，有由實測僑各周期陶的振幅旋可求出蠻阻尼比既?！?4慣-3單自由訊度結構套的自由煌振動(2銷)k>ω，即大阻置尼情況，此時r1和r2為兩舌個負秧實數(shù)百，式(1曬4-葉9)通解差為：y(t)不是辭一個跨周期盤函數(shù),即在爆大阻床尼情稠況下隊不會勤發(fā)生鋒振動乘。（14-順13）（14-構14）(3)

k=ω，即臨界阻尼情況此時r1,2=-k，方程(14-9)的解為y-t

曲線以上雅兩種券情況蠶均不厘屬振仆動，暴位移軋時程靜曲線閣（y-辜t曲線）表示停體系佛從初載始位概移出屈發(fā)，勵逐漸錘返回虛到靜踏平衡巖位置存而無送振動裝發(fā)生脖。y(t)不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動。此時，臨界阻尼系數(shù)§14-腸3單自由斷度結構寸的自由援振動強迫振領動：結構邊在動告力荷緊載即轎外來打干擾賊力作但用下鍋產生窯的振薦動。設質廣點m受干核擾力F（t）作育用，舟則質撫點m的動力糕平衡方輕程為：即：或(14-18)§14-昆4單自突由度盜結構尸在簡繳諧荷撲載作狂用下狀的強獎迫振忙動方程的饅解包括踩兩部分蛙：對應嘗齊次方由程的通透解和對床應干擾裳力F(蹈t)的特解(14-18)通解特解隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周期荷載時的情況，如具有轉動部件的機器勻速轉動時，由于不平衡質量產生的離心力的豎直或水平分力等，表達為：(14-19)其中為干擾力的頻率，F(xiàn)為干擾力最大值。此時式(14-18)寫為：(14-20)設方程的特解為：（b）（a）§14-馳4單自由挺度結構慌在簡諧駕荷載作墊用下的刊強迫振驅動式(b植)代入式(1宵4廳-2志0)，得每到式(a)做+式(b買)，并引譽入初始什條件，泳得到(1睬4-燥21部)由初始殊條件決示定的自縮慧由振動伴生疲自由殼振動按干擾憐力頻率θ振動的璃純強迫纏振動或迅穩(wěn)態(tài)強傻迫振動由初始毫條件決渡定的自木由振動代階段和軌伴生自揉由振動哀階段會摧隨時間仆很快衰屬減掉，么故稱為問過渡階粱段；最蛛后只剩象下按干款擾力頻陸率振動跨的純強退迫振動命，故稱罩為平穩(wěn)斬階段。富實際問粗題中，配一般只掘討論純日強迫振妥動?！?4供-4單自由潔度結構透在簡諧靈荷載作沫用下的嘆強迫振芳動1.不考綱慮阻料尼的商純強鐮迫振療動(1越4-鏟22莊)因此看，最吃大動籍力位宗移（貓振幅撿）為(14抽-23稼)其中:代表將邀干擾力崇最大值F作為靜眼載作用極于結構袍上時引其起的靜戚力位移位移動詞力系數(shù)，代丈表最握大動警力位燒移與群靜力妥位移巧之比當θ<ω時，μ值為析正，目動力識位移肯與動撿力荷巖載同填向；刺當θ>ω時，μ值為負冷，表示液動力位么移與動伏力荷載墓的指向冰相反,這種現(xiàn)嬸象僅在啞不計阻曾尼時出民現(xiàn)?！?4鄰-4單自鏈由度摘結構滔在簡納諧荷芬載作墾用下即的強杜迫振哪動

動力反應譜（動力放大系數(shù)μ隨頻比θ/ω變化的關系曲線）動力覆放大疑系數(shù)μ的大添小反嶼映了福結構蹈動力套反應靠的強案弱。睛單自引由度陡結構凳，當膝干擾傍力與興慣性吐力的暑作用蛾點重佛合時束，位借移動振力系訊數(shù)與津內力潔動力魯系數(shù)飛是完刺全一訊樣的稿。當，通常,當動力葡荷載(即干氣擾力)的周期大于穩(wěn)結構墓自振燃周期燥的五、六率倍以上時叮，可將顧其視為筍靜力芽荷載。(1丸)當θ<<ω時，即θ/ω→0，這時μ→1。這種扮情況量相當母于靜鐵力作覺用?！?4-薄4單自骨由度取結構腳在簡馳諧荷漠載作證用下嬸的強京迫振滾動

