最優(yōu)控制模型

關(guān)于最優(yōu)控制模型第1頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.0引言1、經(jīng)濟(jì)行為人決策的典型特征經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的行為主體主要有家庭、企業(yè)和政府。家庭在做決策時(shí)，既要考慮今天，也要考慮明天，既要考慮當(dāng)代，還要考慮下一代；企業(yè)在做決策時(shí)，不僅要考慮當(dāng)期的收益，也要考慮未來的持續(xù)經(jīng)營(yíng)；政府在做決策時(shí)，不僅要考慮當(dāng)前，也要考慮未來?？傊?，經(jīng)濟(jì)行為人的決策是一個(gè)跨期優(yōu)化(intertemporaloptimazation)問題。2、處理跨期優(yōu)化問題的方法(1)最優(yōu)控制(optimalcontrol)(2)變分法(calculusofvariations)(3)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(dynamicprogramming)第2頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1離散跨期選擇問題1、離散跨期選擇的經(jīng)典問題——“吃糕”問題假設(shè)行為人擁有一些不可再生的資源，如一塊蛋糕，該資源的初始存量為S0，行為人在時(shí)期t的消費(fèi)量為ct，則在時(shí)期t資源的存量為：

St=St-1-ct

再假設(shè)行為人確切地知道他能活3個(gè)時(shí)期，如青年、中年、老年三個(gè)時(shí)期，問題是該行為人如何將其資源在各個(gè)時(shí)期中消費(fèi)？第3頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1離散跨期選擇問題2、“吃糕”問題的數(shù)學(xué)表述記行為人的效用函數(shù)為u(ct)，該效用函數(shù)在各個(gè)時(shí)期均相同，且有：

u′(c)>0，u′′(c)<0，u′(0)=

再記未來效用的折現(xiàn)率為ρ，行為人追求一生當(dāng)中效用的現(xiàn)值的最大化，則該行為人的消費(fèi)決策問題就可表示為：

式中St稱為狀態(tài)變量，ct稱為控制變量。第4頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1離散跨期選擇問題3、“吃糕”問題的求解假設(shè)行為人并沒有留有遺產(chǎn)的動(dòng)機(jī)，則有：

S3=0，c3=S2，c2+c3=S1，c1+c2+c3=S0使用拉格朗日乘子法，得：

MaxL=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2+λ(S0-c1-c2-c3)使L最大化的一階條件為：

L/c1=u′(c1)-λ=0L/c2=u′(c2)/(1+ρ)-λ=0L/c3=u′(c3)/(1+ρ)2-λ=0

即有：u′(c1)=u′(c2)/(1+ρ)=u′(c3)/(1+ρ)2第5頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1離散跨期選擇問題3、“吃糕”問題的求解由式u′(c1)=u′(c2)/(1+ρ)=u′(c3)/(1+ρ)2，可知：如果折現(xiàn)率=0，則有：

u′(c1)=u′(c2)=u′(c3)

即：c1=c2=c3如果折現(xiàn)率>0，則有：

u′(c1)<u′(c2)<u′(c3)

即：c1>c2>c3如果確切知道和S0的值，則可具體求出c1、c2和c3。第6頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制6.2.1基本概念1、跨期效用函數(shù)所謂跨期效用函數(shù)，即行為人一生的總效用函數(shù)，如“吃糕”問題中的效用函數(shù)：

U(c1,c2,c3)=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2

其中，每個(gè)時(shí)期的效用函數(shù)u(ct)稱為“幸?！?felicity)函數(shù)。對(duì)于連續(xù)時(shí)間的情形，跨期效用函數(shù)通常寫為：

U(ct)=t0Tu(ct)e-ρtdt

其中每時(shí)刻的效用函數(shù)u(ct)又稱為瞬時(shí)效用函數(shù)，或“幸?！焙瘮?shù)。第7頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制1、跨期效用函數(shù)如此設(shè)定的跨期效用函數(shù)具有可加性(additivity)或稱可分離性(separability)的性質(zhì)?？煞蛛x性的條件為：

Mij/ck=0

其中Mij為不同時(shí)期消費(fèi)的邊際替代率(marginalrateofsubstitutionbetweenconsumptioninperiodiandj)，即：

Mij=Ui(.)/Uj(.)=(U/ci)/(U/cj)第8頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制2、指數(shù)折現(xiàn)率在跨期效用函數(shù)中，通常需要有折現(xiàn)因子。一般地，折現(xiàn)因子可表示為α(t)。在連續(xù)時(shí)間的跨期效用函數(shù)中，折現(xiàn)因子一般設(shè)定為指數(shù)形式，即有：

α(t)=e-ρt設(shè)定指數(shù)折現(xiàn)形式的好處是可避免時(shí)間不一致性(timeinconsistency)。所謂時(shí)間不一致性是指，一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃在開始時(shí)被認(rèn)為是最優(yōu)的，但過了一段時(shí)間再評(píng)估就不是最優(yōu)的了。第9頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制3、目標(biāo)函數(shù)跨期最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的一般形式為：

F(s,c,t)=t0Tf[s(t),c(t),t]dt

其中，T可以是無窮大，折現(xiàn)因子已包含在了f[s(t),c(t),t]函數(shù)之中。s(t)稱為狀態(tài)變量，c(t)稱為控制變量，t為時(shí)間。若時(shí)間t只是間接地通過s(t)和c(t)出現(xiàn)在函數(shù)f之中，則稱此跨期優(yōu)化問題為自治問題(autonomousproblem)，若t直接出現(xiàn)在函數(shù)f之中，則稱為非自治問題(non-autonomousproblem)。第10頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制4、狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程狀態(tài)變量就是不由行為人直接控制的系統(tǒng)內(nèi)生決定的變量，而控制變量則是行為人可直接控制的變量。行為人通過對(duì)控制變量的控制可以間接地影響狀態(tài)變量，狀態(tài)變量的變化方程是控制變量的函數(shù)，可表示為：

?(t)=g[s(t),c(t),t]

