薄板彎曲問(wèn)題PPT資料

薄板(báobǎn)彎曲問(wèn)題第一頁(yè)，共150頁(yè)。§9-1有關(guān)概念(gàiniàn)及計(jì)算假定定義(dìngyì)薄板是厚度(hòudù)板面尺寸的物體。薄板的上下平行面，稱為板面。薄板的側(cè)面，稱為板邊。平分厚度(hòudù)的面,稱為中面。第二頁(yè)，共150頁(yè)。比較(bǐjiào)薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用(zuòyòng)─薄板的彎曲問(wèn)題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用─平面應(yīng)力(yìnglì)問(wèn)題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用─

梁的彎曲問(wèn)題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用─桿件的拉壓?jiǎn)栴}；第三頁(yè)，共150頁(yè)。 薄板彎曲問(wèn)題屬于空間問(wèn)題。其中，根據(jù)其內(nèi)力及變形的特征，又提出了三個(gè)計(jì)算假定，用以簡(jiǎn)化空間問(wèn)題的基本(jīběn)方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點(diǎn)(tèdiǎn)第四頁(yè)，共150頁(yè)。 當(dāng)薄板(báobǎn)彎曲時(shí)，中面所彎成的曲面，稱為薄板(báobǎn)彈性曲面。小撓度薄板(báobǎn)─這種板雖然薄，但仍有相當(dāng)?shù)目箯潉偠取Ｋ奶卣魇牵憾x(dìngyì)第五頁(yè)，共150頁(yè)。(3)在內(nèi)力中，僅由橫向(hénɡxiànɡ)剪力與橫向(hénɡxiànɡ)荷載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計(jì)。(2)在中面位移中,w是主要(zhǔyào)的，而縱向位移u,v很小，可以不計(jì)；(1)具有一定的剛度(ɡānɡdù)，橫向撓度；第六頁(yè)，共150頁(yè)。1.垂直于中面的線應(yīng)變(yìngbiàn)可以不計(jì)。 取，由，得 故中面法線上各點(diǎn)，都具有(jùyǒu)相同的橫向位移，即撓度w。（直法線假設(shè)）本章研究(yánjiū)小撓度薄板的彎曲問(wèn)題。 根據(jù)其內(nèi)力和變形特征，提出了3個(gè)計(jì)算假定：克?；舴蚣僭O(shè)計(jì)算假定第七頁(yè)，共150頁(yè)。彎應(yīng)力（合成(héchéng)彎矩）及扭應(yīng)力（合成(héchéng)扭矩）橫向切應(yīng)力（合成(héchéng)橫向剪力）擠壓應(yīng)力2.次要(cìyào)應(yīng)力分量遠(yuǎn)小于其他應(yīng)力分量，它們引起的形變可以不計(jì)。薄板中的應(yīng)力，與梁相似，也分為三個(gè)數(shù)量級(jí)：第八頁(yè)，共150頁(yè)。∴為次要(cìyào)應(yīng)力，為更次要(cìyào)應(yīng)力。略去它們引起的形變，即得并在空間(kōngjiān)問(wèn)題的物理方程中，略去引起的形變項(xiàng)。因此，當(dāng)略去后，薄板彎曲問(wèn)題的物理方程為

第九頁(yè)，共150頁(yè)。(1)在薄板彎曲(wānqū)問(wèn)題中，略去了次要應(yīng)力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。說(shuō)明(shuōmíng)：第十頁(yè)，共150頁(yè)。⑵薄板彎曲問(wèn)題的物理方程(b)與平面(píngmiàn)應(yīng)力問(wèn)題的物理方程相同。但沿板厚方向，對(duì)于平面(píngmiàn)應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問(wèn)題的應(yīng)力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。第十一頁(yè)，共150頁(yè)。⑶從計(jì)算假定1、2，得出故中面法線在薄板(báobǎn)彎曲時(shí)保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。第十二頁(yè)，共150頁(yè)。因此，中面在變形(biànxíng)后，其線段和面積在xy面上的投影形狀保持不變。由于(yóuyú)故3.中面的縱向位移(wèiyí)可以不計(jì)，即第十三頁(yè)，共150頁(yè)。實(shí)踐證明，只要是小撓度(náodù)的薄板，薄板的彎曲理論就可以應(yīng)用，并具有足夠的精度。類似于梁的彎曲理論，在薄板彎曲問(wèn)題中提出了上述三個(gè)計(jì)算假定，并應(yīng)用這三個(gè)計(jì)算假定,簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)空間問(wèn)題的基本方程，建立了小撓度薄板彎曲理論。 第十四頁(yè)，共150頁(yè)。1.試考慮在材料力學(xué)梁的彎曲問(wèn)題(wèntí)中，是否也應(yīng)用了這三個(gè)計(jì)算假定？2.在材料力學(xué)的梁彎曲問(wèn)題(wèntí)中，采用了平面截面假設(shè)。在薄板中有否采用此假設(shè)？思考題第十五頁(yè)，共150頁(yè)?！?-2彈性曲面(qūmiàn)的微分方程本節(jié)從空間問(wèn)題的基本方程出發(fā)，應(yīng)用三個(gè)計(jì)算(jìsuàn)假定進(jìn)行簡(jiǎn)化，導(dǎo)出按位移求解薄板彎曲問(wèn)題的基本方程。薄板(báobǎn)問(wèn)題解法第十六頁(yè)，共150頁(yè)。薄板(báobǎn)彎曲問(wèn)題是按位移求解的，主要內(nèi)容是：4.導(dǎo)出板邊的邊界條件。3.導(dǎo)出求解(qiújiě)w的方程。2.將其他未知函數(shù)─縱向位移u,v；主要應(yīng)變分量;主要應(yīng)力分量；次要(cìyào)應(yīng)力分量及最次要(cìyào)應(yīng)力均用w來(lái)表示。1.取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。