動力反應譜(2)當θ≈ω時，即θ/ω≈1，這時μ→∞。即振輝幅趨衛(wèi)于無草限大,這種現(xiàn)送象稱為共振。2)實際陪上由咱于阻暫尼的霜存在伍共振龍時振倡幅不噴會無洗限增廣大。1)共振痕現(xiàn)象劣的形擴成有級一個沸過程毅，振降幅是鞠由小康逐漸愁變大駁的。注意:3)應避開0.妙75椅<θ/滴ω<1揮.2剖5共振區(qū)劉。(3進)當θ>怕>ω時，即θ/即ω>>1，這時μ值為蔑負值,并且趨跪近于零駝。這表帥明高桑頻簡牢諧荷幻玉載作寒用下省，振贊幅趨吧近于紋零，被體系近處于壤靜止浴狀隙態(tài)。工程設軍計中，忽要求的抱是振幅鉆絕對值,動力滅反應鑄譜中θ/ω>1部分的μ畫在橫拋坐標的司上方。注意:§14勵-4單自強由度合結構本在簡近諧荷寬載作甜用下愧的強莖迫振獻動在單自男由度體易系上，媽當干擾剛力作用掘在質量徑上、擾變力作用疫線與質年體的振怒動位移齊方向重肝合時，姻其位移殃動力系梅數(shù)與內搞力動力串系數(shù)是春完全相移同的，捎結構的稿最大動尿內力可蠻以采用安動力系咽數(shù)法求制得。如果干筒擾力不論作用在緩質量上尖，體系御的位移膠和內力例沒有一窮個統(tǒng)一動的動力罪系數(shù)。校這種情棉況下的依結構動請內力、嬸動位移隊的計算面，可用建立動左力微分證方程的方法計誼算。見書P89圖14-論15§14-冤4單自由特度結構怎在簡諧盤荷載作皇用下的繡強迫振許動解：在您發(fā)電機孤重量作撞用下，霧梁中點的孝最大冷靜力殃位移挨為：故自賓振頻候率為例14把-2簡支梁低中點裝劑有一臺爐電動機隊，電動籌機重量G=35k譽N。已球知梁躲的慣蜻性矩I=8.晴8×10-5m4，E=2霞10維GP拒a。發(fā)電角機轉動功時離心遙力的垂立直分力指為F=sinθt，且F=1戴0KN。不計割阻尼，顯求當發(fā)藥電機每嗚分鐘轉醉數(shù)為n=出50壘0r燦/m夸in時，務梁的漠最大甘彎矩駕和撓睜度。干擾斥力頻降率:動力森系數(shù):梁中傅點的錯最大軋彎矩敲為梁中睬點的估最大腸撓度朋為§14敬-4單自由伍度結構盡在簡諧爭荷載作蘋用下的藝強迫振該動質體的碧動位移y(t)是以靜棚力平衡浙位置為蒙零點來滲計算的癥，因此y(t)中不末包括轎質體疲的重喂力影距響，獎但在陷確定冒質體鋼的最受大豎效向位錘移時淡，應捕加上族這部曲分（Δst=δ11G）的影響始。注意鋸：§14-拒4單自信由度咱結構吃在簡民諧荷漸載作疏用下典的強使迫振振動運用圖乘法可求得

(a)

(1)設慣獵性力董和動母力荷悉載分彎別為抓單位患力和揉單位煌力偶典作用腎在體垃系上炭，并星繪出飲相應膨的彎疏矩圖.例14晚-3圖示拳簡支灣梁跨轎中有裝一集塌中質乞量m，支座A處受們動力撤矩Msinθt的作用挎，不計扎梁的卵質量區(qū)，試未求質燙點的煮動位脫移和嶺支座A處的動幣轉角的睛幅值。解：調該體獵系不針能直勢接用經放大哭系數(shù)聽求動輸位移猾，可蒸由建悶立體削系的孩振動得方程遙來求訓解?！?4秧-4單自由影度結構機在簡諧撈荷載作繳用下的泄強迫振毛動式中

代δij入上式，經整理后得(b)解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為(c)(2)根據(jù)疊加臟原理列出動額位移質點耗的動腰位移漁是慣閱性力FI(t)和動力應荷載共膜同作用叨下產生噸的，按明疊加原縮慧理可表魄示為§14-探4單自由銀度結構搶在簡諧翠荷載作母用下的怒強迫振倍動這說體明質貫體動管位移對尚可先應用肥放大件系數(shù)頃計算。質點的動位移幅值為，其中為動荷載幅值M所引起的質點靜位移yst，μ動力系數(shù)。支座A處的動弊轉角也福是由慣或性力FI(t)和動力極荷載共廊同作用聯(lián)下產生左的，按氧疊加原臥理可表測示為由穩(wěn)態(tài)祥解式(c姻)可知§14丸-4單自旁由度奪結構筒在簡彈諧荷馬載作隨用下抄的強補迫振狂動對式(c)求導在兩次仙后代亭入上夫式，綱可得將式(a羊)和F*=3M/l代入稈上式,得(c)§14劇-4單自由書度結構彈在簡諧怒荷載作寺用下的嗚強迫振淘動可見,質點堤位移途的動艱力系串數(shù)μ和支座云處動轉噸角的動怎力系數(shù)μφ是不同之的。支座A處的動轉角幅值為,

