機(jī)器人學(xué)第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)演示文稿

機(jī)器人學(xué)第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)演示文稿1目前一頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述圓柱坐標(biāo)(cylindrical):兩個(gè)線性平移運(yùn)動(dòng)和一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)球坐標(biāo)(spherical):一個(gè)線性平移運(yùn)動(dòng)和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2目前二頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

1、位置的描述可以引入比例因子：比例因子可為任意值，相當(dāng)于縮放，當(dāng)為零時(shí)，表示為一個(gè)長(zhǎng)度為無(wú)窮大的向量，表示方向向量，由該向量的三個(gè)分量來(lái)表示，此時(shí)需將該向量歸一化，使長(zhǎng)度為1。其中：3目前三頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

2、方位的描述為了規(guī)定空間某剛體B的方位，另設(shè)一直角坐標(biāo)系{B}與此剛體固接。用坐標(biāo)系{B}的三個(gè)單位主矢量，，相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成的3*3階矩陣來(lái)表示剛體B相對(duì)于{A}的方位：

4目前四頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

2、坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系中的表示

由表示方向的單位向量以及第四個(gè)位置向量來(lái)表示n軸與x軸平行，o軸相對(duì)于y軸45°a軸相對(duì)于z軸45°F坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系3,5,7位置例5目前五頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

:表示坐標(biāo)系{B}主軸方向的單位矢量.:相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的描述.將這些單位矢量組成一個(gè)3×3的矩陣，按照的順序.旋轉(zhuǎn)矩陣:

標(biāo)量可用每個(gè)矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上的投影的分量來(lái)表示。

6目前六頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述3、旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，上標(biāo)A代表參考系{A}，下標(biāo)B代表被描述的坐標(biāo)系{B}。重要！7目前七頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Frame{A}andframe{B}{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZbydegrees第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述8目前八頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

可用每個(gè)矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上的投影的分量來(lái)表示:的各個(gè)分量可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積來(lái)表示

為了簡(jiǎn)單，上式的前置上標(biāo)被省略。由兩個(gè)單位矢量的點(diǎn)積可得到二者之間的余弦，因此可以理解為什么旋轉(zhuǎn)矩陣的各分量常被稱作為方向余弦。componentsofrotationmatricesareoftenreferredtoasdirectioncosinesPA?PB=|PA|?|PB|?cos?

9目前九頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述

進(jìn)一步觀察，可以看出矩陣的行是單位矢量{A}在{B}中的描述.

因?yàn)闉樽鴺?biāo)系{A}相對(duì)于{B}的描述

由轉(zhuǎn)置得到這表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置

10目前十頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

4、旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)1）矩陣有9個(gè)元素，其中只有3個(gè)是獨(dú)立的。因?yàn)槿齻€(gè)列矢量都是單位主矢量，且兩兩相互垂直，所以它的9個(gè)元素滿足6個(gè)約束條件（正交條件）：

2）把矢量在{B}中的坐標(biāo)表達(dá)式變?yōu)樵趝A}中的坐標(biāo)表達(dá)式的變換矩陣：第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—位置和姿態(tài)的描述3）是正交矩陣，即有：11目前十一頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2空間描述和坐標(biāo)變換—坐標(biāo)系的描述

用和來(lái)描述坐標(biāo)系

12目前十二頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換

1、平移坐標(biāo)系的映射設(shè)坐標(biāo)系{B}與{A}具有相同的方位，但是{B}的坐標(biāo)原點(diǎn)與{A}不重合，用位置矢量描述它相對(duì)于{A}的位置，稱為{B}相對(duì)于{A}的平移矢量。如果點(diǎn)P在坐標(biāo)系{B}中的位置為，則它相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的位置矢量可由矢量相加得出：13目前十三頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換2、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射設(shè)坐標(biāo)系{B}和{A}有共同的原點(diǎn)，但是兩者的方位不同。同一點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系{A}和{B}中的描述和具有以下變換關(guān)系，稱為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)方程。用旋轉(zhuǎn)矩陣表示坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的方位。同樣，用描述坐標(biāo)系{A}相對(duì)于{B}的方位。二者都是正交矩陣，兩者互逆。14目前十四頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)Example:Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZby30degrees.HereZispointingoutofthepage.Writingtheunitvectorsof{B}intermsof{A}andstackingthemasthecolumnsoftherotationmatrix:

