數(shù)學(xué)集合的知識(shí)點(diǎn)精編17篇

數(shù)學(xué)集合的知識(shí)點(diǎn)(精編17篇）數(shù)學(xué)集合的學(xué)問(wèn)點(diǎn)（1）

一、平面解析幾何的基本思想和主要問(wèn)題

平面解析幾何是用代數(shù)的方法討論幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，其基本思想就是用代數(shù)的方法討論幾何問(wèn)題。例如，用直線的方程可以討論直線的性質(zhì)，用兩條直線的方程可以討論這兩條直線的位置關(guān)系等。

平面解析幾何討論的問(wèn)題主要有兩類：一是依據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程;二是通過(guò)方程，討論平面曲線的性質(zhì)。

二、直線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系

直線坐標(biāo)系，也就是數(shù)軸，它有三個(gè)要素：原點(diǎn)、度量單位和方向。假如讓一個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，那么就可以在實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)，則稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，記作，如點(diǎn)坐標(biāo)為，則記作;點(diǎn)坐標(biāo)為，則記為。

直角坐標(biāo)系是由兩條相互垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成，兩條數(shù)軸的度量單位一般相同，但有時(shí)也可以不同，兩個(gè)數(shù)軸的交點(diǎn)是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的集合與坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)集具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是這樣求得的，由點(diǎn)向軸及軸作垂線，在兩坐標(biāo)軸上形成正投影，在軸上的正投影所對(duì)應(yīng)的值為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在軸上的正投影所對(duì)應(yīng)的值為點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

在學(xué)習(xí)這兩種坐標(biāo)系時(shí)，要留意用類比的方法。例如，平面直角坐標(biāo)系是二維坐標(biāo)系，它有兩個(gè)坐標(biāo)軸，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)需用兩個(gè)實(shí)數(shù)（即一對(duì)有序?qū)崝?shù)）來(lái)表示，而直線坐標(biāo)系是一維坐標(biāo)系，它只有一個(gè)坐標(biāo)軸，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)只需用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示。

三、向量的有關(guān)概念和公式

假如數(shù)軸上的任意一點(diǎn)沿著軸的正向或負(fù)向移動(dòng)到另一個(gè)點(diǎn)，則說(shuō)點(diǎn)在軸上作了一次位移。位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡(jiǎn)稱向量，記作。假如點(diǎn)移動(dòng)的方向與數(shù)軸的正方向相同，則向量為正，否則為負(fù)。線段的長(zhǎng)叫做向量的長(zhǎng)度，記作。向量的長(zhǎng)度連同表示其方向的正負(fù)號(hào)叫做向量的坐標(biāo)（或數(shù)量），用表示。這里同學(xué)們要分清，，三個(gè)符號(hào)的含義。

對(duì)于數(shù)軸上任意三點(diǎn)，都有成立。該等式左邊表示在數(shù)軸上點(diǎn)向點(diǎn)作一次位移，等式右邊表示點(diǎn)先向點(diǎn)作一次位移，再由點(diǎn)向點(diǎn)作一次位移，它們的最終結(jié)果是相同的。

向量的坐標(biāo)公式（或數(shù)量公式），它表示向量的數(shù)量等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)公式特別重要。

有相等坐標(biāo)的兩個(gè)向量相等，看做同一個(gè)向量;反之，兩個(gè)相等向量坐標(biāo)必相等。

留意：①相等的全部向量看做一個(gè)整體，作為同一向量，都等于以原點(diǎn)為起點(diǎn)，坐標(biāo)與這全部向量相等的那個(gè)向量。②向量與數(shù)軸上的實(shí)數(shù)（或點(diǎn)）是一一對(duì)應(yīng)的，零向量即原點(diǎn)。

四、兩點(diǎn)的距離公式和中點(diǎn)公式

1。對(duì)于數(shù)軸上的兩點(diǎn)，設(shè)它們的坐標(biāo)分別為，，則的距離為，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為。

由于表示數(shù)軸上兩點(diǎn)與的距離，所以在解一些簡(jiǎn)潔的含肯定值的方程或不等式時(shí)，常借助于數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離問(wèn)題加以解決。例如，解方程時(shí)，可以將問(wèn)題看作在數(shù)軸上求一點(diǎn)，使它到，的距離之和等于。

2。對(duì)于直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，設(shè)它們的坐標(biāo)分別為，，則兩點(diǎn)的距離為，的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿意。