為動荷載幅值M所引起的靜轉角，μφ為該動力系數(shù)。其中而動荷長載不牌作用擠在質桑量上駛時，紅體系飾不能館用一扶個統(tǒng)眼一的熊動力股系數(shù)己來表遲示?！?4擺-4單自由雅度結構淋在簡諧揀荷載作砍用下的瞧強迫振旦動由式(14-21)的第三項，有：命（14-27）（14-28）令妹和績，則鬼振幅A可寫瞇為（14-29）2.有阻尼濃的強迫鄰振動§14-陰4單自由具度結構損在簡諧級荷載作堵用下的寇強迫振墳動動力系杠數(shù)μ不僅與魯頻比β有關燃，而揭且還課與阻章尼比ξ有關釘。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖在0.7筒5<β<1.性25共振區(qū)燈范圍內演，阻尼衡力大大詠地減小律了μ的峰值。但在犬這范圍童以外，跑阻尼對μ的影定響較謹小，侮可按垂無阻勤尼來綠計算塘。當θ>>ω時，墊則μ很小，古表明質給量m接近于漸不動或辭只作極曠微小的魄振動。(1過)阻尼蔬對簡泡諧荷察載的箏動力樸系數(shù)μ影響較寶大簡諧丘荷載歉作用母下有床阻尼使穩(wěn)態(tài)祝振動貍的主玻要特宜點：§14墨-4單自由地度結構鄉(xiāng)豐在簡諧遣荷載作愁用下的姐強迫振貝動(2縮慧)在β=1的共振錄情況下,動力系揪數(shù)為動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖在考倆慮阻旱尼的壟影響凡時，守共振田時動匪力系迫數(shù)不止是無蘇窮大,而是認一個須有限漿值。晉在研普究共顫振時常的動潔力反勵應時盛，阻族尼的駕影響固是不驢容忽廚略的濕?！?4-早4單自由斗度結構患在簡諧元荷載作錯用下的寒強迫振探動

用求極值的方法確定μ的最大值發(fā)生在處,因ξ的值通常都很小，近似地將β=1時的值作為最大值。(3岸)μ最大值怠并不發(fā)奮生在β=1處。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖§14鴨-4單自織由度庫結構貢在簡帥諧荷興載作灰用下槐的強扔迫振恭動當β<1時，0<φ<π/2；當β>1時，π/2<φ<π；當β=1時，φ=π/2。(4珍)阻尼體扶系的位挽移y(t)=As降in(θt-φ)和干脖擾力F(t)=s敗inθt不同步卸，其相位賺角為φ。只要非有阻凱尼存瓦在,位移總外是滯后魯于振動圍荷載?！?4-絹4單自由列度結構睡在簡諧唐荷載作底用下的猛強迫振裁動共振時,φ=π/2,位移桌方程牙式為y(t)=–ystμcosθtμ=堆1/春(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼雨力為注意陳到共狠振時可見死共振欄時干聾擾力管與阻運尼力梨互相菌平衡端。共振時乎受力特昌點討論:§14盆-4單自由汽度結構洲在簡諧氏荷載作哀用下的傘強迫振薦動為了樣減小周動力授放大糊系數(shù)μ，當β=θ/ω<1時（洲稱為戚共振揪前區(qū)右），載應設照法加片大結擋構的子自振纖頻率ω。這種方趟法稱為租“剛性悉方案”逆。當β=θ/宰ω>1時稱丙為(共振捉后區(qū))，這湖時，杜應設躲法減陡小結餓構的蟲自振魂頻率ω。這種值方法手稱為菌“柔予性方芳案”姜。動力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關系圖討論般：§14世-4單自貞由度擔結構釣在簡螞諧荷倡載作詢用下鑰的強激迫振微動采用梁沖量蓮方法悅首先店討論故瞬時股沖量嘴的動透力反獅應，刮在此爺基礎縮慧上討帳論一超般動非力荷域載下象的動活力反項應。1.強迫力魂為一般巖動力荷瘡載--無阻直尼(1陰)瞬時沖脫量的動廣力反應假定沖爽擊荷載側作用之命前體系檢的初位撲移及初碑速度均普為零。由于師荷載欲作用想時間匪極短友，可淡以認宴為在吧沖擊頭荷載躲作用完畢晌的瞬缸間，訪體系芬的位浮移仍煩為零冊。但柔沖擊烤荷載跡有沖權量，牛可以吉使處爺于靜舞止狀狂態(tài)的錘質點跟獲得佳速度外而引貝起自天由振堵動。思考伸：體系戲在沖曉擊荷伙載作拉用下佛獲得眉的是腿位移柜還是盒速度脂？§14-挖5單自由張度結構致在任意段荷載作策用下的近強迫振滔動根據(jù)動澆量定律補，質點錫在瞬時催沖量F·征Δt作用下語的動量雷變化為由于v0=0,所以有原來初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動問題。由(14-30)得§14-朗5單自脈由度吃結構擠在任層意荷啟載作甘用下傷的強融迫振史動若沖擊躲荷載不匹是在t＝0，而是嬸在t＝τ時作列用，獎則上迎式中課的t應改為(t-τ)。(14-31)

由式(1屠4-已30小)可得今在t＝τ時作用寇瞬時沖鳴量S引起的鄙動力反伶應。(14-30)§14-短5單自咱由度拒結構雄在任容意荷襖載作掌用下忙的強畏迫振緣瑞動(2樣)一般動莖力荷載F(t)的動力邊反應。把整弓個加盤載過好程看阿成是揮由一寒系列屆瞬時注沖量臺所組宅成的夢。在聲時刻t＝τ作用的奴荷載為F(t)，此荷載右在微分須時段dτ內產生孟的沖量抽為dS=F(t)·dτ。根據(jù)式(1逼4-俗31朋)，此紛微分蹤蝶沖量懷引起臣的動石力反賣應為蹦：(g)對加克載過命程中遵產生擦的微霞分反偽應進灶行疊臟加，抱得出電總反湊應如示下：——稱為杜哈線梅(Du剪ha朱me杰l)積分。

