多元函數(shù)的極值

關(guān)于多元函數(shù)的極值第1頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

極值和最大、最小值問題屬于優(yōu)化問題范疇,它是一種簡單的優(yōu)化問題.多元函數(shù)的極值

無約束極值

有約束極值

變量替代法拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值第2頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月無約束極值的形式目標(biāo)函數(shù)：表現(xiàn)形式：一.無約束極值第3頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

極大值和極小值的定義設(shè)在內(nèi)有定義.若總有則稱為函數(shù)的極大值(極小值).稱為函數(shù)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn)).

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.第4頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例1函數(shù)在點(diǎn)處取極大值.函數(shù)在點(diǎn)處取極小值.例2

現(xiàn)在對已有的結(jié)果進(jìn)行分析,

看能否得到一點(diǎn)什么.函數(shù)在點(diǎn)處不取極小值.例3第5頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月xyzxyzoxyzo第6頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月若是函數(shù)的極值點(diǎn),則是一元函數(shù)的極值點(diǎn);是一元函數(shù)的極值點(diǎn),能存在,也可能不存在,故可得到結(jié)論:但函數(shù)在極值點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)可如果偏導(dǎo)數(shù)存在,則極值點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)必為零.使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).

先以二元函數(shù)為例,敘述結(jié)果,然后將它推廣到一般的n元函數(shù).第7頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(二元可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件)證:化為一元函數(shù)的結(jié)論若在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在處取極值,則必有定理(n元可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件)若在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在處取極值,則必有第8頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月處的切平面方程為由可微函數(shù)取極值的必要條件：

此時,切平面平行于xy平面.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微且取極值,則相應(yīng)的曲面在點(diǎn)

下面看看函數(shù)極值的幾何意義故切平面方程實(shí)際為第9頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)的駐點(diǎn)以及使函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),稱為函數(shù)的極值可疑點(diǎn).

函數(shù)在其極值可疑點(diǎn)處,可能取極值,也可能不取極值.使函數(shù)零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).的一階偏導(dǎo)數(shù)全為

這就產(chǎn)生了一個問題:如何判斷函數(shù)在極值可疑點(diǎn)處是否取極值.第10頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們首先進(jìn)行分析、討論,然后再歸納出結(jié)果.則故由微分形式的泰勒公式,得第11頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們首先進(jìn)行分析、討論,然后再歸納出結(jié)果.則故由微分形式的泰勒公式,得

注意條件

正(負(fù))取決于二次型的正(負(fù))定

余項(xiàng)設(shè)第12頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月記則H稱為函數(shù)f的Hessian矩陣當(dāng)且時,二次型正定,即從而,為函數(shù)的極小值.

二次型與它的矩陣具有相同的有定性

矩陣H正定第13頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)且時,二次型負(fù)定,從而,即為函數(shù)的極大值.當(dāng)時,二次型是不定的,此時,不是函數(shù)的極值.當(dāng)時,二次型Q

是半定的,運(yùn)為函數(shù)的極值.

若要判定則需要運(yùn)用更高階的泰勒公式.用二階泰勒公式已不能判定

是否第14頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(可微的二元函數(shù)極值判別法)記設(shè)

A.與C對稱第15頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

該判別法可直接推廣到元函數(shù)的情形.第16頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求的極值.解聯(lián)立方程組,求駐點(diǎn):解之得駐點(diǎn)又第17頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)是極小點(diǎn),極小值為點(diǎn)是極大點(diǎn),極大值為點(diǎn)不是極值點(diǎn).故第18頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)的最大值和最小值上的最大值和最小值.第19頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

求函數(shù)最大值和最小值的基本原則工程中遇到的函數(shù)大部分是連續(xù)的,或者能保證在所討論的區(qū)域內(nèi),取到它的最大值或最小值.如果知道可微函數(shù)的最大值或最小值一定在區(qū)域內(nèi)達(dá)到,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)又僅有一個駐點(diǎn),則該駐點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).如果為有界閉區(qū)域,則函必在上取到它的最大值和最小值.數(shù)第20頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例4距離之平方和為最大及最小的點(diǎn).解·所求距離之平方和為第21頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)：最值問題：所討論的問題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問題:第22頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:求函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大、最小值的一般步驟為：※※先求函數(shù)在開區(qū)域上的極值可疑點(diǎn);再求函數(shù)在邊界上的極值可疑點(diǎn);※將所求出的所有受檢點(diǎn)(包括邊界的角點(diǎn))的值,進(jìn)行比較即可得出函數(shù)的最大、最小值.第23頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:※由方程組得到駐點(diǎn)且第24頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點(diǎn)：函數(shù)值：第25頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點(diǎn)：函數(shù)值：第26頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點(diǎn)：函數(shù)值：第27頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:綜上所述※邊界上端點(diǎn)值：第28頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域:目標(biāo)函數(shù):最值問題:所求最值點(diǎn)為：……