稱為狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程。最優(yōu)控制問題就是要找出控制變量在各個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)取值，使得目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大（或最?。??？刂谱兞繌某跏紩r(shí)刻到終結(jié)時(shí)刻的變化過程稱為控制變量的路徑，狀態(tài)變量的變化過程稱為狀態(tài)變量的路徑。第11頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制5、橫截條件所謂橫截條件，就是可以把狀態(tài)變量的最優(yōu)路徑與其他允許路徑區(qū)別開來的條件。類似于微分方程中的初始條件，橫截條件確定了狀態(tài)變量的具體路徑，即決定了狀態(tài)變量和控制變量的最優(yōu)軌線(optimaltrajectory)。最簡(jiǎn)單的橫截條件是固定始點(diǎn)和固定終點(diǎn)條件，即：

s(t0)=s0，s(T)=sT

許多經(jīng)濟(jì)問題都有一個(gè)給定的出發(fā)點(diǎn)s0，當(dāng)其終點(diǎn)值sT本身就是優(yōu)化問題的一部分。第12頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制6、拉格朗日函數(shù)最簡(jiǎn)單的最優(yōu)控制問題可以寫為：

J(s,t)=Maxt0Tf(s,c,t)dts.t:?(t)=g(s,c,t)s(t0)=s(0)=s0，s(T)自由由于在區(qū)間[t0,T]上，狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程?(t)=g(s,c,t)始終成立，從而始終有[g(s,c,t)-?]=0。使用拉格朗日乘子的概念，則有：

ψ(t)[g(s,c,t)-?]=0

也必然有：t0Tψ(t)[g(s,c,t)-?]dt=0第13頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制6、拉格朗日函數(shù)因此，將此式0Tψ(t)[g(s,c,t)-?]dt加入目標(biāo)函數(shù)之中，并不影響目標(biāo)函數(shù)的值，于是可將目標(biāo)函數(shù)擴(kuò)展為：

L=t0Tf(s,c,t)dt+t0Tψ(t)[g(s,c,t)-?]dt=t0T{f(s,c,t)+ψ(t)[g(s,c,t)-?(t)]}dt對(duì)于此式中的最后一部分使用分部積分，則有：

-t0Tψ(t)?(t)dt=-ψ(t)s(t)|0T+t0Ts(t)ψ?(t)dt=-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)+t0Ts(t)ψ?(t)dt

代入前式，得拉格朗日函數(shù)為：

L=t0T[f(s,c,t)+ψg(s,c,t)+sψ?]dt-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)第14頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制7、一階條件為了導(dǎo)出最優(yōu)控制問題的一階條件，假設(shè)已得到了拉格朗日函數(shù)的最大值L，則拉格朗日函數(shù)中變量的任何變化都會(huì)引起L值的下降。也就是說，在最優(yōu)點(diǎn)，將L對(duì)c和s微分，必然有dL0，即有：

dL=t0T[fc+ψgc)dc+(fs+ψgs+ψ?)ds]dt-ψ(T)ds(T)+ψ(t0)ds(t0)0要使dL0成立，上式中的每一項(xiàng)都必須小于或等于0。由于dc和ds均可正可負(fù)，所以必須有：

fc+ψgc=0fs+ψgs+ψ?=0

此二必要條件就稱為最優(yōu)控制問題的一階條件。第15頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制8、橫截條件在最優(yōu)控制問題中，如果狀態(tài)變量的初始值s(t0)和終點(diǎn)值s(T)都已給定，則ds(t0)和ds(T)都為0。如果僅初始值s(t0)給定，而終點(diǎn)值s(T)沒有給定，則要使dL中的ψ(T)ds(T)0，就必須有：

ψ(T)=0

這也稱為固定時(shí)限的自由終值問題的橫截條件。該條件表明，對(duì)于可以自由選擇終點(diǎn)值的最優(yōu)控制問題，終點(diǎn)時(shí)刻的拉格朗日乘子值必須為0。第16頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制9、共態(tài)變量在最優(yōu)控制問題的拉格朗日函數(shù)中，拉格朗日乘子ψ(t)是伴隨著狀態(tài)變量而引進(jìn)的，稱為共態(tài)變量(costatevariables)。由拉格朗日函數(shù)可得：

L/s0=ψ(t0)

L/sT=-ψ(T)

這表明，狀態(tài)變量的初始值每增加一個(gè)單位，就可使優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值增加ψ(t0)個(gè)單位；而狀態(tài)變量的終點(diǎn)值每增加一個(gè)單位，則可使優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值減少ψ(T)個(gè)單位。因此，共態(tài)變量ψ(t)用目標(biāo)函數(shù)的度量單位計(jì)量了狀態(tài)變量s(t)的價(jià)值，可稱為狀態(tài)變量的影子價(jià)格(shadowprice)。第17頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制10、漢密爾頓(Hamilton)函數(shù)在最優(yōu)控制問題的拉格朗日函數(shù)中，與控制變量c(t)有關(guān)的只有其前兩項(xiàng)，因此可單獨(dú)列出此兩項(xiàng)為：

H=f(s,c,t)+ψg(s,c,t)

此式就稱為漢密爾頓函數(shù)。對(duì)于拉格朗日函數(shù)細(xì)加分析，可以看出漢密爾頓函數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。第18頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制11、龐特里雅金(Pontryagin)最大值原理最優(yōu)控制問題的一階條件，如果使用漢密爾頓函數(shù)，則可表示為：

Hc=fc+ψgc=0

ψ?=-Hs=-(fs+ψgs)

其中，第1個(gè)方程是最優(yōu)化問題的必要條件，它給出了控制變量c在每個(gè)時(shí)刻可能的最優(yōu)值；第2個(gè)方程是共態(tài)變量ψ的運(yùn)動(dòng)方程，稱為輔助方程或伴隨方程(auxiliaryoradjointequation)，該方程與狀態(tài)變量s的運(yùn)動(dòng)方程：

?=Hψ=g(s,c,t)

一起稱為最優(yōu)控制問題的漢密爾頓系統(tǒng)或標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。第19頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制11、龐特里雅金(Pontryagin)最大值原理由上述一階條件和狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程，還可導(dǎo)出控制變量的運(yùn)動(dòng)方程。一階條件方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：

fcc?+fcs?+ψgcc?+ψgcs?+ψ?gc+fct+ψgct=0

將?=g(s,c,t)代入，并解出ψ?，得：

ψ?=-[(fcc+ψgcc)?+(fcs+ψgcs)g+(fct+ψgct)]/gc

令此式與前面給出的共態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程相等，并將必要條件ψ=-fc/gc代入，得控制變量的運(yùn)動(dòng)方程為：