(14-32)§14貧-5單自由細度結構所在任意怪荷載作斑用下的圍強迫振伯動——雀(1布4-悶33品)式中柴第一狼、二舞項代巖表自氣由振緞動部扎分，電第三疼項代湖表強徑迫振雹動部例分。(14-32)如果嶄初始圍位移y0和初始肯速度v0不為零致，則總簡位移應請為：§14夫-5單自由集度結構污在任意慌荷載作培用下的挑強迫振蛛動2.幾種動瘡荷載的絞動力反墳應(1)突加疑長期澇荷載o

F(t)t0F突加稍長期江荷載振就是潑指突僵然施骨加于陜結構銅并繼離續(xù)作爛用在芬結構短上的宴荷載體，它細可表畢示為腸：如果原毅結構的族初始位床移和初陽始速度煌都等于筑零，將擇式（h）代入盈式(9鉆-3呆2)并進關行積左分后得，可種得動骨力位幻玉移如種下：（h）

(14-34)

(14-32)§14-竟5單自磁由度拋結構歷在任辟意荷查載作仍用下橋的強架迫振號動當t=T/2時，[y(t)]max=2yst，動力系縫數(shù)為μ=2。位移時程曲線圖

(14-34)

式中表示在靜力荷載F0作用下所產生的靜力位移。當突加映荷載作套用在系之統(tǒng)上的御時間超摘過t=T/2時就算甜作長期渾荷載,這時引放起的最拒大動力再位移為從相應靜漠力位移姓的兩倍塵?！?4-差5單自由襪度結構啄在任意戰(zhàn)荷載作焦用下的樓強迫振巧動其特太點是奶當t=0時，在陳質體上矩突然施趣加常量撐荷裁F0，而且一夾直保持墓不變，不直到t=t1時突亞然卸落去。(2承)突加短功期荷載體系若在這無種荷巨載作蓋用下賀的位摔移反餡應，溪可按唉兩個僻階段寇分別繭計算膛再疊呼加。第一階請段（0≤t≤t1）：此階時段與厚突加竿長期段荷載疤相同吹，因果此動尚力位熟移反拋應仍角按公凡式(9亭-3甚4)計算。荷載較可以土看作奶突加猶長期蠅荷載F0(圖中叔坐標受上方鉆實線包及所拌續(xù)虛此線部壞分)疊加上t=t1時突賴加上和來的飼負長粥期荷席載(－F0)(圖坐標謝下方虛追線部分)?！?4返-5單自憑由度食結構亞在任俘意荷億載作魔用下練的強禽迫振號動(14-35)第二階植段(t≥t1)：荷載可舅以看作夾突加長困期荷載F0(圖中教坐標花上方揉實線兄所續(xù)鋼虛線筒部分)疊加墨上t=t1時的尤負突幼加長累期荷項載(-F0)(圖9中坐泄標下監(jiān)方虛統(tǒng)線部課分)。當t≥t1時，有第一喊階段宅（0≤t≤t1）與突梨加長痛期荷吳載相劫同，坦動力商位移在反應徒為§14鼓-5單自株由度榆結構奶在任爪意荷淹載作彼用下貿的強擠迫振刪動質點攻位移變反應顧可分臣為兩適個階已段按勻式（14種-3起3）積分敢求得。(3)爆炸宴沖擊慘荷載變化季規(guī)律鄭為第一階攀段（0≤t≤t1）§14-版5單自由側度結構互在任意礦荷載作閱用下的守強迫振侵動——(味14-詢37)第二征階段鍵（t≥t1）當(t1／T)>0.喚4時，最大虹位移故反應尾在第瞧一階絹段出煤現(xiàn)，否則就早出現(xiàn)在渾第二階秧段出。從前面撲幾種動睜力荷載踩作用下僑單自由桐度體系漫的位移勉反應可知，訊最大劣位移賀反應障與與t1／T有關如。最大位繪移反應勺可用速攜度為零灶（即位來移的導負數(shù)）這衣個條件鞠下的時燦間值來免計算?！?4-韻5單自清由度炊結構尋在任摸意荷棉載作筒用下戶的強紐奉迫振抱動3.當強迫斥力為一負般動力勞荷載情貴況--有阻轉尼有阻尼哭體系在朵一般動滑力荷載F(t)作用括時，滔其動癥力位蜓移也匪可表總示為縮慧杜哈垃梅積固分。由于沖攤量S=mv0，故在初累始時刻撓由沖量S引起的陸振動為（9-46）單獨由初始速度v0(初始位移為零)所引起的振動為§14遺-5單自由塑度結構鴉在任意蹈荷載作錯用下的獵強迫振螺動把一雞般動絕力荷竟載F的加載固過程看幣作是由恒無限多備個瞬時支沖量所萌組成，霜對t=τ到t=τ+dτ的時間觸分段上特的微分為沖量dS=F(τ)dτ來說，蠢它所引零起的動昂位移為(t>τ)積分后姜即得開東始處于蘿靜止狀卷態(tài)的單由自由度階體系有壁阻尼的傷受迫振地動方程羅為(14箏-47伴)§14蠢-5單自劣由度話結構斬在任郵意荷笨載作縣用下州的強信迫振執(zhí)動如果還焰有初始全位移y0和初拉始速占度v0，則總位窗移為(1蹤蝶4-歇47尚)(14候-48利)這就是簡有阻尼肉情況下裹的杜哈陜梅積分多?！?4-翼5單自孟由度鎮(zhèn)結構打在任警意荷澇載作吃用下忌的強劈燕迫振斤動工程錢實際娛中有冰很多熱結構汽是不撈宜簡異化為推單自珠由度級體系狂計算鼠的。寄例如功多層蜘房屋筍、多技跨不毯等高貿工業(yè)惜廠房胖以及胸煙囪牢等,都必耳須按樓多自請由度腿體系簽來處狂理。圖示等貪截面煙臥囪，將筍其分為誓八段，統(tǒng)從上到侄下將每掘兩段的底質量集飽中于其婦中點，芳將一個轟無限自伶由度的豬體系簡樓化為四惑個自由餡度體系秩?！?4-菠6多自森由度漿結構科的自范由振懼動圖示項簡支典梁的歪自重簡略去絹不計,體系有n個振狼動自泊由度搞，y1、y2、…、yi…、yn分別隆代表嗚這些鄙質點曾自靜唐平衡牙位置霧量起彼的位誓移。1.振動遍微分礦方程郵的建怪立（味剛度捎法、膜柔度永法）剛度投法（1）首吼先加評入附燦加鏈則桿阻墓止所滿有質裂點的丑位移,則在各懸質點的丈慣性力作用膏下，懇各鏈餅桿產弟生和烤慣性憤力大忘小相債等、顆方向勿相反矩的反順力；可按戒照位暢移法熊的步第驟來拍處理§14期-6多自丈由度神結構惕的自鐘由振同動（2）其次豪令各鏈知桿發(fā)生避與各質義點實際愈位置相肚同的位徑移，此倚時各鏈鍬桿上所敬需施加的力為FRi(i=1,駕2,…凍,n)。（3）不夕考慮等阻尼諷時，折將上壇述兩叉種情色況疊升加，褲各附足加鏈坊桿上岔的總否反力區(qū)為零叮，由瓣此可列湯出各倆質點劣的動宇力平薄衡方香程。臘以質功點mi為例：即：§14-搏6多自由禿度結構侮的自由設振動

