中學數學建模教學初探結題報告

PAGEPAGE1“中學數學建模教學初探”結題報告鎮(zhèn)江市實驗高級中學《中學數學建模教學初探》課題組(主持人：楊勇)

一、課題的提出：數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用。數學的應用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面。20世紀下半葉以來，數學應用的巨大發(fā)展是數學發(fā)展的顯著特征之一。當今知識經濟時代，數學正在從幕后走向臺前，數學和計算機技術的結合使得數學能夠在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，同時，也為數學發(fā)展開拓了廣闊的前景。我國的數學教育在很長一段時間內對于數學與實際、數學與其他學科的聯系未能給予充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強。近幾年來，我國大學、中學數學建模的實踐表明，開展數學應用的教學活動符合社會需要，有利于激發(fā)學生學習數學的興趣，有利于增強學生的應用意識，有利于擴展學生的視野。數學課程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建?！钡膶W習活動，設立體現數學某些重要應用的專題課程。高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發(fā)展數學應用意識，提高實踐能力。數學應用題的數量和分值在會考和高考中將逐步增加，中、低檔題目將逐漸齊全，并將在命題中轉變傳統(tǒng)的學科體系觀念，結合生活實際和社會實踐，突出理論與知識結合，理論與實踐結合，引導學生關心社會、關心未來，實現高考命題改革與中學教育、教學觀念改革的結合，成為推動素質教育發(fā)展的重要內容。

重視和加強“中學數學建模教學初探”課題的研究和實踐，是數學教學為實現上述設想的突破口和出發(fā)點。二、課題研究的目標：著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究”。所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構，數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為二次函數來解決。而通過對問題數學化，模型構建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型方法。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。具體的講數學模型方法的操作程序大致上為：實際問題→分析抽象→建立模型→數學問題↑↓檢驗←實際解←釋譯←數學解由此，我們可以看到，培養(yǎng)學生運用數學建模解決實際問題的能力關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統(tǒng)去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。具體地說，通過建模教學：1.培養(yǎng)學生簡化、概括實際問題的能力。2.對于實際問題抽象得到的數學模型學生應靈活運用所學到的知識以及有關數學思想和方法進一步尋求一般地或最優(yōu)的方法，有利于更好地培養(yǎng)學生的運算、推理以及靈活運用現代計算工具的能力。3.培養(yǎng)學生對解出的結果是否符合實際、是否需要調整或修改原來的模型的評價意識。4.建?；顒映珜F對合作精神，而良好的協作精神可以使學生取長補短，充分發(fā)揮每個人的特長，所以培養(yǎng)學生的交流合作能力以及動手實踐能力也是建模教學追求的目標。三、課題研究內容：

我們認為，在學完有關數學知識單元后，應安排該單元知識的應用專題，重點是滲透數學建模思想，提高學生創(chuàng)新意識和化歸等能力。根據大綱要求和現行教材內容，主要有：集合交、并、補的應用，不等式的應用，函數的應用，指數函數和對數函數的應用，三角函數的應用，向量的應用，復數的應用，線性規(guī)劃的應用，圓錐曲線的應用，等差數列和等比數列的應用，較復雜的計數問題舉例，立體幾何的應用等。此外，結合時代發(fā)展的特點，涉及現代生活的經濟統(tǒng)計圖表（識別、分析、繪制），數據擬合（最小二乘法），動態(tài)規(guī)劃（貨郎擔問題，生產計劃問題等），網絡規(guī)劃（繪制、計算、優(yōu)化），矩陣對策，股票、彩票發(fā)行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，蛛網模型，法律與犯罪問題，就業(yè)與失業(yè)，廣告與稅款等等，亦可以專題講座等形式向學生作介紹，還可介紹有關跨學科的生態(tài)平衡、環(huán)境保護、人口生命等方面的問題，以適應時代要求。

在此基礎上，應對上述內容，對其建模的主要類型進行化歸，以適應中學水平，減輕學生負擔。3.1、建立或化歸為函數模型

如現實生活中普遍存在著數據的利用、分析與預測，線性回歸、曲線擬合、最優(yōu)化問題最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法解決。3.2、建立或化歸為方程或不等式模型

現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如投資決策、人口控制、資源保護、生產規(guī)劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解。3.3、建立或化歸為數列模型

現實生活中的許多經濟問題，如增長率、利息（單利、復利）、分期付款、現值、終值的計算及應用，投資收益，折舊，庫存等與時間相關的實際問題；生物工程中的細胞繁殖與分裂等問題；人口增長、生態(tài)平衡、環(huán)境保護，物理學上的衰變、裂變等問題，常通過建立相應的數列模型求解。3.４、建立或化歸為幾何應用模型現實世界中涉及一定圖形屬性的應用問題，如航行、建筑、測量、工廠選址、展開、折疊、視圖、容器設計、空間量的計算、人造衛(wèi)星運行軌道等，常需建立相應的幾何模型，應用幾何知識，轉化為用方程或不等式，或三角知識求解。3.5、建立或化歸為概率統(tǒng)計模型：現實世界中涉及彩票與摸獎，市場統(tǒng)計，評估預測，風險決策等常需建立或化歸為概率統(tǒng)計模型求解。3.6、建立或化歸為邊緣學科模型：現實世界中來自理、化、生、地、醫(yī)等方面的問題。四、實驗步驟：本課題研究與實踐的實施方案

