數學必修ⅳ北師大版-同角三角函數的基本關系式課件(共57張PPT)

1同角三角函數的基本關系式與兩角和與差的三角函數第1頁，共57頁。2三年10考高考指數:★★★1.理解同角三角函數的基本關系式.2.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.第2頁，共57頁。31.同角三角函數間的關系式可能在與解析幾何、數列、解三角形等知識的交匯處命題.2.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行三角函數式的化簡求值是高考?？嫉膬热?尤其是對asinx+bcosx的化簡是每年高考必考內容.3.在選擇題、填空題、解答題中都可以考查,題目屬中低檔題.第3頁，共57頁。41.同角三角函數的基本關系(1)平方關系:________________；(2)商數關系:__________(α≠kπ+,k∈Z).sin2α+cos2α=1第4頁，共57頁。5【即時應用】(1)設sin(π-α)=且α∈則tanα=______.(2)已知sinx=2cosx,則sin2x+1=______.第5頁，共57頁。6【解析】(1)∵sin(π-α)=sinα=且α∈()，(2)∵sin2x+cos2x=1，答案：第6頁，共57頁。72.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式公式名公式兩角和與差的正弦兩角和與差的余弦兩角和與差的正切第7頁，共57頁。8【即時應用】(1)判斷下列式子的正誤.(請在括號內打“√”或“×”)①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°()②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30°()③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°()④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°()第8頁，共57頁。9(2)計算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______.(3)計算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.第9頁，共57頁。10【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①錯誤；sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②錯誤;③正確，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④錯誤.(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°=.答案：(1)①×②×③√④×

(2)1

(3)第10頁，共57頁。11同角三角函數關系式的應用【方法點睛】同角三角函數關系式的應用及注意問題(1)利用sin2α+cos2α=1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用可以實現角α的弦切互化.(2)應用sin2α+cos2α=1求sinα或cosα時，特別注意角α的三角函數值的符號.符號規(guī)律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”第11頁，共57頁。12【例1】已知α是三角形的內角,且(1)求tanα的值;(2)把用tanα表示出來,并求其值.【解題指南】(1)由同角三角函數平方關系公式及已知，列方程組求出sinα，cosα的值,然后求出tanα即可.(2)利用“1”的逆用，把原式化為關于sinα，cosα的齊次式，轉化為關于tanα的代數式，代入求值.第12頁，共57頁。13【規(guī)范解答】(1)方法一：聯(lián)立方程由①得cosα=

-sinα，將其代入②，整理得25sin2α-5sinα-12=0.∵α是三角形的內角，∴sinα＞0,第13頁，共57頁。(1)求sinα的值；(1)忽略角α,β的范圍，求解cosα,sinβ的值時出錯；…………………6分(1)求α+β;(2)求tan(α-β)的值.由cos(β-α)=得sin(β-α)=【變式備選】已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求求cos(α+β)的值.(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.…………………12分∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ【規(guī)范解答】(1)方法一：聯(lián)立方程兩角和與差的正弦、余弦和正切公式件可求出sinα及cosβ的值，然后利用同角三角函數關系，求14方法二:∵sinα+cosα=

,∴(sinα+cosα)2=(

)2，即1+2sinαcosα=

,∴2sinαcosα=

∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=∵sinαcosα=

<0且0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,∴sinα-cosα=

第14頁，共57頁。15第15頁，共57頁。16【反思·感悟】1.應用同角公式時注意方程思想的應用：對于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.2.注意公式逆用及變形應用：1=sin2α+cos2α，sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.第16頁，共57頁。17【變式訓練】(1)已知且α為第二象限角，求tanα;(2)已知求tanα;(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.【解析】(1)

α為第二象限角，第17頁，共57頁。18(2)∴α為第一或第二象限角.當α為第一象限角時，當α為第二象限角時，由(1)知，(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),(當α為一、四象限角時取正號，當α為二、三象限角時取負號).∴當α為一、四象限角時當α為二、三象限角時第18頁，共57頁。解決三角函數問題時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B【變式備選】已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求(3)根據角的范圍寫出角.(2)把用tanα表示出來,并求其值.求sin(α+β)的值.由及②sin15°=sin(45°-30°)∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］(1)求α+β;(2)求tan(α-β)的值.三年10考高考指數:★★★【解析】(1)α為第二象限角，同角三角函數間的關系式可能在與解析幾何、數列、解三角形等知識的交匯處命題.=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①錯誤；(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數性質中.19三角函數的求值【方法點睛】三角函數的求值的兩種主要類型(1)給角求值的解題思路是正確地選用公式，把非特殊角的三角函數相消，從而化為特殊角的三角函數.(2)給值求值的解題思路是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數的差異.一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得函數值代入，從而達到解題的目的.