(14-46)同理，詢體系中泰的每一侄個質點赴都可以雹列出相倆應的動萌力平衡怖方程式蒜，有寫成矩激陣形式瞎：(14-48)簡寫為：§14遲-6多自由姥度結構根的自由邀振動Y和?分別槳是位核移向嚷量和予加速柏度向伸量：M和K分別是次質量矩賞陣和剛餐度矩陣鮮：§14怠-6多自由懇度結構浪的自由擦振動體系灘中某撲質點i產生釋位移yi可看成久是系統(tǒng)程內各質帶點運動悅時的慣螞性力共側同引起只的。即柔度法考慮每么一個質脫點的位偵移，可匪得一組央運動微絞分方程研式：FI1，F(xiàn)I2，…，F(xiàn)In為質點1，2，……元n的慣呈性力肆。體系的殃柔度系勸數(shù)δij為作用熱在質點j上的單誼位力引盈起質點i的位移兆。§14-廈6多自槽由度畏結構饑的自漂由振岸動寫成矩棄陣形式懸：δ稱為體轎系的柔圣度矩陣,I—單位矩峽陣?；?14-51)所以特，由粗剛度六法建題立的公式（14-替48）與公鄰式（14-卡51）是完全減相通的棋。因為椅：§14歉-6多自由肺度結構通的自由新振動設公式（14僻-5施1）的特繩解為層：2.按柔度顯法求解(14-51)即所停有質繩點按玻同一漲頻率臂同一紙相位忍作同誦步簡盲諧振甘動，販但各冶質點蕩的振岸幅值覽各不處相同(1珠4-系53致)(14-54)有(f)柔度法油的振幅特方程§14浮-6多自波由度螺結構橋的自矛由振引動柔度法鋪的頻率怕方程振幅資向量A存在廊非零年解的替條件即為(14鄙-56姻)(14-55)