?=[(gcfs-fcgs)gc-(gcfcs-fcgcs)g-(gcfct-fcgct)]/(gcfcc-fcgcc)在相位圖分析中，視方便可以作出c和s的相位圖，也可以作出ψ和s的相位圖。第20頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制12、邊界解如果控制域是一個(gè)閉區(qū)間ac(t)b，則漢密爾頓函數(shù)H的最大值可能出現(xiàn)在控制域的一個(gè)內(nèi)部點(diǎn)（曲線1），也可能出現(xiàn)在邊界點(diǎn)如c=a或c=b處（曲線2和3）。對(duì)于邊界點(diǎn)，一階條件H/c=0將不再適用。此時(shí)，最大值原理可以表述為：

MaxcH(s,c,t,ψ)

?=Hψ=g(s,c,t)

ψ?=-Hs=-(fs+ψgs)這時(shí)，需要對(duì)邊界點(diǎn)進(jìn)行考察。H

曲線1

曲線2

曲線3a0bc第21頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題1、問題假設(shè)行為人擁有一些不可再生的資源，如一塊蛋糕s，該資源的初始存量為s0，行為人在時(shí)刻t的消費(fèi)量為c(t)，消費(fèi)的效用函數(shù)為u(c)。又假設(shè)行為人的規(guī)劃期從0時(shí)到T時(shí)，時(shí)期長(zhǎng)度固定，其未來效用的折現(xiàn)率為固定折現(xiàn)率ρ，且行為人要在T時(shí)期末將此蛋糕消費(fèi)完，不留遺產(chǎn)。問題是，該行為人如何在0到T的整個(gè)時(shí)期內(nèi)分配此蛋糕的消費(fèi)量，以使其獲得的效用最大？第22頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題2、吃糕問題的數(shù)學(xué)表述由于行為人追求整個(gè)規(guī)劃期內(nèi)效用的最大化，所以該行為人的消費(fèi)決策問題就可表示為：

Max:U[c(t)]=0Te-ρtu[c(t)]dtuc(c)>0，ucc(c)<0，uc(0)=；

s.t.:?=-cs(0)=s0，s(T)=0，T給定。其中c(t)為控制變量，s(t)為狀態(tài)變量，表示蛋糕在t時(shí)刻的存量。第23頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題3、吃糕問題的一階條件由目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可寫出其漢密爾頓函數(shù)為：

H=e-ρtu[c(t)]-ψc由此得一階條件為：

Hc=e-ρtuc(c)-ψ=0

ψ?=-Hs=0由一階條件的第1式可得：

ψ=e-ρtuc(c)

這表明，共態(tài)變量ψ就是每多消費(fèi)1單位蛋糕所增加的邊際效用的現(xiàn)值，即用效用度量的每一單位蛋糕的價(jià)值，所以又稱為蛋糕的影子價(jià)格。第24頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題4、吃糕問題的求解在方程式Hc=0的兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得：

-ρe-ρtuc+e-ρtucc?-ψ?=0將ψ?=0代入，解出?，得：

?=ρuc/ucc

或者：?/c=ρ[uc/cucc]

其中，uc/cucc是消費(fèi)的邊際效用彈性的倒數(shù)。由于ρ>0，uc>0，ucc<0，所以有?<0，即行為人的蛋糕消費(fèi)持續(xù)下降。第25頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題4、吃糕問題的求解在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常用的瞬時(shí)效用函數(shù)是不變跨期替代彈性(CIES)效用函數(shù)：

u(c)=(c1-θ-1)/(1-θ)使用此效用函數(shù)，就有：

uc=c-θ，ucc=-θc-θ-1

由此得消費(fèi)的邊際效用替代彈性為：

cucc/uc=-θ

其中，θ=-cucc/uc又稱為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。將此邊際效用替代彈性代入蛋糕消費(fèi)增長(zhǎng)率方程，得：

?/c=-ρ/θ第26頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2吃糕控制問題5、相位圖分析穩(wěn)定線

?=0：c=0?=0不存在相箭頭相對(duì)于穩(wěn)定線?=0，有：?/c=-1<0

對(duì)于消費(fèi)c，有：

?=ρuc/ucc<0c

?=0s0s第27頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型1、基本假設(shè)①存在一個(gè)中央計(jì)劃者，其目標(biāo)是計(jì)劃期內(nèi)社會(huì)福利的最大化，并要求在計(jì)劃期末社會(huì)的人均資本k=K/N達(dá)到事前規(guī)定的目標(biāo)水平k(T)=kT

，以作為下期計(jì)劃的起點(diǎn)。②社會(huì)總生產(chǎn)函數(shù)為新古典生產(chǎn)函數(shù)Y=F(K,N)，具有規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)，從而人均產(chǎn)出形式的生產(chǎn)函數(shù)為y=f(k)。③人口增長(zhǎng)是外生的，人口增長(zhǎng)率為常數(shù)η。④資本折舊率為常數(shù)δ，從而人均資本的運(yùn)動(dòng)方程為：?=f(k)-c-(η+δ)k。第28頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型2、最優(yōu)化模型的構(gòu)造

Max:U[c(t)]=0Te-ρtu[c(t)]dts.t.:?=f(k)-c-(η+δ)kk(0)=k0，k(T)=KT3、漢密爾頓函數(shù)由最優(yōu)化模型，可以寫出漢密爾頓函數(shù)為：

H=e-ρtu(c)+ψ[f(k)-c-(η+δ)k]此漢密爾頓函數(shù)由兩部分構(gòu)成，控制域?yàn)閇0,c1]，c1=f(k)-(η+δ)k，在此區(qū)間內(nèi)部，H有最大值，即存在內(nèi)部解。

H

H

u(c)e-ρt

ψ[f(k)-c-(η+δ)k]

0

C1

c第29頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型3、一階條件由漢密爾頓函數(shù)，可寫出一階條件為：

Hc=e-ρtuc-ψ=0

ψ?=-Hk=-ψ[fk-(η+δ)]4、共態(tài)變量的經(jīng)濟(jì)意義由一階條件的第1式可得：

ψ=e-ρtuc(c)

這表明，共態(tài)變量ψ就是消費(fèi)每多增加1單位所增加的邊際效用的現(xiàn)值，即用效用度量的每一單位產(chǎn)品的價(jià)值，所以又稱為產(chǎn)品的影子價(jià)格。由于一個(gè)產(chǎn)品不用于消費(fèi)，就可用于投資轉(zhuǎn)化為資本，所以此影子價(jià)格也稱為資本的影子價(jià)格。第30頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5、模型的求解在一階條件的第1式中，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

-ρe-ρtuc+e-ρtucc?-ψ?=0

將一階條件中的第2式ψ?=-ψ[fk-(η+δ)]代入得：

-ρe-ρtuc+e-ρtucc?

