材料力學課件之彎曲應力

第6章彎曲應力6-１概述1、彎曲構件橫截面上的（內(nèi)力）應力內(nèi)力剪力V剪應力t彎矩M正應力s2、研究方法平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無V的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有V又有M的情況)6-2彎曲正應力一、純彎曲與剪力彎曲PPaaABVx+-PPMx+Pa1.純彎曲(PureBending):橫截面上的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該桿段的變形稱為純彎曲。2.剪切彎曲桿各橫截面上有既剪力、也有彎矩，且彎矩為截面位置x的函數(shù)。二、純彎曲梁橫截面上的正應力

（一）變形幾何規(guī)律：1.梁的純彎曲實驗橫向線（mm、nn）變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一個角度；縱向線（aa、bb）變?yōu)榍€，且上部縮短，下部伸長；橫向線與縱向線變形后仍然正交。

aabbmmnn中性軸2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。3.推論平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。

單向拉壓假定：設各縱向纖維之間互相不擠壓，每一根縱向纖維均處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)（即純彎曲時，梁橫截面上只有正應力）

4.幾何方程：為中性層O1O2的曲率半徑，兩截面間的夾角為d，考察任一縱向纖維（如aa）的線應變，aa到中性層的距離為y（如圖）

變形前：

變形后：

線應變：

梁內(nèi)任一點的線應變的大小與該點到中性軸的距離成正比。

PPaaABCDxy（二）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單向應力狀態(tài)。當正應力不超過比例極限時，由胡克定律可得：問題：=？中性軸的位置如何？

（三）靜力學關系：yyzdAzx橫截面上的微內(nèi)力組成的空間平行力系，僅能簡化為三個內(nèi)力分量。

，可見，y軸和z軸是截面的形心主慣性軸。即截面的中性軸z的位置完全確定。EIz截面或桿的抗彎剛度。彎曲變形的基本公式（中性層曲率）

三、平面彎曲桿橫截面上的正應力1.計算公式2.分布規(guī)律橫截面上任一點處的正應力大小，與該點至中性軸的距離成正比，即正應力沿截面寬度均勻分布，沿高度呈線性分布。中性軸的一側(cè)為拉應力，另一側(cè)為壓應力。3.正應力公式討論：

1）適用于均勻連續(xù)、各向同性材料，在線彈性范圍小變形時的等截面直桿。2）在純彎曲時，橫截面在彎曲變形后保持平面，公式為精確解；橫力彎曲時，橫截面不再保持平面，公式為近似解，當梁的跨高比l/h>5時，誤差＜2%。3）若中性軸為截面對稱軸，則；若不是對稱軸，則，4）如何確定正應力的符號a)均以絕對值代入，根據(jù)梁的彎曲變形來確定是拉還是壓；b)均帶符號代入判斷是正為拉應力；是負為壓應力。四、最大應力的計算

抗彎截面模量。矩形截面的Wzz圓形截面的Wzz例：6－3彎曲剪應力1、兩點假設：

1)剪應力與剪力平行；

2)距中性軸等距離處，剪

應力相等。2、研究方法：分離體平衡。

1)在梁上取微段如圖b；

2)在微段上取一塊如圖c，

平衡ysxyzs1t1tbdxx圖a圖c一、矩形截面梁V(x)+dV(x)M(x)M(x)+dM(x)V(x)dx圖bq(x)3.剪應力公式推導sxyzs1t1tb圖c由剪應力互等V——橫截面上的剪力；——橫截面上需求剪應力處的水平線以下（或以上）部分的面積A*對中性軸的靜矩；

Iz——整個橫截面對中性軸的慣性矩；

b——需求剪應力處的橫截面寬度。

4.剪應力沿橫截面高度的分布t方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。在截面上、下邊緣處的剪應力為零，而在中性軸上的剪應力值最大，

矩形截面梁橫截面上的最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。V二、工字形(槽形，T字型)截面工字形截面可視為由翼緣和腹板所組成。通過分析可知，翼緣主要承擔彎矩的作用，而腹板則主要承受剪力的作用。工字形腹板上的剪應力可以按照矩形截面的剪應力公式計算，即

1.腹板上的剪應力由分析可知，工字形截面腹板上的剪應力接近均勻分布，且tmax≈tmin鉛垂剪應力主要由腹板承受（95~97%），其近似的計算公式為

對軋制工字鋼截面，式中Iz／S*zmax的值可以查型鋼表。2.翼緣上的剪應力——翼緣上需求剪應力處的豎直線與翼端之間的部分面積A*對中性軸的靜矩；

（1）豎向剪應力（2）水平剪應力Ve呈線性分布3.剪應力流腹板上剪應力方向與剪力方向一致，各翼緣上的剪應力與之形成剪流。三.圓截面：由切應力互等定理可知，在截面邊緣上各點處切應力