第一階段（高一實施）：結合教材，以應用題為突破口，培養(yǎng)學生運用數學建模方法的意識，以簡單建模為主要目標。

這一階段，主要是提高學生運用數學知識解決實際問題的興趣，體會到數學的價值，享受到數學學習的樂趣，增強學好數學建模的信心。由于剛開始接觸這一新的思想方法，所以選取的例子要貼近教材內容，貼近學生認知水平，貼近學生生活實際，涉及的專業(yè)知識不能太多，且要易于理解。此階段的重點是站在提高學生素質的高度，把滲透數學建模的意識作為首要任務，并注重培養(yǎng)學生的閱讀理解能力和數學語言的轉換能力。同時，此階段師生共同討論，分析尋找等量關系或函數關系，將實際問題數學化，本階段主要是落實簡單建模的教學目標。

第二階段（高二實施）：安排與教材內容有關的典型案例，落實典型案例教學目標，讓學生初步掌握建模的常用方法。

到了高二，學生所學知識逐漸增多，教師應結合教材內容精心挑選典型案例，有計劃地讓學生參與建模過程，初步掌握理論分析法、類比聯想分析法、數據分析法、模擬方法和人工假設法等中學階段適宜介紹的數學建模方法，激發(fā)學生進一步學好數學的熱情，拓寬學生視野，接觸更多的社會知識和科學知識。

此階段主要落實典型案例教學目標。為此，應在教師指導下，改變傳統(tǒng)教學方式，學生自己獨立完成，然后由學生匯報并寫報告，使他們能對經過提煉加工、忽略了次要因素保留下來的諸因素之間的數量關系比較清楚的實際問題，構建其數學模型。

第三階段（高三實施）：落實綜合建模教學目標，以建模為核心，小組為單位開展建?；顒樱ㄟ^建模訓練，培養(yǎng)學生科學的思維方法，提高創(chuàng)新能力。

建模能力是解題者對各種能力的綜合應用，它涉及文字理解能力，對實際的熟悉程度，對相關知識的掌握程度，良好的心理素質，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學思維方法的綜合應用。為此，在高三階段，師生應組成“共同體”，在老師的點撥指導下，以小組為單位開展建模活動，同時提高學生獨立工作和相互合作的能力，小組成員最好是優(yōu)、良、中、差均衡搭配，并輪流做組長負責召集、記錄和寫報告，然后師生共同討論評定并總結，教師重點在科學的思維方法上給予點撥和總結。此時，有關課題可由教師提供，亦可由學生提供，并可讓學生去實踐，增強應用意識和經濟觀念，增長生活、生產知識，提高學生的應用能力和創(chuàng)新能力。

同時，考慮到高考的趨勢，在復習時應對教學大綱、考綱所涉及的、與中學水平相適應的現實生產和生活中的應用問題進行詳盡的分類，通過剖析典型例題，講述數學建模的科學的思維方法，對現實問題進行良好的遷移，使學生形成良好的數學認知結構，切實掌握常見應用問題的解答思路、技巧和方法，進而有效地提高數學建模和應用技能，特別是高考和各類考試中的應變能力。

應注意的是，在第三階段有的課題花時較多，教學控制有一定難度，應予以注意，如果有條件的地方，應鼓勵使用計算機。五、課題研究的成果：5.1、課題研究和實踐的初步成果①做到了將培養(yǎng)應用數學的意識貫徹在“從實際問題出發(fā)，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，構建數學模型，解決數學問題，從而解決實際問題”的全過程之中。

②在教學中通過引入貼近現實生活、生產和其他學科為實際背景的開放性或探索性例題，使學生明確了數學是怎樣應用于解決這些實際問題上去的，并能利用有關方法進行數學建模，從而解決這些實際問題的，從而體現數學的實際應用價值和數學的社會功能。③以數學建模為手段，激發(fā)了學生學習數學的積極性，學會了團結協作，建立良好人際關系、相互合作的工作能力。

④以數學建模為核心，培養(yǎng)了學生的動手能力和創(chuàng)新精神．通過建模過程中的思維方向的多向性以及一題多模的探討，豐富了學生的思維，激發(fā)學生的創(chuàng)新，從而為學生將來成為具有創(chuàng)造性思維的人才奠定了基礎。

⑤以數學建模的教學目標為導向，促進了數學建模理論的系統(tǒng)訓練，有效地改變了過去只進行應用題的解題訓練，避免陷入應用題的“題?！?，減輕了學生的負擔，切實推進了數學素質教育的發(fā)展。