=-ψ[fk-(η+δ)]

將ψ=e-ρtuc代入，得：

-ρuc+ucc?

=-uc[fk-(η+δ)]

解出?，得：

?=[uc/ucc][ρ+η+δ-fk]

或：

?/c=[uc/cucc][ρ+η+δ-fk]第31頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5、模型的求解若使用不變跨期替代彈性(CIES)效用函數(shù)：

u(c)=(c1-θ-1)/(1-θ)使用此效用函數(shù)，就有：

uc=c-θ，ucc=-θc-θ-1

由此得消費(fèi)的邊際效用替代彈性為：

uc/cucc=-1/θ將此邊際效用替代彈性代入消費(fèi)增長(zhǎng)率方程，得：

?/c=(1/θ)[fk-(ρ+η+δ)]第32頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型6、狀態(tài)變量-控制變量空間(k,c)中的相位圖①(k,c)空間的微分方程組

?=f(k)-c-(η+δ)k?=[uc/ucc][ρ+η+δ-fk]②穩(wěn)定線

?=0：fk(?)=ρ+η+δ?=fk-1(ρ+η+δ)，?為常數(shù)，穩(wěn)定線?=0是一條垂直于k軸的直線。

?=0：c=f(k)-(η+δ)k，由于f(k)是曲線，所以穩(wěn)定線?=0也是一條曲線。此曲線的斜率：

c/k|?=0=fk-(η+δ)

由于fk>0，而fkk<0，所以此曲線的斜率先正后負(fù)。第33頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型6、狀態(tài)變量-控制變量空間(k,c)中的相位圖③相箭頭對(duì)于穩(wěn)定線?=0,有：c

?/k=-fkkuc/ucc<0?=0

對(duì)于穩(wěn)定線?=0,有：?/k=fk-(η+δ)

?/c=-1<0④路徑分析1)、kT>?的情形2)、kT<?的情形k0kT

?kTk第34頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖①(k,ψ)空間的微分方程組

?=f(k)-c-(η+δ)kψ?=-ψ[fk(k)-(η+δ)]

在?的微分方程中，需將c變換為ψ的函數(shù)，由一階條件Hc=e-ρtuc-ψ=0，有：

ψ=e-ρtuc

其中顯含有時(shí)間t，代入?的微分方程，將使此微分方程成為非自治的。若畫相位圖，將需要每個(gè)不同時(shí)刻畫一個(gè)，非常不便，因此需要先變換。第35頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖②現(xiàn)值(presentvalue)漢密爾頓函數(shù)和當(dāng)期值(currentvalue)漢密爾頓函數(shù)現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：

H=e-ρtu(c)+ψ[f(k)-c-(η+δ)k]

當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)：

?=eρtH=u(c)+Ψ[f(k)-c-(η+δ)k]

其中Ψ=eρtψ，為當(dāng)期值共態(tài)變量，而ψ則是現(xiàn)值共態(tài)變量。第36頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖③當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)下的一階條件由現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)下的一階條件，可導(dǎo)出當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)下的一階條件為：

Hc=0eρtHc=?c=0

ψ?=-Hk

Ψ?=eρtψ?+ρeρtψ=-eρtHk+ρΨ

=-?k+ρΨ

即當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)下的一階條件為：

?c=0

Ψ?=ρΨ-?k

于是就有：uc-Ψ=0

Ψ?=ρΨ-Ψ[fk-(η+δ)]=Ψ[(ρ+η+δ)-fk]第37頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖④(k,Ψ)空間的微分方程

?=f(k)-c-(η+δ)k，Ψ=uc；

Ψ?=Ψ[(ρ+η+δ)-fk]⑤穩(wěn)定線

Ψ?=0：fk(?)=ρ+η+δ?=fk-1(ρ+η+δ)，

?為常數(shù)，穩(wěn)定線Ψ?=0是一條垂直于k軸的直線。

?=0：c=f(k)-(η+δ)k，其中含有c，需將c變換為Ψ的函數(shù)。第38頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖⑤穩(wěn)定線在穩(wěn)定線?=0：c=f(k)-(η+δ)k兩邊對(duì)k求導(dǎo)，得：

(c/Ψ)(Ψ/k)=fk-(η+δ)

由此得：Ψ/k=[fk-(η+δ)]/(c/Ψ)由一階條件uc=Ψ，兩邊對(duì)Ψ求導(dǎo)，得：

ucc(c/Ψ)=1c/Ψ=1/ucc<0

于是可知，若fk>(η+δ)，則有：

Ψ/k|?=0=[fk-(η+δ)]/(c/Ψ)<0

若fk<(η+δ)，則有：

Ψ/k|?=0=[fk-(η+δ)]/(c/Ψ)>0

由于fk>0，而fkk<0，所以穩(wěn)定線?=0的斜率先負(fù)后正。第39頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型7、狀態(tài)變量-共態(tài)變量空間(k,ψ)中的相位圖③相箭頭對(duì)于穩(wěn)定線Ψ?=0,有：Ψ

Ψ?/k=-fkkΨ>0Ψ?=0

對(duì)于穩(wěn)定線?=0,有：?/k=fk-(η+δ)

?/Ψ=-c/Ψ=-1/ucc>0④路徑分析1)、kT>?的情形2)、kT<?的情形k0

?kTk第40頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.1終端不等式約束在許多優(yōu)化問題中，對(duì)于狀態(tài)變量的終點(diǎn)值，并不是事先給定為s(T)=sT，而是給定為一個(gè)不等式約束：

s(T)sT在此情形，最優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)還必須加入此不等式約束，變?yōu)椋?/p>