TheoriginalvectorPisnotchanged,wecomputeanewdescriptionrelativetoanotherframe.第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換15目前十五頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)與{A}的既不重合，方位也不相同。復(fù)合變換是由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移共同作用的。16目前十六頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換齊次變換復(fù)合變換式對(duì)于點(diǎn)而言是非齊次的，但是可以將其表示成等價(jià)的齊次變換形式：其中，4×1的列向量表示三維空間的點(diǎn)，稱為點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，仍然記為或。上式可以寫(xiě)成矩陣形式：齊次變換矩陣也代表坐標(biāo)平移與坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的復(fù)合,可將其分解成兩個(gè)矩陣相乘的形式：17目前十七頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)平移變換連續(xù)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，可把基本矩陣連乘起來(lái)，由于選轉(zhuǎn)矩陣不可交換，故完成轉(zhuǎn)動(dòng)的次序是重要的。如果{B}坐標(biāo)系相對(duì)于{A}坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣左乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣，如果{B}坐標(biāo)系相對(duì)于{B}坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣右乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。例：假設(shè){B}相對(duì){A}的軸依次進(jìn)行了下面三個(gè)變換：1）繞x軸旋轉(zhuǎn)度；2）接著平移；3）最后繞y軸旋轉(zhuǎn)度。18目前十八頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Example:Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZby30degrees,translated10unitsin,andtranslated5unitin.Find,where.Thedefinitionofframe{B}is

Weusethedefinitionof{B}justgivenatransformation:第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.3映射—坐標(biāo)變換19目前十九頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換

用于坐標(biāo)系間點(diǎn)的映射的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式被稱為算子包括點(diǎn)的平移算子、矢量旋轉(zhuǎn)算子和平移加旋轉(zhuǎn)算子。1)平移算子（Translationaloperators）Atranslationmovesapointinspaceafinitedistancealongagivenvectordirection.Onlyonecoordinatesystemneedbeinvolved.Itturnsoutthattranslatingthepointinspaceisaccomplishedwiththesamemathematicsasmappingthepointtoasecondframe.Thedistinctionis:whenavectorismoved“forward”relativetoaframe,wemayconsidereitherthatthevectormovedforwardorthattheframemovedbackword.Themathematicsinvolvedinthetwocasesisidentical,onlyourviewofthesituationisdifferent.20目前二十頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換運(yùn)算的結(jié)果得到一個(gè)新的矢量，計(jì)算如下：用矩陣算子寫(xiě)出平移變換whereqisthesignedmagnitudeofthetranslationalongthevectordirection.21目前二十一頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換算子可以被看成是一種特殊形式的齊次變換:式中是平移矢量Q的分量通過(guò)定義{B}相對(duì)于{A}的位置，(用),我們使得這兩個(gè)描述具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式?，F(xiàn)在引入了，我們可以用它來(lái)描述坐標(biāo)系和映射。22目前二十二頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

2)旋轉(zhuǎn)算子（Rotationaloperators）Anotherinterpretationofarotationmatrixisasarotationaloperatorthatoperatesonavectorandchangesthatvectortoanewvector,,bymeansofarotation,R.Whenarotationmatrixisshownasanoperator,nosub-orsuperscriptsappear,becauseitisnotviewedasrelatingtwoframe.Wemaywrite:Again,themathematicsisthesame,onlyourinterpretationisdifferent.Howtoobtainrotationalmatricesthataretobeusedasoperators:Therotationmatrixthatrotatesvectorsthroughsomerotation,R,isthesameastherotationmatrixthatdescribesaframerotatedbyRrelativetotherefrenceframe.

第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換23目前二十三頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)Althougharotationmatrixiseasilyviewedasanoperator,wecanalsodefineanothernotationforarotationaloperatorthatclearlyindicateswhichaxisisbeingrotatedabout:isarotationaloperatorthatperformsarotationabouttheaxisdirectionbydegrees.Forexample:第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換24目前二十四頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換

Example:Figureshowsavector.WewishtocomputethevectorobtainedbyrotatingthisvectoraboutZby30degrees.Callthenewvector.Therotationmatrixthatrotatesvectorsby30degreesaboutZisthesameastherotationmatrixthatdescribesaframerotated30degreesaboutZrelativetothereferenceframe.Thus,thecorrectrotationaloperatoris

25目前二十五頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換

3)變換算子（Transformationoperators）Aswithvectorsandrotationmatrices,aframehasanotherinterpretationasatransformationoperator.Intheinterpretation,onlyonecoordinatesystemisinvolved,andsothesymbolTisusedwithoutsub-orsuperscripts.Howtoobtainhomogeneoustransformthataretobeusedasoperators:ThetransformthatrotatesbyRandtranslatedbyQisthesameasthetransformthatdescribesaframerotatedbyRandtranslatedbyQrelativetotherefrenceframe.