以下的工作,由學(xué)生自己完成.第29頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例5求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.球面解選擇坐標(biāo)系,使球心位于坐標(biāo)原點(diǎn),則球面方程為設(shè)所求長方體在第一卦限中的頂點(diǎn)為則長方體的三個棱邊長是長方體體積為第30頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)：最值問題：原問題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問題:第31頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)：最值問題：由解之得第32頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月由解之得應(yīng)用題,又僅有唯一的個駐點(diǎn),故該駐點(diǎn)即為極值點(diǎn),從而所求球內(nèi)接長方體的邊長為區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)：最值問題：第33頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是對目標(biāo)函數(shù)的約束應(yīng)滿足方程

對自變量附加一定條件的極值問題就是有約束極值問題.例如,上面講的求球內(nèi)接體積最大的長方體的問題,就是一個有約束的極值問題:長方體頂點(diǎn)必須位于球面上,其坐標(biāo)x2+y2+z2=a2.三.有約束極值（條件極值）第34頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

有約束極值(條件極值)的定義若有(或則稱為函數(shù)在約束條件下的極大值(或極小值).

這種極值通常簡稱為函數(shù)的條件極大(小)值.

這里的約束稱為等式約束.第35頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

有約束極值

帶等式約束的極值

帶其它約束的極值

無約束極值轉(zhuǎn)化第36頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

有約束極值的形式目標(biāo)函數(shù)：表現(xiàn)形式：第37頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

有約束極值

無約束極值

拉格朗日乘數(shù)法

變量替代法

我們再舉一例說明變量替代法第38頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例6現(xiàn)需用鋼板制造容積為2m3的有蓋的長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各為多少時用料最??？解設(shè)長方體的長、寬、高分別為則問題歸結(jié)為下列有約束極值問題：由約束條件得代入目標(biāo)函數(shù)中,使問題轉(zhuǎn)化為下列無約束極值問題：第39頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月令唯一的駐點(diǎn)故當(dāng)水箱的長、寬、高均為時,用料最省.就是已經(jīng)講過的方法.第40頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

拉格朗日乘數(shù)法問題：求函數(shù)在下的極值.條件

運(yùn)用變量替代法求解有約束極值問題時,往往會遇到困難——有時不能從條件中解出變量間的顯函數(shù)表示式.

自然我們會想到運(yùn)用隱函數(shù)及其有關(guān)的定理和方法.第41頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月能由這里求得z=z(x,y)再作變量替代嗎？一般不能,但對滿足隱函數(shù)存在定理?xiàng)l件的可微函數(shù)可行.問題：求函數(shù)在下的極值.條件

拉格朗日乘數(shù)法第42頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月分析與推導(dǎo)若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值,求在條件下的極值.則首先應(yīng)有0.),,(000=zyxj若

可確定隱函數(shù)于是原問題轉(zhuǎn)化為無約束極值問題：求函數(shù)的極值.則函數(shù)在處取極值.(假設(shè)以下的各種運(yùn)算均成立)第43頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,得第44頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,得代入第45頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,得代入想想這一段要求函數(shù)滿足什么條件？第46頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月在條件函數(shù)下,于點(diǎn)處取得極值的必要條件是綜上所述:還有一個第47頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月令則上述的必要條件可寫為第48頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月令則上述的必要條件可寫為

方程組的左端是一個函數(shù)對x,y,z,的偏導(dǎo)數(shù).第49頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日函數(shù)問題：求函數(shù)在條件下的極值.若則稱為該極值問題的拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù).

轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無條件極值問題第50頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

拉格朗日乘數(shù)法求解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)第51頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月由取極值的必要條件解方程組

駐點(diǎn)

進(jìn)行判別這部分確定隱函數(shù)關(guān)系這部分確定變量xi與i

間的關(guān)系第52頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月注2：拉格朗日方法求出的點(diǎn)是極值函數(shù)的駐點(diǎn)以及極值函數(shù)的等值線與約束函數(shù)相切的切點(diǎn)。注1：用拉格朗日方法求出的點(diǎn)是函數(shù)的可疑極值點(diǎn)。第53頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例4距離之平方和為最大及最小的點(diǎn).解·所求距離之平方和為第54頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月·第55頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月所求最值點(diǎn)為：第56頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例7求函數(shù)在條件下的極小值,并證明此時不等式成立：其中,x、y、z、a>0為實(shí)數(shù).第57頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月解作拉格朗日函數(shù)令由這一部分找出與間的關(guān)系。代入此方程，求出拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)第58頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月由前三式得從而將它代入最后一式,得到拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)：

該駐點(diǎn)是否為原函數(shù)的極值點(diǎn)?

應(yīng)該怎么進(jìn)行判斷?第59頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月下面證明不等式：由于點(diǎn)(3a,3a,3a)是可微函數(shù)的唯一(條件)極小值點(diǎn),故在中有即有