第十七頁(yè)，共150頁(yè)。具體推導(dǎo)如下：1.取撓度(náodù)為基本未知函數(shù)。應(yīng)用幾何方程及計(jì)算假定1，

第十八頁(yè)，共150頁(yè)。2.將，用表示。應(yīng)用幾何方程(fāngchéng)及計(jì)算假定2，∴對(duì)積分，

又由計(jì)算假定3，故得： 第十九頁(yè)，共150頁(yè)。3.主要應(yīng)變用表示(biǎoshì)。應(yīng)用其余三個(gè)幾何方程，并代入式(a)得：(b)第二十頁(yè)，共150頁(yè)。4.主要應(yīng)力用表示。應(yīng)用薄板的三個(gè)物理(wùlǐ)方程及式(b)，得：(c)第二十一頁(yè)，共150頁(yè)。求w條件(tiáojiàn)因此，常應(yīng)用這個(gè)解答于上述這類問(wèn)題，作為其解答的一部分。第十五頁(yè)，共150頁(yè)。第四十一頁(yè)，共150頁(yè)。第六十六頁(yè)，共150頁(yè)。將w=f(x)代入彈性曲面微分方程，求出f(x)。第九章教學(xué)參考資料薄板是厚度(hòudù)板面尺寸的物體。發(fā)生在薄板的中心點(diǎn)的撓度為其中是待定的函數(shù)(hánshù)，m為正整數(shù)。內(nèi)力(nèilì)符號(hào)并且在的大邊界（板面）上，三個(gè)應(yīng)力邊界條件也已精確滿足。5、對(duì)于圓形薄板，類似于極坐標(biāo)中的平面問(wèn)題，可以建立相應(yīng)(xiāngyīng)的圓板彎曲問(wèn)題的方程。略去它們引起的形變，即得簡(jiǎn)支邊邊界條件（x邊界o點(diǎn)）說(shuō)明(shuōmíng)：5.次要(cìyào)應(yīng)力用表示。應(yīng)用平衡微分方程的前兩式（其中縱向體力），有代入式(c)，并對(duì)z積分，得：其中(qízhōng)第二十二頁(yè)，共150頁(yè)?！呱舷掳迕媸谴筮吔纾仨毦_滿足(mǎnzú)應(yīng)力邊界條件由此求出及，代入得到(dédào)第二十三頁(yè)，共150頁(yè)。6.更次要應(yīng)力(yìnglì)用表示。應(yīng)用第三個(gè)平衡微分方程，將體力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并對(duì)z積分，得第二十四頁(yè)，共150頁(yè)。由下板面的邊界條件求出，故更次要(cìyào)應(yīng)力為第二十五頁(yè)，共150頁(yè)。7.導(dǎo)出求解w的基本方程(fāngchéng)。由上板面邊界條件（屬于靜力平衡條件）得出在A域中求w的方程(fāngchéng)(f)(g)為薄板(báobǎn)的抗彎剛度求w方程(fāngchéng)第二十六頁(yè)，共150頁(yè)。說(shuō)明：⑴在三個(gè)計(jì)算假定下，縱向位移u,v；主要應(yīng)變(yìngbiàn)；主要應(yīng)力；沿z向均為線性分布，在中面為0；次要應(yīng)力（橫向切應(yīng)力）沿z向?yàn)閽佄锞€分布；均與材料力學(xué)相似。更次要應(yīng)力（擠壓應(yīng)力）沿z為三次曲線分布。第二十七頁(yè)，共150頁(yè)。⑵按位移求解薄板彎曲問(wèn)題(wèntí)，只取w為基本未知函數(shù)。在導(dǎo)出求w的基本方程中應(yīng)用了三個(gè)計(jì)算假定，與材料力學(xué)解梁的彎曲問(wèn)題(wèntí)相似。第二十八頁(yè)，共150頁(yè)。⑶從上述推導(dǎo)(tuīdǎo)過(guò)程可見(jiàn),空間問(wèn)題的6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程和3個(gè)平衡微分方程都已考慮并滿足（其中應(yīng)用了3個(gè)計(jì)算假定）；并且在的大邊界（板面）上，三個(gè)應(yīng)力邊界條件也已精確滿足。⑷只有板邊的邊界條件尚未考慮，它們(tāmen)將作為求解微分方程（f）的邊界條件。第二十九頁(yè)，共150頁(yè)。思考題試比較梁的彎曲問(wèn)題(wèntí)和薄板彎曲問(wèn)題(wèntí)的異同。第三十頁(yè)，共150頁(yè)。§9-3薄板(báobǎn)橫截面上的內(nèi)力⑵在板邊（小邊界(biānjiè)）上，要用內(nèi)力的邊界條件代替應(yīng)力的邊界(biānjiè)條件。⑴薄板(báobǎn)是按內(nèi)力設(shè)計(jì)的；薄板內(nèi)力，是薄板每單位寬度的橫截面上,由應(yīng)力合成的主矢量和主矩。