L=t0T[f(s,c,t)+ψg(s,c,t)+sψ?]dt-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)+λ[s(T)-sT]將此拉氏函數(shù)對(duì)c和s微分，得：

dL=t0T[fc+ψgc)dc+(fs+ψgs+ψ?)ds]dt+ψ(t0)ds(t0)+[λ-ψ(T)]ds(T)要使dL0，除了前面已給出的各項(xiàng)條件以外，還必須有：

[λ-ψ(T)]ds(T)=0

由于ds(T)可正可負(fù)，所以就必須有：

λ-ψ(T)=0第41頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.1終端不等式約束此條件λ-ψ(T)=0表明，不等式約束的拉氏乘子λ必須等于共態(tài)變量的終值ψ(T)。由已給出的橫截條件可知：若s(T)=sT，則為固定終值問題，有ψ(T)0，無限制；若s(T)>sT，則類似自由終值問題，有條件ψ(T)=0。將兩種情況合并，即有橫截條件為：

ψ(T)[s(T)-sT]=0ψ(T)是T時(shí)狀態(tài)變量s(t)的影子價(jià)格，若ψ(T)>0，表明行為人多消費(fèi)1單位資源會(huì)增加其效用，從而必定有s(T)=sT，若放松約束，狀態(tài)變量的終值將會(huì)達(dá)到sT以下；而ψ(T)=0，則表明行為人多消費(fèi)資源已無效用，故會(huì)有s(T)>sT。第42頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.2終值的遺產(chǎn)函數(shù)或殘值函數(shù)如果留有遺產(chǎn)也給行為人帶來效用，則以效用測(cè)度的遺產(chǎn)函數(shù)將直接進(jìn)入行為人的目標(biāo)函數(shù)。記以效用度量的遺產(chǎn)函數(shù)為B[s(T),T]，則行為人的最優(yōu)目標(biāo)為：

J(s,t)=Maxt0Tf(s,c,t)dt+B[s(T),T]

由此得最優(yōu)化的拉氏函數(shù)為：

L=t0T[f(s,c,t)+ψg(s,c,t)+sψ?]dt-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)+B[s(T),T]將此拉氏函數(shù)對(duì)c和s微分，得：

dL=t0T[fc+ψgc)dc+(fs+ψgs+ψ?)ds]dt+ψ(t0)ds(t0)+[Bs-ψ(T)]ds(T)要使dL0，除了前面已給出的各項(xiàng)條件以外，還必須有：

[Bs(s(T),T)-ψ(T)]ds(T)=0

即必須有：

ψ(T)=Bs(s(T),T)第43頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.2終值的遺產(chǎn)函數(shù)或殘值函數(shù)此條件ψ(T)=Bs(s(T),T)表明，共態(tài)變量的終端值必須等于單位狀態(tài)變量對(duì)遺產(chǎn)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)。由于共態(tài)變量是1單位狀態(tài)變量的影子價(jià)格，這一條件就是說，狀態(tài)變量在行為人消費(fèi)和留作遺產(chǎn)之間的最優(yōu)分配是使最終1單位的資源在二者之間配置的效用無差別。將終值不等式約束和遺產(chǎn)函數(shù)兩種情形合并，則最優(yōu)化的拉氏函數(shù)為：

L=t0T[f(s,c,t)+ψg(s,c,t)+sψ?]dt-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)+λ[s(T)-sT]+B[s(T),T]

上述橫截條件變?yōu)椋?/p>

[λ+Bs(s(T),T)-ψ(T)]ds(T)=0

即：

ψ(T)=λ+Bs(s(T),T)第44頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.3可變的時(shí)間期限——自由終結(jié)時(shí)間如果終結(jié)時(shí)間也是最優(yōu)化選擇的一部分，即最優(yōu)化問題為：

J(s,t)=Maxt0Tf(s,c,t)dts.t:?(t)=g(s,c,t)s(t0)=s0，T自由。則相應(yīng)的拉氏函數(shù)為：

L=t0T{f(s,c,t)+ψ[g(s,c,t)-?]}dt=t0T[H+sψ?]dt-ψ(T)s(T)+ψ(t0)s(t0)

此拉氏函數(shù)的微分為：

dL=t0T[(H/c)dc+(H/s+ψ?)ds]dt+(H+sψ?)t=TdT-ψ?(T)s(T)dT-ψ(T)?(T)dT+ψ(t0)ds(t0)=t0T[(H/c)dc+(H/s+ψ?)ds]dt+H(T)dT-ψ(T)ds(T)+ψ(t0)ds(t0)第45頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.3可變的時(shí)間期限——自由終結(jié)時(shí)間由此可得最優(yōu)化條件為：

H/c=0

ψ?=-H/sH(T)=0

若ds(T)0，則ψ(T)=0與前面的優(yōu)化問題相比，這里增加的橫截條件為：

H(T)=[f(s,c,t)-ψg(s,c,t)]t=T=0

因?yàn)闈h密爾頓函數(shù)H表示目標(biāo)函數(shù)值隨著時(shí)間的推移而發(fā)生的變化，所以行為人將會(huì)在漢密爾頓函數(shù)的數(shù)值不再隨時(shí)間而增加的時(shí)刻終止此最優(yōu)化問題。第46頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4其他終結(jié)條件6.4.3可變的時(shí)間期限——自由終結(jié)時(shí)間如果行為人還愿意留有遺產(chǎn)，則拉式函數(shù)中還需有遺產(chǎn)函數(shù)，且該遺產(chǎn)函數(shù)直接是T的函數(shù)，為B(s(T),T)，則上述橫截條件就變?yōu)椋?/p>