的方向必與圓周相切。假設：(1)沿寬度kk上各點處的切應力均匯交于y軸上的P點；(2)各點處切應力沿y方向的分量沿寬度相等。最大剪應力，仍發(fā)生在中性軸上的各點處，在中性軸上剪應力的方向都平行于剪力V，且各點處的剪應力均相等。五.開口薄壁圓環(huán)截面：四.薄壁圓環(huán)截面：假設：(1)橫截面上切應力的大小沿壁厚無變化；(2)切應力的方向與圓周相切。6-4梁的正應力和剪應力強度條件?梁的合理截面1、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。VtsssMt一、梁的正應力和剪應力強度條件帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大剪應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在V和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）sMQtts3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：2、正應力和剪應力強度條件：注：對于拉壓性能不同的材料，須對抗拉和抗壓分別建立強度條件。?校核強度：?設計截面尺寸：?設計載荷：(4)各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應力。4、需要校核剪應力的幾種特殊情況：細長梁強度的控制因素通常是彎曲正應力。滿足彎曲正應力強度條件的梁，一股都能滿足切應力強度條件。只有在下述一些情況下，要進行彎曲切應力強度校核：(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小，而剪力較大；(2)鉚接或焊接的工字梁，如腹板薄而截面高度頗大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值，這時，應對腹板進行切應力校核；(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的梁，對焊縫、鉚釘或膠合面等，一般要進行剪切計算。例1.矩形木淋梁的合丹理高寬她比R北宋彼李誡傷于11誦00年著?營造法搭式?一書潤中指單出:矩形木濫梁的合抗理高寬厚比(h/b=1.輸5)英(T.綱Yo麥un晴g)于18家07年著?自然斬哲學席與機脂械技遼術講床義?一書舟中指野出:矩形鐘木梁敗的合丈理高公寬比目為bh二、沿梁的虎合理嫌截面2.其他河材料土與其哨他截潤面形酬狀梁聰?shù)暮厦骼斫赜廾鎻姸任洌赫覒ε郑杭魬δ啵簔Dzaa（1）在是面積荒相等忌的情歇況下槳，選節(jié)擇抗響彎模晴量大鉛的截暢面zD0.8D續(xù)（1）在痛面積心相等薦的情戶況下錄，選弦擇抗朗彎模賓量大賊的截粘面a12a1z0.8a2a21.6a22a2z工字形擊截面與夫框形截會面類似由。sGz（2）根據(jù)微材料特知性選擇賣截面形古狀對于巴鑄鐵鄭類抗斗拉、殿壓能益力不居同的提材料偷，最增好使狗用T字形漏類的邁截面鋪，并銅使中料性軸禿偏于騰抗變驅(qū)形能宜力弱夠的一限方，堤即：右若抗逢拉能置力弱漲，而菠梁的況危險罪截面宜處又出上側(cè)丹受拉值，則扒令中烘性軸幼靠近低上端串。如尋下圖三：3.采用變痛截面梁弱，如下洪圖：Px最好住是等拐強度明梁，凍即若為頓等強唉度矩昆形截江面，撕則高洋為同時6-5開口呢薄壁出截面怨的彎服曲中手心一、開晝口簿壁稠截面梁賤的剪應況力1.分布謝規(guī)律吉：慈剪椅應力治方向染與截溝面中師心線劑相切連，且碌沿截坐面中都心線搜形成填“剪刻應力招流”壩，剪筑應力音大小元沿壁損厚均菠勻分于布，盛如圖愚所示坡。2.計算公額式二、被開口彼薄壁沫截面不的彎顯曲中焦心1.彎曲走中心側(cè)：按剪淺切彎額曲時熊，梁戚只產(chǎn)群生彎谷曲變雞形，昏不發(fā)欲生扭轉(zhuǎn)變代形，暮橫向藏外力帽必須徒通過伶的點親，稱遷為彎競曲中柔心。2.彎曲振中心課的特瞧征(1惕)彎曲中躲心實質(zhì)卷上是橫蔽截面內(nèi)濫剪應力踩合力的胞作用點炊。(2)彎曲夢中心氣必在弓截面?zhèn)兊膶ΣQ軸(或反嶄對稱霧軸)上．鋼若截鴿面具梨有兩個對剖稱軸(或反對鏡稱軸＞盈，則其催交點即現(xiàn)為彎曲蘭中心。(3季)由若匠干中決心線澇交于瞞一點游的狹魂長矩譯形組傲成的僑截面駛，各績矩形中心淚線的索交點聞即為送彎曲排中心槍。(4斯)彎曲中射心僅與言截面的窗幾何形爭狀有關笑，而與品載荷大蹤蝶小和材料性能補無關。3.彎曲脅中心湖的確并定3.彎曲中錦心的確樓定幾何方敏程與物逢理方程致不變。橫截士面上鐮內(nèi)力依此確太定正應幕力計算外公式。PxyzO3.彎曲中巖心的確乞定PxyzO非對規(guī)稱截堂面梁噸發(fā)生泡平面芹彎曲壤的條返件：街外力糾必須且作用燈在主糞慣性罪面內(nèi)欣，中優(yōu)性軸眠為形扒心主攜軸，濕若是漁橫向歌力，問還必愈須過退彎曲爆中心追。exyzPPsMVe6-6考慮柳材料率塑性促時的盤極限左彎矩ssss（一）屠物理關咱系為：全面屈通服后,平面假講設不