求薄板內(nèi)力的目的：薄板內(nèi)力第三十一頁(yè)，共150頁(yè)。求內(nèi)力：取出的六面體，x面上，有應(yīng)力，，y面上，有應(yīng)力，，。其中(qízhōng)，，=沿z為直線分布，在中面為0；，沿z為二次分布(fēnbù)，方向∥橫截面。第三十二頁(yè)，共150頁(yè)。x面面積(miànjī)上，應(yīng)力的主矢量和主矩為：x面內(nèi)力(nèilì)─合成主矢量稱為(chēnɡwéi)橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,第三十三頁(yè)，共150頁(yè)。類似(lèisì)地，求出y面面積上的內(nèi)力：y面內(nèi)力(nèilì)彎矩扭矩橫向(hénɡxiànɡ)剪力內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，根據(jù)應(yīng)力符號(hào)確定:正的應(yīng)力方向的主矢量為正;正的應(yīng)力×正的矩臂的力矩方向?yàn)檎?如圖。第三十四頁(yè)，共150頁(yè)。xyz內(nèi)力(nèilì)符號(hào)第三十五頁(yè)，共150頁(yè)。內(nèi)力均為單位(dānwèi)寬度上的主矢量和主矩，∴其量綱均應(yīng)降低一次長(zhǎng)度量綱。薄板內(nèi)力是橫截面上，應(yīng)力向中面合成的主矢量和主矩。(e)(f)中面內(nèi)力(nèilì)平衡條件考慮(kǎolǜ)上圖的中面平衡條件，可得：第三十六頁(yè)，共150頁(yè)。再將用w來(lái)表示，同樣(tóngyàng)地得出撓曲線微分方程將前兩式代入后式，得第三十七頁(yè)，共150頁(yè)?！?－4邊界條件

扭矩的等效(děnɡxiào)剪力薄板(báobǎn)的邊界條件：上下板面（大邊界）已精確(jīngquè)地滿足了3個(gè)應(yīng)力邊界條件。邊界條件第三十八頁(yè)，共150頁(yè)。板邊為小邊界(biānjiè)，∴可以應(yīng)用圣維南原理來(lái)簡(jiǎn)化邊界(biānjiè)條件,將板邊的邊界(biānjiè)條件歸結(jié)為中面的位移邊界(biānjiè)條件或中面的內(nèi)力邊界(biānjiè)條件。板邊（小邊界）的邊界條件尚未考慮,是求解撓曲線(qūxiàn)微分方程的邊界條件。，可看成是中面的撓曲微分(wēifēn)方程,或中面的平衡方程；邊界條件第三十九頁(yè)，共150頁(yè)。薄板板邊的邊界條件分為三類(sānlèi)：1.固定邊─若為廣義固定邊，則其中(qízhōng)為給定的約束位移。若完全固定，則固定(gùdìng)邊(a)第四十頁(yè)，共150頁(yè)。2.簡(jiǎn)支邊─若為廣義簡(jiǎn)支邊，則其中(qízhōng)，分別為給定的約束位移和彎矩。若，則一般的簡(jiǎn)支邊條件為簡(jiǎn)支邊(zhībiān)第四十一頁(yè)，共150頁(yè)。

故第二個(gè)條件可以(kěyǐ)簡(jiǎn)化?！嗪?jiǎn)支邊的條件為因簡(jiǎn)支邊(zhībiān)第四十二頁(yè)，共150頁(yè)。3.自由邊─若為一般的自由邊，則上式邊界條件共有3個(gè)，與四階微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)不相對(duì)應(yīng)。經(jīng)過(guò)約二十年后，基爾霍夫指出，薄板板邊上的扭矩可化為等效的橫向剪力。自由(zìyóu)邊第四十三頁(yè)，共150頁(yè)。第四十四頁(yè)，共150頁(yè)。在EF=dx微分段上，總扭矩，化為E、F上等效的一對(duì)(yīduì)力，分別向下（E）和向上（F）；在FG=dx微分(wēifēn)段上，總扭矩，化為F、G上等效的一對(duì)力，分別向下（F）和向上（G）。圖中，取出板邊AB（y面），扭矩的等效(děnɡxiào)剪力第四十五頁(yè)，共150頁(yè)。在F點(diǎn)，合成(héchéng)集中力,向下。再化為寬度上的分布剪力。故AB邊界總的分布剪力為