H(T)+B/T=0如果對(duì)終結(jié)時(shí)間還有不等式約束，如TT*，即T*T，則需在拉氏函數(shù)中再加上約束項(xiàng)u(T*-T)，從而又有約束條件為：

u0或(T*-T)0，即u(T*-T)=0

由此得橫截條件為：

H(T)+B/T-u=0如果(T*-T)>0，約束是松弛的，則u=0；若(T*-T)=0，約束是緊的，則u>0，即有u=H(T)+B/T>0。第47頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5不可再生資源開采控制問題6.5.0基本假設(shè)與赫特林規(guī)則(1)資源是不可再生的，且是有限的；(2)資源所有者可以一次性地將所有資源全部開采出來賣掉(如將礦山或油田賣掉)，也可以一點(diǎn)一點(diǎn)地逐漸開采出售，還可以握在手中。(3)存在一個(gè)完善的金融市場(chǎng)，市場(chǎng)利率為r；(4)資源所有者開采與否以及如何開采取決于哪種方式可使其利潤(rùn)現(xiàn)值最大化，若資源的未來價(jià)格較高，現(xiàn)可不開采；若現(xiàn)價(jià)高，未來價(jià)低，則現(xiàn)在就開采完。第48頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5不可再生資源開采控制問題6.5.0基本假設(shè)與赫特林規(guī)則赫特林(Hotelling)規(guī)則：資源價(jià)格的上漲率必等于市場(chǎng)利率。若資源價(jià)格的上漲率高于市場(chǎng)利率，則資源所有者將減少現(xiàn)期的開采，減少現(xiàn)期供給，使現(xiàn)價(jià)上漲，從而使未來的供給增加，未來價(jià)格下降，也就使資源價(jià)格的上漲率下降；若資源價(jià)格的上漲率低于市場(chǎng)利率，則資源所有者將加大現(xiàn)期的開采，增加現(xiàn)期供給，使現(xiàn)價(jià)下跌，相應(yīng)地使未來供給減少，未來價(jià)格上漲，從而使資源價(jià)格的上漲率上升。第49頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采6.5.1壟斷開采問題1、問題的數(shù)學(xué)表示假設(shè)只有一個(gè)企業(yè)進(jìn)行壟斷性開采，該企業(yè)追求的是利潤(rùn)的最大化，則有最優(yōu)控制問題：

Maxt0Te-rt[p(q)q-c(q)]dts.t.:?=-q，s(0)=s0，s(T)0；

p'(q)<0,p''(q)0,c'(q)>0,c''(q)0,c'(0)=0

式中q為資源的開采率，即時(shí)刻t的瞬間開采量，s為未開采的資源存量，p(q)是逆需求函數(shù)，c(q)是開采的成本函數(shù)。其中，q為控制變量，s為狀態(tài)變量。第50頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采2、一階條件該最優(yōu)化問題的當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)為：

H=p(q)q-c(q)-ψq

由此可得一階條件為：

Hq=p(q)+qp'(q)-c'(q)-ψ=0ψ??=rψ-Hs=rψ

由必要條件式Hq=0，可得：

ψ=p(q)+qp'(q)-c'(q)

這表明，在最優(yōu)開采路徑上，資源的影子價(jià)格ψ將等于資源開采的邊際收益p(q)+qp'(q)與邊際成本c'(q)之差，即等于資源開采的邊際利潤(rùn)。第51頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采2、一階條件由共態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)方程ψ??=rψ，可得：

ψ??/ψ=r

該式給出了最優(yōu)開采路徑上的赫特林規(guī)則，即資源的影子價(jià)格必須以市場(chǎng)利率的速度上升。將必要條件和赫特林規(guī)則合并則得：資源開采的邊際利潤(rùn)必以市場(chǎng)利率的速度上升。即有：

ψ??/ψ=(p+qp'-c')/(p+qp'-c')=r

也就是有：

ψ??/ψ=(2p'+qp''-c'')q??/(p+qp'-c')第52頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采2、一階條件記[(2p'+qp''-c'')q??/(p+qp'-c')]/(q??/q)=εq，為資源開采的邊際利潤(rùn)的彈性，則就有：

ψ??/ψ=εqq??/q

式中ψ??/ψ=r>0，而q??/q<0。因?yàn)樵谧顑?yōu)開采路徑上，開采量的增長(zhǎng)速度為常數(shù)，而資源越開采越少，最終會(huì)趨于0，所以要使q??/q為常數(shù)，就必須有q??/q<0。這表明：

εq=(2p'+qp''-c'')q/(p+qp'-c')<0

由于(p+qp'-c')為資源開采的邊際利潤(rùn)，為正，所以：

2p'+qp''-c''<0第53頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采2、一階條件將赫特林規(guī)則ψ??/ψ=r代入式ψ??/ψ=εqq??/q，得資源開采量的運(yùn)動(dòng)方程為：

q??/q=(1/εq)r此式表明，如果市場(chǎng)利率為0，則資源開采量的下降速度q??/q就為0，任何時(shí)刻的開采量均相等。第54頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采3、內(nèi)生的開采期限如果資源的開采期限沒有規(guī)定，而是由壟斷開采者自己選擇，則開采終止時(shí)間T也是最優(yōu)化問題的一部分。由終止時(shí)間優(yōu)化的橫截條件可知，在終止時(shí)T=T*，漢密爾頓函數(shù)值為0，即有：

H(T*)=p(q)q-c(q)-ψq=0

于是就有：

ψ(T*)=[p(q)q-c(q)]/q=平均利潤(rùn)這表明，在開采的最優(yōu)終止時(shí)間，資源的影子價(jià)格應(yīng)等于開采的平均利潤(rùn)。第55頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采3、內(nèi)生的開采期限由利潤(rùn)最大化的一階條件可知，資源的影子價(jià)格也等于資源開采的邊際利潤(rùn)，即有：

ψ=p(q)+qp'(q)-c'(q)

所以在資源開采的最優(yōu)終止時(shí)間T*，必有：

p(q)+qp'(q)-c'(q)=[p(q)q-c(q)]/q

該條件背后的邏輯是，如果再多開采1單位資源的邊際利潤(rùn)大于平均利潤(rùn)，則企業(yè)將會(huì)繼續(xù)開采，從而使總利潤(rùn)增加；如果再多開采1單位資源的邊際利潤(rùn)小于平均利潤(rùn)，則企業(yè)再繼續(xù)開采將會(huì)減少總利潤(rùn)，從而企業(yè)就會(huì)停止開采。第56頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采3、內(nèi)生的開采期限顯然，如果開采企業(yè)非壟斷企業(yè)，在市場(chǎng)上沒有定價(jià)權(quán)，即：

p'(q)=0

則資源開采最優(yōu)終止時(shí)間的條件就變?yōu)椋?/p>

c'(q)=c(q)/q

即最優(yōu)終止條件變?yōu)椋哼呺H成本=平均成本第57頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采4、橫截條件在此資源開采問題中，對(duì)資源終值有約束條件為s(T)0，由此可知，相應(yīng)的橫截條件為：

