吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

4.1數(shù)學(xué)期望

一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4.1甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：環(huán)數(shù)8910次數(shù)301060環(huán)數(shù)8910次數(shù)205030甲乙試問(wèn)如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？甲平均射中的環(huán)數(shù)為：乙平均射中的環(huán)數(shù)為：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(環(huán))(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(環(huán))因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。目前一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)

在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件(X=k)在100次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率(X為命中的環(huán)數(shù))，當(dāng)射擊次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，這個(gè)頻率接近于事件(X=k)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pk。上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)算可表示為我們稱之為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或均值。數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征目前二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)定義4.1

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，…如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，并稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，E(X)，即

則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。注意：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)完全是由X的分布律確定的，而不應(yīng)受X的可能取值的排列次序的影響，因此要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，目前三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例如，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16則X的數(shù)學(xué)期望為例4.2擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。解X的分布律為X123456Pk1/61/61/61/61/61/6目前四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例4.4設(shè)X取(k=1,2,…)對(duì)應(yīng)的概率為，證明E(X)不存在。證明且但級(jí)數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級(jí)數(shù)(交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂)要注意數(shù)學(xué)期望的條件：“絕對(duì)收斂”。目前五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)定義4.2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x),二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若積分絕對(duì)收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，且稱積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。目前六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例6：目前七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望目前八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4.1設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，Y=g(X)(g(?)為連續(xù)函數(shù))(1)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且(2)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且

此定理說(shuō)明，在求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的期望時(shí)，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。目前九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)推廣：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，g(?,?)是連續(xù)函數(shù)。(1)設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且(2)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x,y)，則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且目前十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散r.v.連續(xù)r.v.目前十一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例4.7設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律為其中p+q=1目前十二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例4.8設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度設(shè)Z=XY，試求Z的數(shù)學(xué)期望。解O1xy1y=x目前十三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)1、設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;2、設(shè)C是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則E(CX)=CE(X);四.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y);推廣：

Xi為隨機(jī)變量，Ci為常數(shù)，i=1,2,…,nE(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)目前十四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)4、若X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。推廣：X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它們獨(dú)立。目前十五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例1：已知甲乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱中，求乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望。例2：已知

0，其它求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X).目前十六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例3：設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：求：X-202P0.40.30.3例4：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)：f(x)=0,其它對(duì)隨機(jī)變量X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求EY目前十七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例5：設(shè)（X,Y）分布列為：(1)求E(X),E(Y);(2)設(shè)Z=X/Y，求E(Z);(3)設(shè)，求E(Z)XY123-10.20.1000.100.310.10.10.1例6：設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)：

f(x,y)=

0其它求：E(X),E(Y),E(XY),目前十八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)4.2方差一、方差的概念例4.13甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，公差為0.2mm，即直徑在9.8mm到10.2mm的為合格品，超出范圍的均為廢品。現(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測(cè)試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：(mm)甲 9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2乙 9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無(wú)差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定。目前十九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)

為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的離散程度，可用|X-EX|的均值來(lái)表示，稱為X的絕對(duì)離差，用E|X-EX|記，這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值的均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)變量與均值差的平方的均值來(lái)描述離散程度。定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若E{[X-EX]2}存在，則稱E{[X-EX]2}為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X)，即D(X)=E{[X-EX]2}

在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量，稱為隨機(jī)變量X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。目前二十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)由方差的定義可知，D(X)≥0。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，且分布律為P(X=xk)=pk時(shí)，則當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為f(x)，則在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式即方差是“隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的平方”。目前二十一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例4.14已知隨機(jī)變量X的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，例4.15設(shè)隨機(jī)變量求D(X)解目前二十二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)二、方差的性質(zhì)1、設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0，且D(X+C)=D(X);2、設(shè)C是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則D(CX)=C2D(X);

3、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有目前二十三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)特別地，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)推論：若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)又X,Y相互獨(dú)立，C1，C2為常數(shù)，則D(C1X+C2Y)=C12

D(X)+C22D(Y)特別注意：D(X-Y)=D(X)+D(Y)(當(dāng)X,Y獨(dú)立)目前二十四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)4、D(X)=0的充分必要條件是X以概率1為常數(shù)，即P(X=C)=1目前二十五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)4.3幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差一、0—1分布X~B(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=1×p+0×(1-p)=p，E(X2)=12×p+02×(1-p)=pD(X)=E(X2)-(E(X))2=p-p2=pq=p(1-p)目前二十六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)二、二項(xiàng)分布X~B(n,p)分布律為P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,…,n目前二十七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)其中隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望目前二十八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)在計(jì)算時(shí)，若將X表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的0—1分布變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。在n重Bernoulli試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=1-p。設(shè)則A發(fā)生的次數(shù)X~B(n,p)目前二十九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)三、Poisson分布X~P(λ)，目前三十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)五、均勻分布X~U[a,b]目前三十一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)六、正態(tài)分布目前三十二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)N(μ,σ2)中兩個(gè)參數(shù)μ和σ2