第四十六頁(yè)，共150頁(yè)。此外，在A，B兩端，還有兩個(gè)未被抵消(dǐxiāo)的集中剪力用撓度(náodù)表示為∴自由(zìyóu)邊的邊界條件成為同理可導(dǎo)出的自由邊條件。第四十七頁(yè)，共150頁(yè)。自由邊交點(diǎn)(jiāodiǎn)的角點(diǎn)條件─在角點(diǎn)B，集中力為若B點(diǎn)有支承(zhīchénɡ)，阻止撓度的發(fā)生，則有若B點(diǎn)無(wú)支承(zhīchénɡ)，應(yīng)無(wú)集中力，有角點(diǎn)條件第四十八頁(yè)，共150頁(yè)。角點(diǎn)集中力的正負(fù)號(hào)及方向，根據(jù)扭矩確定，見(jiàn)習(xí)題9-2。固定(gùdìng)邊是位移邊界條件，自由邊是內(nèi)力邊界條件，簡(jiǎn)支邊是混合邊界條件。第四十九頁(yè)，共150頁(yè)?！?－5四邊簡(jiǎn)支矩形(jǔxíng)薄板的重三角級(jí)數(shù)解小撓度(náodù)薄板的彎曲問(wèn)題，已經(jīng)歸結(jié)為求解撓度(náodù)w，w應(yīng)滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件。求w條件(tiáojiàn)第五十頁(yè)，共150頁(yè)。對(duì)于(duìyú)四邊簡(jiǎn)支的矩形板，邊界條件為(b)四邊(sìbiān)簡(jiǎn)支第五十一頁(yè)，共150頁(yè)。納維將w表示為重三角級(jí)數(shù)，

其中m，n為正整數(shù)。代入式(b)，邊界條件全部(quánbù)滿足。第五十二頁(yè)，共150頁(yè)。將q(x,y)也展為重三角(sānjiǎo)級(jí)數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比較(bǐjiào)兩邊系數(shù)，得第五十三頁(yè)，共150頁(yè)。 納維解答是用多種正弦波形的疊加來(lái)表示撓度w的。對(duì)于(duìyú)各種形式的荷載q，均可方便地求出解答。它的主要缺點(diǎn)是，只能適用于四邊簡(jiǎn)支的薄板。第五十四頁(yè)，共150頁(yè)。當(dāng)q為集中荷載F，作用于一點(diǎn)時(shí)，可用代替q，并且(bìngqiě)只在處的微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，于是中當(dāng)q為均布荷載時(shí)，代入式(f)，便可求出，并得出(déchū)w解答。第五十五頁(yè)，共150頁(yè)。§9－6矩形(jǔxíng)薄板的單三角級(jí)數(shù)解設(shè)矩形板的兩對(duì)邊為簡(jiǎn)支邊，其余兩邊(liǎngbiān)為任意邊界。兩對(duì)邊簡(jiǎn)支第五十六頁(yè)，共150頁(yè)。其中是待定的函數(shù)(hánshù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡(jiǎn)支邊條件,萊維采用單三角(sānjiǎo)級(jí)數(shù)表示撓度，將式(a)代入撓曲線(qūxiàn)微分方程，得兩對(duì)邊簡(jiǎn)支第五十七頁(yè)，共150頁(yè)。將q/D也展開(kāi)為單三角(sānjiǎo)級(jí)數(shù)，兩對(duì)邊簡(jiǎn)支代入式(b)，比較系數(shù)，得出(déchū)求的常微分方程，第五十八頁(yè)，共150頁(yè)。其中為式(d)的特解；其余四項(xiàng)為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中的系數(shù)(xìshù)由其余兩邊界條件來(lái)確定。式(d)的解為第五十九頁(yè)，共150頁(yè)。書(shū)中列舉了受均布荷載(hèzài)時(shí),四邊簡(jiǎn)支板的解答。矩形薄板應(yīng)用重三角級(jí)數(shù)和單三角級(jí)數(shù)求解，是非常重要的解法。下面我們(wǒmen)進(jìn)一步說(shuō)明幾點(diǎn)。第六十頁(yè)，共150頁(yè)。從求解薄板彎曲問(wèn)題(wèntí)來(lái)看，兩者比較如下：適用性四邊(sìbiān)簡(jiǎn)支兩對(duì)邊簡(jiǎn)支，另兩邊可任意求解(qiújiě)簡(jiǎn)便較困難，須求解系數(shù)

收斂性慢快應(yīng)用局限于四邊簡(jiǎn)支可推廣應(yīng)用到其他各種邊界納維解法萊維解法第六十一頁(yè)，共150頁(yè)。2.應(yīng)用疊加方法，可將萊維提出的單三角級(jí)數(shù)解，用于解決各種(ɡèzhǒnɡ)邊界條件的薄板問(wèn)題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問(wèn)題(wèntí)中得到了廣泛的應(yīng)用，而且可以推廣應(yīng)用于薄板的動(dòng)力、穩(wěn)定問(wèn)題(wèntí),以及能量法中。第六十二頁(yè)，共150頁(yè)。1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載(hèzài)，如何應(yīng)用萊維法求解？2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載(hèzài)，如何應(yīng)用萊維法求解？思考題第六十三頁(yè)，共150頁(yè)。 應(yīng)用差分法求解薄板彎曲問(wèn)題，是比較(bǐjiào)簡(jiǎn)便的。 首先將撓曲線(qūxiàn)微分方程變換為差分方程,插分方程(fāngchéng)