兩點(diǎn)的距離公式和中點(diǎn)公式是解析幾何中最基本、最常用的公式之一，要求同學(xué)們能嫻熟把握并能敏捷運(yùn)用。

五、坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它是借助于坐標(biāo)系來(lái)討論幾何圖形的一種方法，是數(shù)形結(jié)合的典范。這種方法是在平面上建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿意某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)所滿意的方程表示曲線，通過(guò)討論方程，間接地來(lái)討論曲線的性質(zhì)。

數(shù)學(xué)集合的學(xué)問(wèn)點(diǎn)（2）

本節(jié)內(nèi)容主要是空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，在熟悉過(guò)程中，可以進(jìn)一步提高同學(xué)們的空間想象力量，進(jìn)展推理力量．通過(guò)對(duì)實(shí)際模型的熟悉，學(xué)會(huì)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，以詳細(xì)的長(zhǎng)方體中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系作為載體，使同學(xué)們?cè)谥庇^感知的基礎(chǔ)上，熟悉空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是立體幾何的主要討論對(duì)象，同時(shí)也是空間圖形最基本的幾何元素．

重難點(diǎn)學(xué)問(wèn)歸納

1、平面

(1)平面概念的理解

直觀的理解：桌面、黑板面、安靜的水面等等都給人以平面的直觀的印象，但它們都不是平面，而僅僅是平面的一部分．

抽象的理解：平面是平的，平面是無(wú)限延展的，平面沒(méi)有厚?。?/p>

(2)平面的表示法

①圖形表示法：通常用平行四邊形來(lái)表示平面，有時(shí)依據(jù)實(shí)際需要，也用其他的平面圖形來(lái)表示平面．

②字母表示：常用等希臘字母表示平面．

(3)涉及本部分內(nèi)容的符號(hào)表示有：

①點(diǎn)A在直線l內(nèi)，記作；

②點(diǎn)A不在直線l內(nèi)，記作；

③點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；

④點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作；

⑤直線l在平面內(nèi)，記作；

⑥直線l不在平面內(nèi)，記作；

留意：符號(hào)的使用與集合中這四個(gè)符號(hào)的使用的區(qū)分與聯(lián)系．

(4)平面的基本性質(zhì)

公理1：假如一條直線的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的全部點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．

符號(hào)表示為：．

留意：假如直線上全部的點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，我們也說(shuō)這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，或者稱平面經(jīng)過(guò)這條直線．

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

符號(hào)表示為：直線AB存在唯一的平面，使得．

留意：“有且只有”的含義是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”來(lái)代替．此公理又可表示為：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．

公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．

符號(hào)表示為：．

留意：兩個(gè)平面有一條公共直線，我們說(shuō)這兩個(gè)平面相交，這條公共直線就叫作兩個(gè)平面的交線．若平面、平面相交于直線l，記作．

公理的推論：

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．

2．空間直線

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系

①相交直線：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可表示為;

②平行直線：在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)，可表示為a//b;

③異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．

(2)平行直線

公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線，．

定理：假如一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．

(3)兩條異面直線所成的角

留意：

①兩條異面直線a，b所成的角的范圍是（0°，90°]．

②兩條異面直線所成的角與點(diǎn)O的選擇位置無(wú)關(guān)，這可由前面所講過(guò)的“等角定理”直接得出．

③由兩條異面直線所成的角的定義可得出異面直線所成角的一般方法：

(i)在空間任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)通常是線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)．

(ii)分別作兩條異面直線的平行線，這個(gè)過(guò)程通常采納平移的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)．

(iii)指出哪一個(gè)角為兩條異面直線所成的角，這時(shí)我們要留意兩條異面直線所成的角的范圍．

3．空間直線與平面

直線與平面位置關(guān)系有且只有三種：

(1)直線在平面內(nèi)：有很多個(gè)公共點(diǎn)；

(2)直線與平面相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)直線與平面平行：沒(méi)有公共點(diǎn)．

4．平面與平面

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：

(1)兩個(gè)平面平行：沒(méi)有公共點(diǎn)；

(2)兩個(gè)平面相交：有一條公共直線。

數(shù)學(xué)集合的學(xué)問(wèn)點(diǎn)（3）

1、高一數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)：集合一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的無(wú)序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

1)列舉法：{a,b,c……}

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大

括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

2、高一數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)：集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

留意：A?B有兩種可能(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?/B或B?/A

2.“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè)A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。A?A

②真子集:假如A?B,且A≠B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③假如A?B,B?C,那么A?C

④假如A?B同時(shí)B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