ψ(T)s(T)=0由于共態(tài)變量以利率r的速度遞增，有ψ(T)>0，所以必有：

s(T)=0

這表明，壟斷開采企業(yè)將會(huì)按照邊際利潤(rùn)以利率r速度增長(zhǎng)的時(shí)間路徑把所有的資源都開采完畢。第58頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采5、相位圖狀態(tài)-控制變量微分方程組：

?=-qq??=(r/εq)q狀態(tài)-共態(tài)變量微分方程組：

?=-qψ??=rψ由于赫特林規(guī)則的重要性，選擇在狀態(tài)-共態(tài)變量空間作相位圖。第59頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(1)穩(wěn)定線

ψ??=rψ=0：ψ=0(橫軸)ψ?=-q=0：q=0由一階條件：p*

?=0

Hq=p(q)+qp'(q)-c'(q)-ψ=0

有：ψ(q)=p(q)+qp'(q)-c'(q)

當(dāng)q=0時(shí)，ψ(0)=p(0)-c'(0)，由于c'(0)=0，有：s

ψ(0)=p(0)=p*

由于p=p(q)是資源量q的逆需求曲線，該曲線給出了各種不同的資源量消費(fèi)者愿意并能夠支付的最高價(jià)格，所以p(0)=p*是使資源需求量為0的“窒息價(jià)格”。第60頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(2)相箭頭

對(duì)于ψ??=0，有：

ψ

ψ??/ψ=r>0

在ψ??=0的上方，表示ψp*?=0

運(yùn)動(dòng)方向的箭頭向上。

對(duì)于?=0，有：

?/ψ=-q/ψ

由一階條件：ψ??=0

ψ(q)=p(q)+qp'(q)-c'(q)s

得：ψ/q=2p'+qp"-c"<0(由εq<0得)

所以有：?/ψ=-q/ψ>0

在?=0上方，箭頭向右；在?=0下方，箭頭向左。第61頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(3)相軌線

在穩(wěn)定線?=0的上方，

ψ和s都隨時(shí)間而增加，由于資源s是不可再生的，所以系統(tǒng)不可能進(jìn)入這一區(qū)域。因此，最優(yōu)路徑必須位于穩(wěn)定線?=0下方的區(qū)域，并從垂直線s=s0上的某點(diǎn)處開始。由于在最優(yōu)路徑上，ψ是壟斷企業(yè)開采資源的邊際利潤(rùn)，不可能為負(fù)，所以最優(yōu)路徑的出發(fā)點(diǎn)在垂線s=s0上的0~p*之間。第62頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(3)相軌線沿著最優(yōu)路徑，影子價(jià)格ψ以與市場(chǎng)利率r的速度增長(zhǎng)。軌線的斜率為：ψ/s=ψ??/?=-ψr/q(ψ)<0

且有：

2ψ/s2=-rψ??/qψψ??=-r/qψ>0

所以，最優(yōu)軌線凸向原點(diǎn)。第63頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(3)相軌線為了確定最優(yōu)路徑終點(diǎn)的位置，由橫截條件s(T*)=0可知，最優(yōu)路徑的終點(diǎn)將會(huì)到達(dá)縱軸，且在終結(jié)時(shí)間開采資源的邊際利潤(rùn)等于平均利潤(rùn)。隨著開采量q減少到0，該條件得到滿足。因此，終止時(shí)間將在q=0時(shí)到達(dá)，在q=0時(shí)，有p(T*)=p*。確定了最優(yōu)路徑的終點(diǎn)和形狀以后，用倒推的方式就可確定出最優(yōu)路徑的出發(fā)點(diǎn)，即在0到T*的時(shí)間內(nèi)，ψ以r的增長(zhǎng)率上升，由初值上升到ψ(T*)=p*，而s則由s0減少到0。第64頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.1不可再生資源的壟斷開采(4)比較動(dòng)態(tài)分析概念：比較動(dòng)態(tài)分析就是分析外生變量的變化如何影響均衡解以及最優(yōu)路徑。分析內(nèi)容：①資源存量變化的影響；②窒息價(jià)格(如：替代品出現(xiàn))變化的影響；③利率變化的影響：利率上升，將會(huì)使軌線斜率ψ/s=ψ??/?=-ψr/q(ψ)<0的數(shù)值變大，即軌線更陡，資源的影子價(jià)格的上升速度ψ??/ψ=r更快，資源的開采速度更快，開采期限更短。對(duì)壟斷開采的批評(píng)：壟斷企業(yè)使用的折現(xiàn)率比社會(huì)最優(yōu)折現(xiàn)率高，加速了資源的枯竭。第65頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.2社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采1、資源消費(fèi)的社會(huì)福利函數(shù)記單位資源消費(fèi)的社會(huì)價(jià)值為p，開采的邊際成本為c'，則社會(huì)凈福利函數(shù)為：

W(q)=0q[p(σ)-c'(σ)]dσ2、社會(huì)計(jì)劃者的最優(yōu)化問題

Max0Te-rtW(q)dts.t.:?=-q，s(0)=s0，s(T)0

其中s為狀態(tài)變量，q為控制變量。第66頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.2社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采3、社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)化問題的求解社會(huì)最優(yōu)開采的當(dāng)期值漢密爾頓函數(shù)為：

H=W(q)-ψq一階條件為：

Hq=Wq-ψ=0p(q)-c'(q)-ψ=0ψ??=rψ-Hs

ψ??=rψ將Hq=0對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：ψ??=[p'(q)-c"(q)]q??