根據(jù)頻率方程可得到n個自振頻率，將它們由小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率，并總稱為結構自振的頻譜。注意:體系馬自振侄頻率匹的個背數(shù)和束它的冰自由鏈度數(shù)胳目相幼同?！?4-序6多自欠由度槍結構特的自凡由振極動此時各質點按同一頻率作同步簡諧振動，但各質點的位移相互間的比值并不隨時間而變化，也就是說在任何時刻結構的振動都保持同一形狀，整個結構就像一個單自由度結構一樣在振動。這種多自由度結構按任一自振頻率進行的簡諧振動稱為主振動，與其相應的特定振動形式稱為主振型(振型)將代回式(14-53)，得到：(14-59)將n個自振頻率中的任一個代入式(f)，得到特解為(1久4-擴57燈)§14-倦6多自抓由度繪結構牌的自厭由振蒼動n個主振資動的線黨性組合巖，構成糧振動微談分方程愉的一般諒解：(14刃-60也)和取決于初始條件。然而自振頻率和振型與外因干擾無關，只取決于結構的質量分布和柔度系數(shù)，因而反映著結構本身固有的動力特性。由于此時系數(shù)行列式為零，因此n個方程中只有（n-1）個是獨立的，因而不能求得的確定值，但可確定各質點振幅間的相對比值，便確定了振型。振型向懇量規(guī)準化珍振型向深量§14該-6多自由配度結構名的自由庭振動對于擦兩個振自由妙度結早構，饅振幅胳方程份（14-漢53）為挽：令擊，將鋒上式展囑開得：頻率癥方程公為：(14棋-61手)§14-灑6多自末由度某結構郊的自遣由振墨動兩個澡自振址頻率憑為：(1越4-耕62爪)兩個主怠振型為補：(14類-63侄)(14腸-64載)§14-冠6多自由饑度結構吊的自由諷振動例14-稀3圖示簡掩支梁在療跨度的奮三分之還一處有擋兩個大攝小相等夜的集中這質量m，試分析出其自由級振動。忍設梁的五自重略倘去不計企，EI＝常數(shù)紹。解:鹿(1攤)計算照柔度捏系數(shù)δij§14-巡壽6多自由止度結構儉的自由肉振動求得將δij和m值代人上式(2)求頻鳴率：§14-絨6多自由掙度結構稍的自由享振動將ωi和δij值代上漆入式得第墓一主墨振型診為第二五主振盤型為(3)分析狡振型§14未-6多自扮由度問結構逐的自匯由振絮動可以看漠出，如庭果結構是本身和雜質量分處布都是艦對稱的漢，則其借振型不李是正對貸稱的便飛是反對爹稱的。第一主父振型第二胖主振鈴型§14簽-6多自事由度智結構循的自臣由振址動例14冬-4圖示外剛架駁，在貴梁跨脊中D處和積柱頂A處有大盈小相等衣的集中法質量m，支座C處為憤彈性主支承耳，彈漏簧的廟剛性旗系數(shù)k=(注3EI)/l3。試求自振頻黨率和振錢型。1.求柔伏度系西數(shù)解：毛體系采有兩肌自由比度，A處質世點的笛水平鑼位移葛和D處質鎖的豎挑向位丹移。繪制M1、M2圖,由圖乘旁及彈簧域內力虛懲功計算強得§14成-6多自蹦由度求結構榨的自狂由振稅動2.寫出振弱型方程（a）3.寫出依頻率窗方程花，求咸頻率展開式為解得相應的毛頻率為§14-橫6多自由臟度結構綁的自由細振動當λ=λ1=27密.0礦83時，設A1(1)=1,得第一主振型為第二主拉振型為當λ=λ2=2.9尋17時，延設A1(2斑)=1，得4.求振春型并邁繪出揉振型浙圖由所得武結果繪嗎出振型§14-蘭6多自由厭度結構紛的自由奶振動3.按剛度炒法求解(14-66)

(14-65)振幅暫方程頻率叔方程將得到的n個自振頻率代回振幅方程，得：(14-67)同樣可疏確定n個主振贊型。對于燥兩個矮自由否度結餅構，揚頻率針方程饅為：§14俗-6多自志由度淺結構德的自肆由振執(zhí)動展開得奪：兩個主糊振型為毒：§14-類6多自由板度結構暑的自由乒振動例14-他5三層剛梯架如圖雷所示。充設自上鏟到下，銀各層樓雞面的質尤量(包括柱部子質量)分別為m1=18卵000擁0kg，m2=2內70君00莫0k億g，m3=27州000爪0kg；各層記的層放間側容移剛貝度(即該層慰柱子上宗、下兩濟端發(fā)生懲單位相集對位移觸時，該范層各柱眾剪力之踐和)分別為k1=9指8M邪N/偉m，k2=19浴6MN浙/m，k3=2宗45棋MN膠/m。求剛架好的自振綠頻率和攝振型。設傻橫梁的兩剛度EI＝∞。解:(1)求頻率剛。體系驕的自夢由度依數(shù)為3。振型葉方程遷為頻率墊方程傅為§14-嘴6多自刻由度總結構莊的自呈由振架動建立津剛度僚矩陣級和質麻量矩索陣由圖b可得：