第19頁，共57頁。20【例2】已知求sin(α+β)的值.【解題指南】先求再將sin(α+β)變換為求解.第20頁，共57頁。21【規(guī)范解答】又又∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］第21頁，共57頁。22【反思·感悟】解答有限制條件的求值問題時，要善于發(fā)現所求的三角函數的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，即用已知角來表示未知角，或把未知角向已知角方向轉化.第22頁，共57頁。23【變式訓練】已知0<β<<α<π，且求cos(α+β)的值.第23頁，共57頁。24【解析】∵0<β<<α<π,第24頁，共57頁。25【變式備選】已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.【解析】方法一：由題設：第25頁，共57頁。26方法二：令

即第26頁，共57頁。27三角函數的給值求角【方法點睛】1.三角函數的給值求角問題的一般思路(1)求出該角的某一三角函數值;(2)確定角的范圍；(3)根據角的范圍寫出角.第27頁，共57頁。282.三角函數給值求角時應注意的問題求角的某一三角函數值時,盡量選擇在該角所在范圍內是單調的函數，這樣,由三角函數值才可以唯一確定角.一般規(guī)律如下:(1)若角的范圍是選正、余弦皆可;(2)若角的范圍是(0,π),選余弦較好;(3)若角的范圍為選正弦較好.第28頁，共57頁。29【例3】(2012·蕪湖模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，已知A、B的縱坐標分別為(1)求α+β;(2)求tan(α-β)的值.【解題指南】先由坐標系求出sinα,sinβ,cosα,cosβ的值.(1)利用角α+β的某個三角函數值求出α+β,注意α+β的范圍.(2)求出tanα,tanβ,再由tan(α-β)的公式求解.第29頁，共57頁。30【規(guī)范解答】由條件得∵α、β為銳角，(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ又α,β為銳角，所以α+β∈(0,π)，故(2)由條件可知第30頁，共57頁。31【反思·感悟】此類題是給值求角題,步驟如下:①求所求角的某一個三角函數值,②確定所求角的范圍,此類題常犯的錯誤是對角的范圍把握不準,使角的范圍過大或過小,會使求出的角不合題意或者漏解,同時要根據角的范圍確定取該角的哪一種三角函數值.第31頁，共57頁。32【變式訓練】已知(1)求sinα的值；(2)求β的值.【解析】第32頁，共57頁。33(2)∵0<α<,又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.由cos(β-α)=得sin(β-α)=∴sinβ=sin［(β-α)+α］=sin(β-α)cosα+cos(β-α)·sinα由<β<π得第33頁，共57頁。34【變式備選】已知α、β、γ均為銳角.求α+β+γ的值.【解析】

且α為銳角，同理第34頁，共57頁。35三角函數的綜合應用【方法點睛】三角函數公式和三角函數性質的關系(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數性質中.需要利用這些公式,先把函數解析式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再進一步探討定義域、值域和最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等性質.(2)注意特殊角三角函數值、誘導公式等基礎知識的應用，主要考查基本運算能力．第35頁，共57頁。36【例4】已知函數f(x)=2sin(π-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間［］上的最大值和最小值.【解題指南】先利用誘導公式和倍角公式進行恒等變換，再求三角函數的性質.第36頁，共57頁。37【規(guī)范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,∴函數f(x)的最小正周期為π.(2)由∴f(x)在區(qū)間［］上的最大值為1，最小值為第37頁，共57頁。38【反思·感悟】利用三角函數公式進行三角恒等變形，要求熟練掌握公式和變換技巧，強化運算能力.以基本三角函數的性質為基礎求y=Asin(ωx+φ)的性質，有時給出角的范圍時要注意ωx+φ的范圍的變化.第38頁，共57頁。39【變式訓練】設函數(其中ω＞0,a∈R),且f(x)的圖像在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為(1)求ω的值；(2)如果f(x)在區(qū)間［］上的最小值為求a的值.【解析】依題意得第39頁，共57頁。40(2)由(1)知，又當x∈［］時，故從而f(x)在區(qū)間［］上的最小值為故第40頁，共57頁。41【變式備選】已知函數(1)求函數f(x)的最小正周期和圖像的對稱軸方程;(2)求函數f(x)在區(qū)間［］上的值域.第41頁，共57頁。42【解析】∴周期由得∴函數圖像的對稱軸方程為第42頁，共57頁。43

在區(qū)間［］上單調遞增，在區(qū)間［］上單調遞減，∴當時，f(x)取最大值1.又∴當時，f(x)取最小值∴函數f(x)在區(qū)間［］上的值域為［］.

第43頁，共57頁。44【滿分指導】三角函數主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·廣東高考)已知函數x∈R.(1)求的值;(2)設求cos(α+β)的值.第44頁，共57頁。45【解題指南】(1)把代入解析式直接求解；(2)由題目條件可求出sinα及cosβ的值，然后利用同角三角函數關系，求出cosα及sinβ的值，再利用兩角和的余弦公式求解.第45頁，共57頁。46【規(guī)范解答】…………………3分(2)由得即…………………6分由得從而……………8分…………………10分第46頁，共57頁。47∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…………………12分第47頁，共57頁。48【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數據分析與總結，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)忽略角α,β的范圍，求解cosα,sinβ的值時出錯；(2)在利用兩角和的余弦公式時由于對公式記憶不準確導致