§9－7矩形板的差分解

第六十四頁(yè)，共150頁(yè)。對(duì)點(diǎn)，即第六十五頁(yè)，共150頁(yè)。固定邊和簡(jiǎn)支邊(zhībiān)附近的w值，如下圖所示。若AB為簡(jiǎn)支邊(zhībiān)，對(duì)于o點(diǎn)，若AB為固定(gùdìng)邊，則對(duì)于o點(diǎn)，第六十六頁(yè)，共150頁(yè)。(a)固定(gùdìng)邊(b)簡(jiǎn)支邊(zhībiān)9-11第六十七頁(yè)，共150頁(yè)。對(duì)于自由邊的情形，邊界點(diǎn)是未知數(shù)，須列式(a)的差分方程，其中涉及邊界外一、二行虛結(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)的w值，用自由邊的邊界條件來(lái)表示，所以求解時(shí)比較麻煩。對(duì)于(duìyú)具有支承邊（簡(jiǎn)支邊，固定邊）的矩形板，每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)的w值為未知數(shù)，對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)應(yīng)列式(a)的方程。其中涉及邊界點(diǎn)和邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的w值，如式(b)或(c)所示。第六十八頁(yè)，共150頁(yè)。例1四邊簡(jiǎn)支的正方形薄板，，受到均布荷載的作用，試取的網(wǎng)格，如圖，用差分法求解(qiújiě)薄板中心點(diǎn)的撓度和應(yīng)力（?。?。21210121209-12第六十九頁(yè)，共150頁(yè)。網(wǎng)格(wǎnɡɡé)精確(jīngquè)解答案(dáàn):第七十頁(yè)，共150頁(yè)。例2同上題，但四個(gè)邊界(biānjiè)均為固定邊。網(wǎng)格(wǎnɡɡé)精確(jīngquè)解答案:第七十一頁(yè)，共150頁(yè)?？傊瑢?duì)于具有支承邊的矩形板，采用差分法求解是十分簡(jiǎn)便有效的，取較少的網(wǎng)格便可求得精度較好的撓度值w。而由w求內(nèi)力時(shí)，∵對(duì)近似解w求導(dǎo)數(shù)后會(huì)降低精度，所以須適當(dāng)(shìdàng)地加密網(wǎng)格。第七十二頁(yè)，共150頁(yè)。對(duì)于的正方形薄板，受均布荷載作用，試取的網(wǎng)格，分別求解下列邊界問(wèn)題的中心點(diǎn)撓度，并進(jìn)行比較(bǐjiào)：（1）四邊簡(jiǎn)支；（2）三邊簡(jiǎn)支，一邊固定；思考題第七十三頁(yè)，共150頁(yè)。（3）兩對(duì)邊簡(jiǎn)支，另兩對(duì)邊固定(gùdìng)；（4）兩鄰邊簡(jiǎn)支，另兩鄰邊固定(gùdìng)；（5）一邊簡(jiǎn)支，三邊固定(gùdìng)；（6）四邊固定(gùdìng)。第七十四頁(yè)，共150頁(yè)?！?－8圓形薄板(báobǎn)的彎曲 圓板彎曲問(wèn)題(wèntí)的方程和公式，都可以從直角坐標(biāo)系的方程和公式導(dǎo)出。第七十五頁(yè)，共150頁(yè)。1.撓曲(náoqǔ)微分方程仍為其中(qízhōng)圓板方程(fāngchéng)第七十六頁(yè)，共150頁(yè)。將對(duì)x，y的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)變換為對(duì)的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)，并代入，得2.內(nèi)力公式(gōngshì)─類似地可利用公式(gōngshì)，例如(lìrú)，內(nèi)力公式第七十七頁(yè)，共150頁(yè)。同樣(tóngyàng)，得出第七十八頁(yè)，共150頁(yè)。類似(lèisì)地，橫截面上的總剪力為第七十九頁(yè)，共150頁(yè)。3.邊界條件可以(kěyǐ)表示為⑵設(shè)為簡(jiǎn)支邊(zhībiān)，則⑴設(shè)為固定(gùdìng)邊，則邊界條件第八十頁(yè)，共150頁(yè)。前一條件使w對(duì)的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)在邊界上均為0，故簡(jiǎn)支邊條件為第八十一頁(yè)，共150頁(yè)。⑶設(shè)為自由(zìyóu)邊，則第八十二頁(yè)，共150頁(yè)。若圓板的荷載q和邊界條件均為軸對(duì)稱，則薄板的撓度(náodù)和內(nèi)力必然也為軸對(duì)稱?！嘤小?－9圓形薄板(báobǎn)的軸對(duì)稱彎曲撓曲(náoqǔ)微分方程為軸對(duì)稱彎矩第八十三頁(yè)，共150頁(yè)。式(a)的全解為對(duì)于無(wú)孔板，則除2個(gè)外邊界條件外，還應(yīng)考慮撓度和內(nèi)力在的有限(yǒuxiàn)值條件，∴得。對(duì)于(duìyú)有孔板，由內(nèi)外邊界共4個(gè)邊界條件來(lái)確定。通解(tōngjiě)的系數(shù)由邊界條件來(lái)確定：其中特解為邊界條件第八十四頁(yè)，共150頁(yè)。 上述的軸對(duì)稱解答(jiědá)(b)，是軸對(duì)稱彎曲的一般解，可以應(yīng)用于一切軸對(duì)稱彎曲問(wèn)題。讀者可參考教科書(shū)的解答(jiědá)和有關(guān)力學(xué)手冊(cè)。第八十五頁(yè)，共150頁(yè)。第九章例題(lìtí)例題(lìtí)1例題(lìtí)2例題3例題4例題5例題第八十六頁(yè)，共150頁(yè)。固定邊橢圓板的邊界(biānjiè)方程為