26目前二十六頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Example:Figureshowsvector.WewishtorotateitaboutZby30degreesandtranslateit10unitsinand5unitsin.Find,where.TheoperatorT,whichperformsthetranslationandrotation:

第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.4算子:平移、旋轉(zhuǎn)和變換27目前二十七頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.5總結(jié)和說(shuō)明

Summaryofinterpretations(1)齊次變換陣是坐標(biāo)系的描述.describestheframe{B}relativetotheframe{A}.（descriptionofaframe）(2)齊次變換陣是變換映射.maps.（）(3)齊次變換陣是變換算子.Toperatesontocreate.Fromthispointon,thetermsframeandtransformwillbothbeusedtorefertoapositionvectorplusanorientation.Frameisthetermfavoredinspeakingofadescription,Transformisusedmostfrequentlywhenfunctionasamappingoroperatorisimplied.Notethattransformationaregeneralizationsof(andsubsume)translationsandrotations;wewilloftenusethetermtransformwhenspeakingofapurerotation(ortranslation).28目前二十八頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.6變換算法齊次變換的計(jì)算1）相乘：對(duì)于給定的坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}：

2）求逆：如果知道坐標(biāo)系{B}相對(duì){A}的描述，希望得到{A}相對(duì){B}的描述：

29目前二十九頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Example:Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutby30degreesandtranslatedfourunitsinandthreeunitsin.Thus,wehaveadescriptionof.Find.Theframedefining{B}is:

第二章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.6變換算法30目前三十頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.7變換方程

Figureindicatesasituationinwhichaframe{D}canbeexpressedasproductsoftransformationsintwodifferentways:Wecansetthesetwodescriptionsofequaltoconstructatransformequation:Transformequationscanbeusedtosolvefortransformsinthecaseofnunknowntransformsandntransformequations.31目前三十一頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Considerinthecasethatalltransformsareknownexcept.Here,wehaveonetransformequationandoneunknowntransform,hence,weeasilyfinditssolution:

注意：在所有的途中，我們都采用了坐標(biāo)系的圖形表示法，即用一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)的箭頭來(lái)表示。將箭頭串聯(lián)起來(lái)，通過(guò)簡(jiǎn)單的變換方程就可得到混合坐標(biāo)系。箭頭的方向指明了坐標(biāo)系定義的方式。如果有一個(gè)箭頭的方向與串聯(lián)的方向相反，就先求出它的逆。CHAPTER2:Spatialdescription

§2.7變換方程32目前三十二頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Example:假定已知操作臂末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系,它是相對(duì)于操作臂基座的坐標(biāo)系{B}定義的，又已知工作臺(tái)相對(duì)于操作臂基座的空間位置,并且已知工作臺(tái)上螺栓的坐標(biāo)系相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系的位置計(jì)算螺栓相對(duì)于操作手的位姿：

CHAPTER2:Spatialdescription

§2.7變換方程33目前三十三頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法

Problem:能否用少于九個(gè)數(shù)字來(lái)表示一個(gè)姿態(tài)?Aresultfromlinearalgebra(knownasCayley’sformula):foranyproperorthonormalmatrixR,thereexistsaskew-symmetricmatrix(S=-ST)Ssuchthat:askew-symmetricmatrixofdimension3isspecifiedbythreeparametersas:

任何3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣都可用三個(gè)參量確定.34目前三十四頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

顯然，旋轉(zhuǎn)矩陣的九個(gè)分量線性相關(guān)。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R很容易寫(xiě)出六個(gè)線性無(wú)關(guān)的分量。假定R為三列：Thesethreevectorsaretheunitaxesofsomeframewritternintermsoftherefrenceframe.Eachisaunitvector,andallthreemustbemutuallyperpendicular,soweseethattherearesixconstrainsonthenineparameters:

是否能找到一種姿態(tài)表示法，用三個(gè)參量就能簡(jiǎn)便進(jìn)行表達(dá)?

CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法35目前三十五頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)Whereastranslationsalongthreemutuallyperpendicularaxesarequiteeasytovisualize,rotationsseemlessintuitive.Unfortunatelypeoplehaveahardtimedescribingandspecifyingorientationinthree-dimensionalspace.Onedifficultyisthatrotationsdon’tgenerallycommute.Thatis:Example:考慮兩個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，一個(gè)繞Z轉(zhuǎn)30度，另一個(gè)繞X軸轉(zhuǎn)30度。:

CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法36目前三十六頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Example:固連在坐標(biāo)系{B}上的點(diǎn)

（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度:（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；（2）然后繞y軸轉(zhuǎn)90度；（2）再平移[4，-3，7]；（3）最后再平移[4，-3，7]。（3）然后繞y軸轉(zhuǎn)90度。CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法37目前三十七頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