由圖c可得：

由圖d可得：

§14飯-6多自紀由度忘結構肌的自朝由振姥動得剛度生矩陣：質量近矩陣逢為：§14鋤-6多自除由度告結構箱的自德由振佩動頻率方泳程：引入符號η

,則展開式冶為§14-耐6多自品由度胖結構劍的自挖由振執(zhí)動解方程得：由求得三個自振頻率為：§14-巷6多自由倘度結構耍的自由渠振動將代入式(K-ω2M)φ=0，為求標準化振型，規(guī)定φ1(j)=1。2.求振型謹：第三振型第二振型第一振型§14-浸6多自由塵度結構秀的自由窗振動(4渴)與單擇自由秤度體桐系相綠同，乞多自穿由度簽體系測的自葡振頻撈率和拆主振疫型也正是體湊系本話身的販固有梢性質曉。對于蕩多自糞由度匯體系:(1)在多白自由粥度體憂系自勝由振華動問擺題中斑，主巧要問新題是枯確定出體系跡的全島部自鐮振頻頌率及丈其相囑應的柜主振樣型。(2錢)多自姻由度隔體系男自振兼頻率匹不止器一個驢，其恨個數(shù)消與體衡系自邁由度滿的個影數(shù)相懶等。耍自振偽頻率形可由條特征將方程群求出孝。(3)每個透自振面頻率之有自逢己相兩應的頁主振視型。怒主振內型是振多自六由度正體系柴能夠葡按單環(huán)自由惱度振陶動時題所具代有的筆特定哨形式壩?！?4-深6多自由鼓度結構庫的自由畜振動對上殊述兩徑式分酬別兩佳邊同震時左登乘識和盯，概有對其中柱任兩個海不同的僅主振型囑向量Xi和Xj，有4.主振物型的酷正交東性n個自由真度結構瞧具有n個自王振頻闊率及n個主振給型，每棄一頻率栽及其相穩(wěn)應主振戚型都滿服足(14-67)(b伏)(a)(d樹)(c)（d）式禮兩邊乓轉置忙，有(e)（c）式-（e）式冰，有§14唐-6多自由紛度結構底的自由抄振動當(i≠j)時，有這說咽明，曬對于駱質量奪矩陣M，不患同頻報率的現(xiàn)兩個有主振駁型是伙彼此譜正交探的。同理仰可以喊證明啟，對宣于質咱量矩木陣K，不同蜘頻率的擦兩個主嘉振型彼靠此也是零正交的走。對于景標準牽化的斗振型唇向量泡，也蔑同樣討具有殘正交艙性，聽即振型正凳交性的燦物理意迎義:體系按你某一振弱型振動聰時，它短的慣性患力不會寨在其它臭振型上博作功。藍也就是爬說它的狼能量不非會轉移價到其它妄振型上齒去，說壩明各個籃主振型氧都能夠森單獨出采現(xiàn)，彼完此線形障無關。主振僅型的陶正交藍性是途結構竟本身覆的固石有特減性，樸它不五僅可攤以用參來簡煉化結餡構的支動力鉗計算也，而喂且還蔽可以黨用來趨檢驗狡所求致的主附振型飄是否窯正確昆?！?4騙-6多自由鐮度結構擴的自由殃振動計算勺結構但在動崖力荷息載作困用下牢的位出移和營內力,即結構嗽的動力具反應。謠本節(jié)只表研究結旅構在簡杜諧荷載淚作用下伸的動力合反應問循題。求腐解的方跨法只討聞論直接止法。若干擾射力頻率鎖處于共奶振區(qū)以搖外，則榆阻尼的努影響不狹大。本疼節(jié)不考衡慮阻尼栗。體系練強迫腳振動壁要解亭決的蘭問題§14-任7多自由厲度結構劈燕在簡諧領荷載作椅用下的免強迫振奮動振動頑過程汽中的摸任一菠時刻t，引起筑體系踏位移遷的力扮有兩旅種：1.各質點劑的慣性單力FI1(t)、FI2(t)、…、FIn(t)2.干擾添力F1si匠nθt、F2si眾nθt、…、Fksinθt一、龍柔度法逃建立振校動微分斑方程式體系也中任由一質膛點mi的位移yi為：yiP為所有偵干擾力樹在質點mi處引歡起的強位移失?！?4-熱7多自虛由度彼結構缺在簡煮諧荷羽載作浙用下級的強府迫振滾動動力穴荷載藍達到磁最大褲值時掏在質訊點mi處所引孩起的靜抓力位移瘋。注意陷到F(t)=－mi?i，有對于n個自由肺度體系鏟，可以暑建立n個這結樣的診方程水。寫成矩濫陣形式等為：δM?+y=?Psi坊nθt(14銅-73傅)(1凡4-寶72小)?P=[?1P?2P…?nP]T為動荷坑載幅值悶引起的寺靜力位夢移列向刪量。δ為結老構的咐柔度傳矩陣綱?！?4容-7多自由殼度結構歷在簡諧嶺荷載作爺用下的早強迫振國動是一個奏非齊次殘線性微左分方程撞組。它給的一般販解由兩而部分組爛成：一塞部分是靈對應齊心次微分陵方程的催解；另樸一部分屈則是某艦一特解下。齊次拜解對應年于自由老振動部逃分，這管部分將飛很快衰么減掉。庸在研究堪強迫振劇動問題宰時，著膀重討論姻式(14料-79帶)的特承解,即穩(wěn)矛定強李迫振捧動的榨解。δM?+y=?Psi云nθt(1呀4-柜73便)設方程憲的特解佛為：y=Asi波nθt(1弊4-饑74遇)A=[A1A2…An]TA為強迫兄振動位腸移幅值妹列向量內：A1、A2、…、An.將y連同?=－Aθ2si劑nθt代入式(1膜4-殖73指)，化慕簡后窯得(14-76)解方柴程組寨可求耀出各窯質點短在純行強迫辣振動喊中的襖振幅廈：由式(1肥4-我74把)可得各捐質點的頭振動方傾程?！?4薦-7多自由翠度結構禿在簡諧零荷載作說用下的舌強迫振籃動令FI0=θ2MAFI=－M?華=臣θ2MAsi突nθt=FI0sinθtFIi0=θ2miAi(i=1,優(yōu)2,…持,n)y=Asi堂nθtFI0稱為近慣性枯力幅棕值列鄉(xiāng)豐向量很。寫成展堅開形式改為：由上糊式可牽以看扭出：位移、弊慣性力軌和干擾努力均按押同一頻消率作同淺步簡諧羽振動，撈且同時瓜達到幅延值。各質羽點的殘慣性穩(wěn)力為側：FI=－M?璃=搏θ2MAsinθt(1怪4-伴77寸)式中FI=[FI1FI2…FIn]T為慣嫂性力啊列向膜量?！?4投-7多自露由度塊結構現(xiàn)在簡瘡諧荷污載作勻用下稼的強捧迫振連動在計算缺最大動謝位移和注最大動跪內力時頑，可先俯求得慣館性力的謙幅值FIi0，然后疾再把FIi0和干擾證力幅值Fi同時瘡作用呢于結嚴構上固，按撥靜力迫分析簡方法匪即可漢求得贈最大煌動位供移和遍最大孔動內若力?！?4-拾7多自瓶由度肅結構尚在簡角諧荷姥載作伏用下伐的強田迫振鄉(xiāng)豐動二、剛冶度法建矩立振動較微分方線程當干椒擾力吐均作燒用在股質點偷處時腳，由n個自由殊度的剛深度法基腎本體系極，得出局其動力釀平衡方服程如下膏：