Oabyx受均布荷載作用，如圖，試求其撓度(náodù)和內(nèi)力。例題(lìtí)1第八十七頁(yè)，共150頁(yè)。由，顯然(xiǎnrán)。因此，從方向解：固定(gùdìng)邊的邊界條件是(a)(b)導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)的公式可推出，為了滿足邊界條件(a)，可以令第八十八頁(yè)，共150頁(yè)。便可滿足(mǎnzú)式(a)的邊界條件。對(duì)于均布荷載，將式(c)代入方程得出，并從而得因此(yīncǐ)，只需取(c)第八十九頁(yè)，共150頁(yè)。內(nèi)力(nèilì)為讀者可以(kěyǐ)檢驗(yàn)，最大和最小彎矩為第九十頁(yè)，共150頁(yè)。當(dāng)時(shí)，便由上述解得出圓板的解答，若令則橢圓板成為(chéngwéi)跨度為的平面應(yīng)變問(wèn)題的固端梁。第九十一頁(yè)，共150頁(yè)。四邊簡(jiǎn)支矩形板，如圖，受有分布荷載(hèzài)的作用，試用重三角級(jí)數(shù)求解其撓度。例題(lìtí)2第九十二頁(yè)，共150頁(yè)。解：將代入積分(jīfēn)式，由三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)的正交性，及第九十三頁(yè)，共150頁(yè)。得代入，得撓度(náodù)的表達(dá)式為第九十四頁(yè)，共150頁(yè)。四邊簡(jiǎn)支矩形板，如圖，在的直線上，受有線分布荷載F的作用，F(xiàn)為單位長(zhǎng)度上的作用力。試用重三角級(jí)數(shù)(jíshù)求解其撓度。yxabOFa例題(lìtí)3第九十五頁(yè)，共150頁(yè)。解：板中的荷載只作用在的線上，對(duì)荷載的積分項(xiàng)只有(zhǐyǒu)在此線上才存在，其余區(qū)域上的積分全為0，在的線上，荷載強(qiáng)度可表示為代入系數(shù)(xìshù)的公式，第九十六頁(yè)，共150頁(yè)。(n=1,3,5…)第九十七頁(yè)，共150頁(yè)。得出(déchū)撓度為第九十八頁(yè)，共150頁(yè)。四邊簡(jiǎn)支矩形板，受靜水壓力作用，，如圖，試用(shìyòng)單三角級(jí)數(shù)求解其撓度。xyaO例題(lìtí)4第九十九頁(yè)，共150頁(yè)。解：應(yīng)用萊維法的單三角級(jí)數(shù)求解(qiújiě)，將代入書(shū)中§9－6式(d)右邊的自由項(xiàng)，即代入式(d)，方程的特解可取為第一百頁(yè)，共150頁(yè)。從而得到和撓度的表達(dá)式。在本題中，由于結(jié)構(gòu)及荷載對(duì)稱(duìchèn)于軸，應(yīng)為的偶函數(shù)，由此，。于是的表達(dá)式為第一百零一頁(yè)，共150頁(yè)。在的邊界(biānjiè)，有簡(jiǎn)支邊條件

將撓度(náodù)代入邊界條件，記，得第一百零二頁(yè)，共150頁(yè)。解出從而(cóngér)得撓度解答第一百零三頁(yè)，共150頁(yè)。發(fā)生在薄板的中心點(diǎn)的撓度為與板上作用有均布荷載的解答(jiědá)相比，本題的中心點(diǎn)撓度為均布荷載下中心點(diǎn)撓度的1/2。又由的條件，求出最大撓度為第一百零四頁(yè)，共150頁(yè)。例題5設(shè)有內(nèi)半徑為r而外半徑為R的圓環(huán)形薄板，其內(nèi)邊界簡(jiǎn)支，外邊界為自由，并受到均布力矩荷載M的作用，如圖，試求其撓度(náodù)和內(nèi)力。MMOzrRRr第一百零五頁(yè)，共150頁(yè)。解：本題屬于圓板的軸對(duì)稱問(wèn)題，可引用§9－9中軸對(duì)稱圓板的一般解。由于板上無(wú)橫向(hénɡxiànɡ)荷載，特解，于是撓度為代入內(nèi)力(nèilì)公式，得第一百零六頁(yè)，共150頁(yè)。內(nèi)外(nèiwài)邊界的四個(gè)邊界條件為第一百零七頁(yè)，共150頁(yè)。將撓度(náodù)及內(nèi)力代入邊界條件，求出，最后得解答如下：第一百零八頁(yè)，共150頁(yè)。第九章習(xí)題提示(tíshì)和答案9－1撓度w應(yīng)滿足彈性曲面(qūmiàn)的微分方程，x=0的簡(jiǎn)支邊條件，以及橢圓邊界上的固定邊條件，。校核橢圓邊界的固定邊條件時(shí)，可參見(jiàn)例題4。 求撓度及彎矩等的最大值時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的極值點(diǎn)（其導(dǎo)數(shù)為0）和邊界點(diǎn)，從中找出其最大值。第一百零九頁(yè)，共150頁(yè)。9－2在重三角級(jí)數(shù)(jíshù)中只取一項(xiàng)就可以滿足的彈性曲面微分方程，并可以求出系數(shù)m。而四個(gè)簡(jiǎn)支邊的條件已經(jīng)滿足。關(guān)于角點(diǎn)反力的方向、符號(hào)的規(guī)定，可參見(jiàn)§9－4中的圖9－5。第一百一十頁(yè)，共150頁(yè)。9－3本題中無(wú)橫向荷載，q=0，只有(zhǐyǒu)在角點(diǎn)B有集中力F的作用。注意w=mxy應(yīng)滿足：彈性曲面的微分方程，x=0和y=0的簡(jiǎn)支邊條件,x=a和y=b的自由邊條件，以及角點(diǎn)的條件（見(jiàn)圖9－5中關(guān)于角點(diǎn)反力的符號(hào)規(guī)定）。