1)X-Y-Z固定角坐標(biāo)系（fixedangles）下面介紹描述坐標(biāo)系{B}姿態(tài)的另一種方法:Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe{A}.Rotate{B}firstaboutbyanangle,thenaboutbyanangle,and,finally,aboutbyanangle.每個(gè)旋轉(zhuǎn)都是繞著固定參考坐標(biāo)系{A}的軸。我們規(guī)定這種姿態(tài)的表示法為X-Y-Z固定角坐標(biāo)系?！肮潭ā币辉~是指旋轉(zhuǎn)是在固定（即不運(yùn)動(dòng)的）參考坐標(biāo)系中確定的。有時(shí)把它們定義為回轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏轉(zhuǎn)角。CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法38目前三十八頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法

可以直接推導(dǎo)等價(jià)旋轉(zhuǎn)矩陣，因?yàn)樗械男D(zhuǎn)都是繞著參考坐標(biāo)系各軸的，whereisshorthandfor,for.最重要的是搞清楚上式中的旋轉(zhuǎn)順序.Equationaboveiscorrectonlyforrotationsperformedintheorder:aboutbyanangle,thenaboutbyanangle,and,finally,aboutbyanangle.常常使人感興趣的是逆解問(wèn)題，即從一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣等價(jià)推出X-Y-Z固定角坐標(biāo)系。逆解取決于求解一組超越方程；如果方程相當(dāng)于一個(gè)已知的旋轉(zhuǎn)矩陣，那么就有九個(gè)方程和三個(gè)未知量。在這九個(gè)方程中有六個(gè)方程是相關(guān)的。39目前三十九頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法

Let:Insummary:Althoughasecondsolutionexists,byusingthepositivesquarerootintheformulafor,wealwayscomputethesinglesolutionforwhich.Thisisusuallyagoodpractice.If,thesolutiondegenerates.Inthosecases,onepossibleconventionistochoose.

40目前四十頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

2)Z-Y-X歐拉角（Eulerangles）坐標(biāo)系{B}的另一種表示法如下:Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe{A}.Rotate{B}firstaboutbyanangle,thenaboutbyanangle,and,finally,aboutbyanangle.Inthisrepresentation,eachrotationisperformedaboutanaxisofthemovingsystem{B}ratherthanoneofthefixedrefrence{A}.SuchsetsofthreerotationsarecalledEulerangles.Notethateachrotationstakesplaceaboutanaxiswhoselocationdependsupontheprecedingrotations.CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法41目前四十一頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

Wecanwrite:注意這個(gè)結(jié)果與以相反順序繞固定軸旋轉(zhuǎn)三次得到的結(jié)果完全相同！總之，這是一個(gè)不太直觀的結(jié)果：三次繞固定軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)和以相反順序三次繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)相同。因?yàn)榈葍r(jià)，所以無(wú)需通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣的反復(fù)計(jì)算去求Z-Y-X的歐拉角。.CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法42目前四十二頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

3)Z-Y-ZEuleranglesDescribingtheorientationofaframe{B}asfollow:Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe{A}.Rotate{B}firstaboutbyanangle,thenaboutbyanangle,and,finally,aboutbyanangle.

Extracting:

CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法43目前四十三頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)

4)其它角坐標(biāo)系的表示法Intheprecedingsubsectionswehaveseenthreeconventionsforspecifyingorientation:X-Y-Zfixedangles,Z-Y-XEulerangles,andZ-Y-ZEulerangles.每個(gè)表示法均需要按一定順序進(jìn)行三次繞主軸的旋轉(zhuǎn)。這些表示法是24種表示法中的典型方法，且都被稱作角坐標(biāo)系表示法。其中，12種為固定角坐標(biāo)系法，另12種為歐拉角坐標(biāo)系法。注意到由于二者之間的對(duì)偶性，對(duì)于繞主軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣實(shí)際上只有12種唯一的參數(shù)表示方法。

感興趣的同學(xué)可以參考本書(shū)附錄B

CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法44目前四十四頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法

5)等效軸角坐標(biāo)系表示法Withthenotationwegivethedescriptionofanorientationbygivinganaxis,X,andanangle30degrees.Thisisanexampleofanequivalentangle-axisrepresentation.Iftheaxisisageneraldirection(ratherthanoneoftheunitdirections)anyorientationmaybeobtainedthroughproperaxisandangleselection.Describingtheorientationofaframe{B}asfollow:Startwiththeframecoincidentwithaknownrefrenceframe{A}.ThenRotate{B}firstaboutthevectorbyanangleaccordingtotheright-handrule.Vectoriscalledtheequivalentaxisofafiniterotation.

45目前四十五頁(yè)\總數(shù)四十九頁(yè)\編于十五點(diǎn)CHAPTER2:Spatialdescription

§2.8姿態(tài)的其它描述方法

Ageneralorientationof{B}relativeto{A}maybewrittenasor.Thespecificationofthevectorrequiresonlytwoparameters,becauseitslengthisalwaystakentobeone.Theanglespecifiesathirdparameter.Theequivalentrotationmatrixis:where,and