，分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。目前三十三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)七、指數(shù)分布目前三十四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差（1）若則（2）若則（3）若則（4）若則（5）若則（6）若則目前三十五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)課堂練習(xí)1.設(shè)X~,求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X-1,(2)(X-2)22.設(shè)X~,求E(X),D(X).3.X,Y獨(dú)立，D(X)=6，D(Y)=3，則D(2X-Y)=（）。目前三十六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)4.3協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)定義設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在,則稱它是X與Y的協(xié)方差，記為cov(X,Y)即cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}。當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0時(shí)稱一、概念為X與Y的相關(guān)系數(shù)，或稱X與Y的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。ρXY是一個(gè)無(wú)量綱的量。目前三十七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)當(dāng)X與Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij當(dāng)X與Y是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)f(x,y)由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y，有cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}=E(XY)E(X)E(Y)——協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。又有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)目前三十八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)二、協(xié)方差的性質(zhì)(1)cov(X,Y)=cov(Y,X);(2)cov(X,X)=D(X)，cov(X,C)=0；(3)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，其中a,b為常數(shù)；(4)cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)；(5)X,Y相互獨(dú)立，cov(X,Y)=0目前三十九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即“隨機(jī)變量與期望之差除以均方差”若記則E(X*)=0，D(X*)=1目前四十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、|ρXY|≤1，即“相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于1”。證明方差的非負(fù)性|ρXY|≤1目前四十一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)2、|ρXY|=1的充分必要條件是X與Y以概率1存在線性關(guān)系，即P(Y=aX+b)=1，a≠0，a,b為常數(shù)。證明（充分性）(p108)設(shè)Y=aX+b，則E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}=E{[XE(X)][aX+baE(X)b]}=aE{[XE(X)]2}=aD(X)即|ρXY|=1目前四十二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)（必要性）設(shè)ρXY=1，則性質(zhì)1方差性質(zhì)其中即X與Y以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y正相關(guān)。當(dāng)ρXY=-1時(shí)其中即X與Y以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y負(fù)相關(guān)。目前四十三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)定義若ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。3、若X與Y相互獨(dú)立，則必有X與Y不相關(guān)。證明X與Y相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y)cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0所以ρXY=0即X與Y不相關(guān)。注意：X與Y不相關(guān)，X與Y未必相互獨(dú)立。所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的。目前四十四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)

，X與Y獨(dú)立例4.18設(shè)二維隨機(jī)變量則可求得協(xié)方差cov(X,Y)=ρσ1σ2且相關(guān)系數(shù)ρXY=ρ二維正態(tài)變量(X,Y)，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是ρ=0(P78例7)；而ρXY=ρ=0表示X與Y不相關(guān)，可見(jiàn)，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。X與Y不相關(guān)等價(jià)于目前四十五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)矩、協(xié)方差矩陣1、若E(Xk)存在，則稱Ak=E(Xk)為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩(k=1,2,…)，而E(|X|k)稱為X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2、若E{[X-E(X)]k}存在，則稱Bk=E{[X-E(X)]k}為隨機(jī)變量X的k階中心矩(k=1,2,…)，而E{|X-E(X)|k}稱為X的k階絕對(duì)中心矩；3、若E(XkYl)存在，則稱E(XkYl)為隨機(jī)變量X、Y的k+l階混合原點(diǎn)矩(k,l=1,2,…)；4、若E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}存在，則稱E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}維隨機(jī)變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,…)。目前四十六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)由矩的概念數(shù)學(xué)期望E(X)即為X的一階原點(diǎn)矩；方差D(X)即為X的二階中心矩。

設(shè)X1,X2,…,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量，記cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,…,n。則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即目前四十七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)或定理：（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望對(duì)任意不等式成立，稱此式為切比雪夫不等式.4.4大數(shù)定理目前四十八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)證明：設(shè)X為連續(xù)性（離散型類似），其密度為目前四十九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)切比雪夫不等式說(shuō)明（1）證明切比雪夫大數(shù)定律；（2）表明D（X）描述了X偏離E（X）的離散程度；（3）給出X的分布未知時(shí)，事件|X-E（X）|＜ε的概率的一個(gè)大致估計(jì)。目前五十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)對(duì)未知分布X，取目前五十一頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)例1估計(jì)的概率解目前五十二頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)練習(xí)例1設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有例2設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為–0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有例3已知隨機(jī)變量X

的概率分布為X123

p0.20.30.5試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)事件的概率.目前五十三頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)大數(shù)定理

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn，若存在隨機(jī)變量Y，使得對(duì)于任意正數(shù)，均有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量Y，并記為一、依概率收斂若存在常數(shù)a，任意的正數(shù)，使得則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于常數(shù)a，并記為目前五十四頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)意思是：當(dāng)a而意思是：時(shí)，Xn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大。,當(dāng)與的區(qū)別目前五十五頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)[辛欽大數(shù)定理（弱大數(shù)定理）]設(shè)X1,X2,…,Xn…為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，且有相同的數(shù)學(xué)期望E（Xi）=（i=1,2,…），則對(duì)>0，有以概率收斂于目前五十六頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)辛欽大數(shù)定律表明

若{Xk，k=1,2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=<，k=1,2,…，則推論：若{Xi,i=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(Xik)存在，則目前五十七頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)伯努利大數(shù)定律設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記nA為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則證明（由切比雪夫不等式可直接證明）即設(shè)則Xi相互獨(dú)立，且目前五十八頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)中心極限定理

前面我們的討論中講過(guò)正態(tài)分布在隨機(jī)變量的一切可能分布中占有特殊地位。在客觀世界中，我們遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的，為什么大量的隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布？俄國(guó)數(shù)學(xué)家李亞普諾夫(Ляпуров)證明了在某些非常一般的充分條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無(wú)限增加時(shí)，是趨于正態(tài)分布的。在概率論中，把大量獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。我們這里給出的兩個(gè)最常用的中心極限定理。目前五十九頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=σ2(σ2>0)(i=1,2,…)，記前n個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為一、獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lindeberg-Levy林德貝格-列維)(P117定理3)則Yn的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的x∈(-∞,+∞)都有目前六十頁(yè)\總數(shù)六十七頁(yè)\編于十二點(diǎn)

該定理說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，Yn近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Yn~N(0,1)，隨機(jī)變量近似地服從于正態(tài)分布

中心極限定理可以解釋如下：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的。在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分布的隨