第一百一十一頁(yè)，共150頁(yè)。在應(yīng)用萊維解法求解各種邊界條件的矩形(jǔxíng)板時(shí)，這個(gè)解答可以用來(lái)處理有兩個(gè)自由邊相交的問(wèn)題，以滿足角點(diǎn)的條件。因此，常應(yīng)用這個(gè)解答于上述這類問(wèn)題，作為其解答的一部分。讀者可參考§9－6中圖9-9的例題。第一百一十二頁(yè)，共150頁(yè)。9-4本題中也無(wú)橫向荷載，q=0，但在邊界(biānjiè)上均有彎矩作用。x=0,a是廣義的簡(jiǎn)支邊，其邊界(biānjiè)條件是

而y=0,b為廣義(guǎngyì)的自由邊，其邊界條件是第一百一十三頁(yè)，共150頁(yè)。將w=f(x)代入彈性曲面微分方程，求出f(x)。再校核上述邊界條件并求出其中(qízhōng)的待定系數(shù)。第一百一十四頁(yè)，共150頁(yè)。9-5參見(jiàn)(cānjiàn)§9－7及例題1，2。第一百一十五頁(yè)，共150頁(yè)。只有在的區(qū)域有均布荷載作用，應(yīng)進(jìn)行積分(jīfēn)；而其余區(qū)域，積分(jīfēn)必然為零。9-6應(yīng)用納維解法，取w為重三角級(jí)數(shù)，可以滿足四邊簡(jiǎn)支的條件。在求重三角級(jí)數(shù)的系數(shù)中，其中(qízhōng)對(duì)荷載的積分第一百一十六頁(yè)，共150頁(yè)。9-7對(duì)于無(wú)孔圓板，由的撓度和內(nèi)力的有限(yǒuxiàn)值條件，得出書(shū)中§9－9式(d)的解中，，然后再校核簡(jiǎn)支邊的條件，求出。求最大值時(shí)，應(yīng)考慮從函數(shù)的極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)中選取最大的值。第一百一十七頁(yè)，共150頁(yè)。9-8本題也是無(wú)孔圓板，由有限值條件，取。相應(yīng)于荷載(hèzài)的特解，可根據(jù)書(shū)中§9－9的式(c)求出。然后再校核的固定邊的條件。求最大值時(shí)，應(yīng)從函數(shù)的極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)的函數(shù)值中選取。第一百一十八頁(yè)，共150頁(yè)。9-9由，代入及的公式，兩邊相比(xiānɡbǐ)便可得出等用等表示的表達(dá)式。由，將w對(duì)x,y的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)的導(dǎo)數(shù)。然后再與式(a)相比(xiānɡbǐ)，便可得出等用撓度表示的公式。第一百一十九頁(yè)，共150頁(yè)。9-10參見(jiàn)上題，可以(kěyǐ)用類似的方法出。第一百二十頁(yè)，共150頁(yè)。（一）本章學(xué)習(xí)(xuéxí)重點(diǎn)及要求1、桿件受到縱向（平行于桿軸）荷載(hèzài)的作用，這是桿件的拉壓?jiǎn)栴}；桿件受到橫向（垂直于桿軸）荷載(hèzài)的作用，這是梁的彎曲問(wèn)題。與此相似，薄板受到縱向（平行于板面）荷載的作用，這是平面應(yīng)力問(wèn)題；薄板受到橫向（垂直于板面）荷載的作用，這就是(jiùshì)薄板的彎曲問(wèn)題。薄板的彎曲，可以認(rèn)為是梁的彎曲的推廣，是雙向的彎曲問(wèn)題。第九章教學(xué)參考資料