(14-80)寫成陳矩陣蜓形式肥為：M?+KY脊=F(t)(14哀-81紋)§14躁-7多自由料度結構埋在簡諧雖荷載作濁用下的寺強迫振流動F(t)=Fsi氣nθt式中F=[F1F2…Fn]T為荷載衛(wèi)幅值列望向量。若各干削擾力為飼同步簡苗諧荷載挪，即：在平曠穩(wěn)階臭段各弱質點灘亦均免按頻粱率荷圖載θ作同步癢簡諧振評動。設：Y=Y0si防nθt(14費-82律)將{Y}和{?}=齡-θ2{A}si漏nθt代人鵲式(14懇-80馳),并消桐去公助因子si鳥nθt,得(K－θ2M)Y0=F(1且4-依83蒙)則Y0=遞(K－θ2M)-1F§14-池7多自曉由度棉結構萬在簡彈諧荷踩載作好用下努的強壇迫振碗動由{A}便可茂求得動各質鉆點的千慣性太力幅殘值：FI0=θ2MA或FIi0=θ2miAi(i=1,殼2,…昏,n)其展開著形式為鋪：(1掩4-冠92溪)§14釋-7多自層由度流結構魂在簡金諧荷導載作這用下目的強史迫振呈動注意:當有怖簡諧凳集中奔荷載階未作核用于收質量烘上時紡，可集假設裕該處澇的質艦量為嶼零后承再套孩用公謎式(1晝4-吼87表)或公漠式(1賭4-計88匙);當有敘簡諧疊分布小荷載仔作用牌時，男則需累先化頓為作事用于冰質量著上處稍的等言效動吩力荷音載，喉或者膀是采信用柔挽度法巡壽計算款?！?4敵-7多自由膚度結構歌在簡諧座荷載作專用下的暈強迫振見動解設以FI10、FI20分別代顏表質點m1、m2的慣性他力幅值姜，其典音型方程挽如下：例14-6試求圖示體系的最大動位移和動內力圖。已知

，m1=m2=m,EI=常數(shù)?！?4詳-7多自由侄度結構垃在簡諧導荷載作老用下的籍強迫振案動柔度系稻數(shù)和自哨由項可班利用圖武乘法求聲得將上述延數(shù)值代似人典型紛方程(a)，化簡蕉后得§14脂-7多自屢由度狠結構顆在簡輕諧荷岔載作菠用下滿的強歡迫振造動解得：FI10=0.爪29持36F，F(xiàn)I20=0.疫26蠻89F將FI10、FI20和F共同部作用征在結剖構上增，然后按寄靜力計忘算方法古求得最異大動位哨移。§14-轉7多自由額度結構露在簡諧路荷載作王用下的晉強迫振趟動最大動位移圖最大動內力圖§14問-7多自由恒度結構粗在簡諧耕荷載作赴用下的悠強迫振迫動算得截憤面l處動荷況載幅值送所產生閱的靜力滴值分別撐為：相應傭的動沫力系螞數(shù)為倉：由此可緣瑞見，在即多自由仗度體系乎中，沒寫有一個村統(tǒng)一的鋒動力系弱數(shù)，這綱是與前適述單自徹由度體舟系不相撞同的?！?4傘-7多自由刺度結構桃在簡諧晶荷載作此用下的脫強迫振慎動例14-腹7求示結疾構質點數(shù)的振幅犁和繪制黨最大動旅力彎矩騾圖。已積知m1=m2=m，F(xiàn)=ql，,各桿EI=常數(shù)。解用柔耐度法纏求解邪。繪劉出M1、M2圖,計算柔傅度系數(shù)焰和自由診項.§14-某7多自殿由度住結構類在簡臟諧荷暑載作習用下雨的強她迫振隆動繪MP自由項拖計算如倍下§14村-7多自濱由度相結構匹在簡俊諧荷賣載作么用下最的強燙迫振璃動將求得爭的柔度妻系數(shù)、自由項江以及θ帶入慣鏡性力幅