多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)

第1頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)引言多元統(tǒng)計(jì)分析涉及到的都是隨機(jī)向量或多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)矩陣。例如在研究公司的運(yùn)營(yíng)情況時(shí)，要考慮公司的獲利能力、資金周轉(zhuǎn)能力、競(jìng)爭(zhēng)能力以及償債能力等財(cái)務(wù)指標(biāo)；又如在研究國(guó)家財(cái)政收入時(shí)，稅收收入、企業(yè)收入、債務(wù)收入、國(guó)家能源交通重點(diǎn)建設(shè)基金收入、基本建設(shè)貸款歸還收入、國(guó)家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等都是需要同時(shí)考察的指標(biāo)。顯然，如果我們只研究一個(gè)指標(biāo)或是將這些指標(biāo)割裂開(kāi)分別研究，是不能從整體上把握研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的，解決這些問(wèn)題就需要多元統(tǒng)計(jì)分析方法。為了更好的探討這些問(wèn)題，本章我們首先論述有關(guān)隨機(jī)向量的基本概念和性質(zhì)。第2頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)用中遇到的隨機(jī)向量常常是服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于正態(tài)分布。因此現(xiàn)實(shí)世界中許多實(shí)際問(wèn)題的解決辦法都是以總體服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布為前提的。在多元統(tǒng)計(jì)分析中，多元正態(tài)分布占有很重要地位，本書(shū)所介紹的方法大都假定數(shù)據(jù)來(lái)自多元正態(tài)分布。為此，本章將要介紹多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)性質(zhì)。然而在實(shí)際問(wèn)題中，多元正態(tài)分布中均值向量和協(xié)差陣通常是未知的，一般的做法是由樣本來(lái)估計(jì)。這是本章討論的重要內(nèi)容之一，在此我們介紹最常見(jiàn)的最大似然估計(jì)法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并討論其有關(guān)的性質(zhì)。第3頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)基本概念一隨機(jī)向量二多元分布三隨機(jī)向量的數(shù)字特征

第4頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、隨機(jī)向量

我們所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)包含p個(gè)指標(biāo)（變量），又進(jìn)行了n次觀測(cè)得到的，我們把這個(gè)p指標(biāo)表示為X1，X2，…，Xp，通常運(yùn)用p維向量X=(X1，

X2，

…

，

XP)'表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的p個(gè)變量。

這里我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，在多元統(tǒng)計(jì)分析中，仍然將所研究對(duì)象的全體稱為總體，它是由許多（有限和無(wú)限）的個(gè)體構(gòu)成的集合，如果構(gòu)成總體的個(gè)體是具有p個(gè)需要觀測(cè)指標(biāo)的個(gè)體，我們稱這樣的總體為p維總體（或p元總體）。上面的表示便于人們用數(shù)學(xué)方法去研究p維總體的特性。這里“維”（或“元”）的概念，表示共有幾個(gè)分量。若觀測(cè)了個(gè)數(shù)為n的個(gè)體，則可得到如表2.1的數(shù)據(jù)，稱每一個(gè)個(gè)體的p個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體n個(gè)樣品組成一個(gè)樣本。第5頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第6頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第7頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、多元分布

第8頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第9頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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第16頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、隨機(jī)向量的數(shù)字特征

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第18頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定義隨機(jī)向量X和Y的協(xié)差陣為

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第20頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第21頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第22頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)多元正態(tài)分布一多元正態(tài)分布的定義

二多元正態(tài)分布的性質(zhì)

第23頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、多元正態(tài)分布的定義

第24頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第25頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第26頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第27頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、多元正態(tài)分布的性質(zhì)

第28頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第29頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第30頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第34頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)

多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)

一多元樣本的數(shù)字特征

二均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計(jì)

三

Wishart分布

第35頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、多元樣本的數(shù)字特征

第36頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第37頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第38頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第40頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第41頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第42頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第43頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、均值向量與協(xié)差陣的最大似然

估計(jì)

第44頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第45頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第46頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第47頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第48頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第49頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、Wishart分布

第50頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第51頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第52頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第53頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì) 的實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

一均值向量的估計(jì)二協(xié)差陣的估計(jì)