第一百二十一頁(yè)，共150頁(yè)。但讀者不可簡(jiǎn)單地將板的彎曲(wānqū)看成是縱、橫梁彎曲(wānqū)的迭加。否則，這會(huì)重復(fù)板的彎曲(wānqū)理論發(fā)展史中的錯(cuò)誤。2、與平面問(wèn)題和空間問(wèn)題不同的是，除了前述的彈性力學(xué)的五個(gè)基本假定之外，在薄板彎曲問(wèn)題中，根據(jù)其內(nèi)力和變形的特征，又提出了三個(gè)計(jì)算假定，用以簡(jiǎn)化空間問(wèn)題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。這點(diǎn)與材料力學(xué)的解法相似。因此，常將薄板和殼體的理論歸入高等材料力學(xué)。但由于其應(yīng)用的數(shù)學(xué)(shùxué)工具較為復(fù)雜，所以這些內(nèi)容又稱為實(shí)用彈性力學(xué)。第一百二十二頁(yè)，共150頁(yè)。3、薄板彎曲問(wèn)題屬于空間問(wèn)題。薄板彎曲理論，是從空間問(wèn)題的基本方程和條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的三個(gè)計(jì)算假定進(jìn)行簡(jiǎn)化，并按位移法導(dǎo)出薄板彎曲問(wèn)題的基本方程和邊界條件的。最后歸結(jié)(guījié)的基本未知函數(shù)（撓度w）和相應(yīng)的方程、邊界條件都只含（x,y）兩個(gè)自變量，因此，薄板彎曲問(wèn)題也屬于二維問(wèn)題。第一百二十三頁(yè)，共150頁(yè)。5、對(duì)于圓形薄板，類似于極坐標(biāo)中的平面問(wèn)題，可以建立相應(yīng)(xiāngyīng)的圓板彎曲問(wèn)題的方程。對(duì)于軸對(duì)稱圓板的彎曲問(wèn)題，其中只包含一個(gè)自變量，其方程為常微分方程，它的通解已經(jīng)求出。4、對(duì)于矩形薄板(báobǎn)，基本的解法是納維法和萊維法。第一百二十四頁(yè)，共150頁(yè)。（二）本章(běnzhānɡ)內(nèi)容提要1.薄板小撓度彎曲問(wèn)題的基本方程和邊界條件，是從空間(kōngjiān)問(wèn)題的基本方程和邊界條件出發(fā)，引用三個(gè)計(jì)算假定進(jìn)行簡(jiǎn)化，并由按位移求解的方法導(dǎo)出的。第一百二十五頁(yè)，共150頁(yè)。2.在薄板彎曲問(wèn)題(wèntí)中，取撓度為基本未知函數(shù)，它應(yīng)滿足：區(qū)域內(nèi)的彈性(tánxìng)曲面微分方程固定邊邊界條件或簡(jiǎn)支邊邊界條件或自由邊邊界條件第一百二十六頁(yè)，共150頁(yè)。薄板橫截面上的內(nèi)力(nèilì)公式為：彎矩扭矩剪力第一百二十七頁(yè)，共150頁(yè)。3.四邊(sìbiān)簡(jiǎn)支矩形板的重三角級(jí)數(shù)解（納維解法）第一百二十八頁(yè)，共150頁(yè)。4.兩對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形(jǔxíng)板的單三角級(jí)數(shù)解（萊維解法）其中為特解，并由其余兩邊界的條件(tiáojiàn)求出系數(shù)第一百二十九頁(yè)，共150頁(yè)。5.薄板(báobǎn)彎曲問(wèn)題的差分法是:o點(diǎn)的差分公式為：固定邊邊界條件（x邊界o點(diǎn)）簡(jiǎn)支邊邊界條件（x邊界o點(diǎn)）第一百三十頁(yè)，共150頁(yè)。6.圓形薄板彎曲問(wèn)題(wèntí)的基本方程是：其中固定(gùdìng)邊邊界條件簡(jiǎn)支邊邊界條件自由邊邊界條件第一百三十一頁(yè)，共150頁(yè)。7.圓板軸對(duì)稱彎曲(wānqū)的一般解是其中(qízhōng)由邊界條件確定。第一百三十二頁(yè)，共150頁(yè)。（三）板的分類(fēnlèi)不同厚度的板具有不同的內(nèi)力和變形特征。按板的厚度，可以分為：1.厚板—其板厚與板面尺寸之比，約為即三個(gè)方向的幾何尺寸接近(jiējìn)于同階大小。因此，空間問(wèn)題的各物理量也為同階大小，均應(yīng)考慮而不宜忽略。第一百三十三頁(yè)，共150頁(yè)。2、薄板(báobǎn)—大約為又按抗彎剛度的大小分為：小撓度薄板—這種板雖然薄，但仍有相當(dāng)?shù)目箯潉偠?。它的特征是，?）由于具有一定的剛度，其橫向撓度即符合小變形假定；（2）在中面位移中，w是主要的，而縱向位移u,v很小，可以不計(jì)；（3）在內(nèi)力(nèilì)中，僅由橫向剪力與橫向荷載q成平衡，縱向軸力（平行于中面的內(nèi)力(nèilì)）N的作用可以不計(jì)。第一百三十四頁(yè)，共150頁(yè)。大撓度薄板(báobǎn)—其抗彎剛度較小，因此，（1）撓度w與板厚為同階大?。唬?）在中面位移中，u,v不能忽略；（3）縱向軸力N也應(yīng)考慮入橫向的平衡條件之中。3、薄膜—大約為其抗彎剛度(ɡānɡdù)極小，相應(yīng)的彎曲內(nèi)力主要由縱向軸力N與橫向荷載q成平衡。第一百三十五頁(yè)，共150頁(yè)。（四）薄板(báobǎn)彎曲問(wèn)題的變分法下面我們來(lái)介紹一下薄板彎曲問(wèn)題的變分法。這也是解決實(shí)際問(wèn)題的很有效的方法(fāngfǎ)。在薄板彎曲問(wèn)題中，由于不計(jì)形變分量因此形變勢(shì)能為(a)將形變分量(fènliàng)