令二ψ??相等，得：q??=r(p-c')/(p'-c")

由ψ??=rψ得赫特林規(guī)則的社會(huì)計(jì)劃者版本為：

ψ??/ψ=r=(p-c')/(p-c')

即影子價(jià)格與以社會(huì)凈邊際福利同樣的速度上升。第67頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.2社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采4、橫截條件由于對(duì)資源有非負(fù)性約束s(T)0，所以相應(yīng)的橫截條件為：

ψ(T)s(T)=0

由于ψ=p(q)-c'(q)>0，所以有：

s(T)=0如果終結(jié)時(shí)間是最優(yōu)化問題的一部分，則還有橫截條件為：

H(T)=W[q(T)]-ψ(T)q(T)=0

即有：ψ(T*)=W[q(T*)]/q(T*)

由一階條件ψ=Wq，可將此橫截條件寫為：?jiǎn)挝毁Y源的平均福利W(q)/q=Wq單位資源的邊際福利第68頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.2社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采5、(s,q)相位圖狀態(tài)-控制變量微分方程組

?=-qq??=r(p-c')/(p'-c")穩(wěn)定線

?=0：q=0(橫軸)q??=0:p(qe)=c'(qe)qe=常數(shù)相箭頭

?/q=-1<0q??/q=r[(p'-c")2-(p-c')(p"-c"')]/(p'-c")2=r>0(假設(shè)p"-c"'=0)軌線路徑qqeq??=0

s0s第69頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.2社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采6、(s,ψ)相位圖狀態(tài)-共態(tài)變量微分方程組

?=-qψ??=rψ穩(wěn)定線

?=0：q(ψe)=0ψe=常數(shù)

ψ??=0:ψ=0(橫軸)相箭頭

?/ψ=-q/ψ=-1/(p'-c")>0ψ??/ψ=r>0軌線路徑

ψψe

?=0

s0s第70頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.3小企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)性開采1、小企業(yè)的最優(yōu)化問題若從事資源開采的企業(yè)相對(duì)市場(chǎng)而言很小，其產(chǎn)出對(duì)市場(chǎng)價(jià)格無影響，即開采企業(yè)沒有定價(jià)權(quán)，則開采企業(yè)的最優(yōu)化問題為：

Max0T[pq-c(q)]e-rtdts.t.:?=-q，s(0)=s0，s(T)0

其中仍s為狀態(tài)變量，q為控制變量。第71頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.3小企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)性開采2、小企業(yè)的最優(yōu)化問題的求解漢密爾頓函數(shù)：H=pq-c(q)-ψq一階條件：Hq=p-c'(q)-ψ=0ψ??=rψ-Hs由ψ=p-c'(q)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：

ψ??=?-c"(q)q??

若?=0，則有：q??=r(p-c')/(-c")

且有：ψ??/ψ=r=(p-c')/(p-c')若企業(yè)開采的邊際成本是變動(dòng)的，則不需要市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)，赫特林規(guī)則也可滿足。如果企業(yè)開采的邊際成本不變，則要滿足赫特林規(guī)則，就需要市場(chǎng)價(jià)格以利率r的速度上升。第72頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.3小企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)性開采3、相位圖如果市場(chǎng)價(jià)格變化，則難以畫出相位圖；如果市場(chǎng)價(jià)格不變，則此小企業(yè)將沿著產(chǎn)量遞減的路徑進(jìn)行開采生產(chǎn)，其相位圖與前兩種情形類似。狀態(tài)-共態(tài)變量微分方程組

?=-qψ??=rψ穩(wěn)定線:ψ??=0:ψ=0(橫軸)

?=0：q(ψe)=0ψe=常數(shù)相箭頭：ψ??/ψ=r>0

?/ψ=-q/ψ=-1/(-c")>0軌線路徑

ψψe

?=0

s0s第73頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5.4三種情形的比較1、壟斷開采的赫特林規(guī)則

ψ??/ψ=r=(p+qp'-c')/(p+qp'-c')2、社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)開采的赫特林規(guī)則

ψ??/ψ=r=(p-c')/(p-c')3、小企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)性開采的赫特林規(guī)則

ψ??/ψ=r=(p-c')/(p-c')=-?'/(p-c')第74頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6多個(gè)狀態(tài)和控制變量問題6.6.1、問題假設(shè)存在n個(gè)狀態(tài)變量s1,…,sn和m個(gè)控制變量c1,…,cm，則自由終值最優(yōu)控制問題可表示為：

MaxV=0Tf(s1,…,sn,c1,…,cm,t)dts.t.?1=g1(s1,…,sn,c1,…,cm,t)………………

?n=gn(s1,…,sn,c1,…,cm,t)s1(0)=s10,……,sn(0)=sn0s1(T),……,sn(T)自由.第75頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6多個(gè)狀態(tài)和控制變量問題6.6.1、問題使用向量符號(hào)，記：

s=(s1,…,sn)’，c=(c1,…,cm)’，

?=(?1,…,?)’，g(s,c,t)=(g1,…,gn)’，則上述自由終值最優(yōu)控制問題可表示為：

MaxV=0Tf(s,c,t)dts.t.?=g(s,c,t)s(0)=s0,s(T)自由.第76頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6多個(gè)狀態(tài)和控制變量問題6.6.2、最大值原理多變量最優(yōu)控制問題的漢密爾頓函數(shù)為：

H=f(s,c,t)+ηigi(s,c,t)

或者用共態(tài)向量η=(η1,…,ηn)’，為：

H=f(s,c,t)+η’g(s,c,t)類似于單變量情形，一階條件為：

MaxcH，或者H/c=0（內(nèi)部解）且有：?=H/η’?’=-H/s橫截條件為：[H]t=T=0，如果T是自由的；

ηj(T)=0，如果sjT是自由的。第77頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6.3能源使用與環(huán)境污染控制1、能源使用與污染的關(guān)系用S表示石油資源的存量，假設(shè)石油的消耗用于兩個(gè)方面，一是用于生產(chǎn)和生活，消耗量為E，二是用于反污染，消耗量為A，石油資源的變化方程為：

?=-E-A用Z表示污染的存量，用?表示污染的流量，假設(shè)污染流量以α正比于石油的生產(chǎn)和生活消耗，以β反比于反污染行動(dòng)，且污染以速率δ指數(shù)衰減，則污染的變化方程為：

?=αE-βA-δZ,(α,β>0,0<δ<1)第78頁，課件共108頁，創(chuàng)作于2023年2月6.6.3能源使用與環(huán)境污染控制2、效用函數(shù)與最優(yōu)控制問題假設(shè)物質(zhì)和服務(wù)產(chǎn)品的消費(fèi)具有正效用，污染具有負(fù)效用，且物質(zhì)和服務(wù)產(chǎn)品的數(shù)量C是生產(chǎn)和生活消耗的能源E的函數(shù)C=C(E)，則效用函數(shù)可設(shè)定為：

U=U[C(E),Z];(UC>0,UZ<0,UCC<0,UZZ>0,C’>0,C”<0)要使跨期總效用最大化，則有動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制問題為：

Max0TU[C(E),Z]dts.t.?=-E-A

?=αE-βA-δZZ(0)=Z0>0，Z(T)0自由;S