第54頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通過(guò)上面的理論分析知道，多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計(jì)分別是樣本均值向量和樣本協(xié)差陣。利用SPSS軟件可以迅速地計(jì)算出多元分布的樣本均值向量、樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的SPSS實(shí)現(xiàn)過(guò)程。從滬深兩市上市公司中隨機(jī)抽取300家公司，取其三個(gè)反映收益情況的主要財(cái)務(wù)指標(biāo)：每股收益率（eps）、凈資產(chǎn)收益率（roe）和總資產(chǎn)收益率（roa）?，F(xiàn)要求對(duì)這三個(gè)指標(biāo)的均值和協(xié)差陣進(jìn)行估計(jì)。第55頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、均值向量的估計(jì)在SPSS中計(jì)算樣本均值向量的步驟如下：

1.選擇菜單項(xiàng)Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打開(kāi)Descriptives對(duì)話框，如圖2.1。將待估計(jì)的三個(gè)變量移入右邊的Variables列表框中。圖2.1Descriptives對(duì)話框第56頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 2.單擊Options按鈕，打開(kāi)Options子對(duì)話框，如圖2.2所示。在對(duì)話框中選擇Mean復(fù)選框，即計(jì)算樣本均值向量。單擊Continue按鈕返回主對(duì)話框。圖2.2Options子對(duì)話框第57頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 3.單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本均值向量，如表2.2。即樣本均值向量為（0.175，0.044，0.026）。表2.2樣本均值向量第58頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、協(xié)差陣的估計(jì)在SPSS中計(jì)算樣本協(xié)差陣的步驟如下：

1.選擇菜單項(xiàng)Analyze→Correlate→Bivariate，打開(kāi)BivariateCorrelations對(duì)話框，如圖2.3。將三個(gè)變量移入右邊的Variables列表框中。圖2.3BivariateCorrelations對(duì)話框第59頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 2.單擊Options按鈕，打開(kāi)Options子對(duì)話框，如圖2.4。選擇Cross-productdeviationsandcovariances復(fù)選框，即計(jì)算樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。單擊Continue按鈕，返回主對(duì)話框。圖2.4Options子對(duì)話框第60頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 3.單擊OK按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)分析表。表中PearsonCorrelation給出皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，SumofSquaresandCross-products給出樣本離差陣，Covariance給出樣本協(xié)差陣。值得注意的是，這里給出的樣本協(xié)差陣是S/(n-1)

，而不是S/n。第61頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表2.3樣本相關(guān)系數(shù)矩陣、離差陣與協(xié)差陣第62頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考與練習(xí)

2.1試述多元聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關(guān)系。

2.2設(shè)隨機(jī)變量服從二元正態(tài)分布，寫(xiě)出聯(lián)合分布密度函數(shù)和X1、X2各自的邊緣密度函數(shù)。

2.3已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

其中，。求：（1）隨機(jī)變量X1和X2各自的邊緣密度函數(shù)、均值與方差；（2）隨機(jī)變量X1和X2的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；（3）判斷隨機(jī)變量X1和X2是否相互獨(dú)立。

2.4設(shè)隨機(jī)變量服從p元正態(tài)分布，已知協(xié)差陣Σ為對(duì)角陣，證明X的分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。第63頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5從某企業(yè)全部職工中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為6的樣本，該樣本中各職工的目前工資、受教育年限、初始工資和工作經(jīng)驗(yàn)如下表所示：

設(shè)職工總體的以上變量服從多元正態(tài)分布，根據(jù)樣本資料求出均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計(jì)。

2.6均值向量和協(xié)差陣的最大似然估計(jì)具有哪些優(yōu)良性質(zhì)？

職工編號(hào)目前工資(美元)受教育年限(年)初始工資(美元)工作經(jīng)驗(yàn)(月)12345657000402002145021900450002835015161281582700018750120001320021000120001443638119013826第64頁(yè)，課件共67頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.7試證多元正態(tài)總體的樣本均值向量。2.8試證多元正態(tài)總體的樣本協(xié)差陣為Σ的無(wú)偏估計(jì)。2.9設(shè)是從多元正態(tài)總體中獨(dú)立抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本，試求樣本協(xié)差陣的分布。

2.10設(shè)是來(lái)自的數(shù)據(jù)陣，：（1）已知