⑥通過數學建模手段，培養(yǎng)學生的自我評價能力。許多數學模型的建立往往只有較好，沒有最好，甚至同一個問題可能有多個相互獨立的數學模型，這就給評價帶來了很大的困難，但同時也是挑戰(zhàn)。在這樣一種條件下可以更好地培養(yǎng)學生的自我評價能力，學生正是在這種不斷修改不斷完善的過程中，來反省自己，充實自己，從而形成獨立思考的習慣和良好的自我評價能力。5．2構建數學建模意識的基本途徑①為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。中學數學教師除需要了解數學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印?！笔裁词茿1型號？在弄清了各種型號的比例關系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學中。這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會。②數學建模教學還應與現行教材結合起來研究。教師應研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來解決；又如在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題,而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列教學中。要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發(fā)學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。③注意與其它相關學科的關系。由于數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數學的聯系是相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數后，可引導學生用模型函數y=Asin（wx+Φ）寫出物理中振動圖象或交流圖象的數學表達式。又如當學生在化學中學到CH4CL4，金剛石等物理性質時，可用立幾模型來驗證它們的鍵角為arccos（-1/3）=109°28′……可見，這樣的模型意識不僅僅是抽象的數學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數學建模知識探討各種邊緣學科產生深遠的影響。④在教學中還要結合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當的建模專題，如“代數法建模”、“圖解法建模”、“直（曲）線擬合法建模”，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長知識、積累經驗。這亦符合玻利亞的“主動學習原則”，也正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。5．3、把構建數學建模意識與培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維過程統(tǒng)一起來在諸多的思維活動中，創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力。麻省理工大學創(chuàng)新中心提出的培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，主要應培養(yǎng)學生靈活運用基本理論解決實際問題的能力。由此，我認為培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的過程有三點基本要求。第一，對周圍的事物要有積極的態(tài)度；第二，要敢于提出問題；第三，善于聯想，善于理論聯系實際。因此在數學教學中構建學生的建模意識實質上是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，因為建?；顒颖旧砭褪且豁梽?chuàng)造性的思維活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性；既要求思維的數量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建?；顒舆^程中，能培養(yǎng)學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉換、構造等能力。而這些數學能力正是創(chuàng)造性思維所具有的最基本的特征。①發(fā)揮學生的想象能力，培養(yǎng)學生的直覺思維眾所周知，數學史上不少的數學發(fā)現來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發(fā)靈感發(fā)現的。通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發(fā)現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的核心。例:證明分析：此題若作為“三角”問題來處理，當然也可以證出來，但從題中的數量特征來看，發(fā)現這些角都依次相差72°，聯想到正五邊形的內角關系，由此構造一個正五邊形（如圖）由于.從而它們的各個向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現了題中角度的數量特征。反映了學生敏銳的觀察能力與想象能力。如果沒有一定的建模訓練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的。正如E·L泰勒指出的“具有豐富知識和經驗的人，比只有一種知識和經驗的人更容易產生新的聯想和獨創(chuàng)的見解。②構建建模意識，培養(yǎng)學生的轉換能力恩格斯曾說過：“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠?！庇捎跀祵W建模就是把實際問題轉換成數學問題，因此如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養(yǎng)學生思維品質的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的。如在教學中，我曾給學生介紹過“洗衣問題”：給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數學角度去解釋這個問題呢？我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質，設那桶水的體積為x，衣服的體積為y，而衣服上臟物的體積為z，當然z應非常小與x、y比可忽略不計。第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為；按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為；第二次洗后衣服上殘留的臟物為；顯然有這就證明了第二種洗法效果好一些。事實上，這個問題可以更引申一步，如果把洗衣過程分為k步（k給定）則怎樣分才能使洗滌效果最佳？學生對這個問題的進一步研究，無疑會激發(fā)其學習數學的主動性，且能開拓學生創(chuàng)造性思維能力，養(yǎng)成善于發(fā)現問題，獨立思考的習慣。③以“構造”為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力?！耙粋€好的數學家與一個蹩腳的數學家之間的差別，就在于前者有許多具體的例子，而后者則只有抽象的理論?！蔽覀兦懊嬷v到，“建?！本褪菢嬙炷Ｐ?，但模型的構造并不是一件容易的事，又需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的基礎：創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應用數學知識。如：在一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應在什么地方會面，走的路程之和才能盡可能地少？分析：如何表示房子的位置？構造數軸，用數軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于x1、x2、…、xn，不妨設x1<x2<…<xn,又設各座房子中分別有a1、a2、…、an個小孩，則問題就成為求實數x，使f(x)=ai|x-xi|最小。又如：求函數的最小值。分析：學生首先想到的用不等式求得最小值為2，但忽略了等號成立的條件。若把函數變換為，則可構造數學模型“求過定點A（0,-4）及動點B（2sinθ，sin2θ）的直線AB斜率的最小值”而動點B（2sinθ，sin2θ）的軌跡是拋物線段：結合圖象知f(θ)的最小值為再如，用實際例子說明所表示的意義給變量賦予不同的內涵，就可得出函數不同的解釋，我們從物理和經濟兩個角度出發(fā)構造出實例：（1）X表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時后質點以10/s的初速度作勻加速運動，加速度為2m/s2，5秒鐘后質點以20/s的速度作勻速運動，10秒鐘后質點以-2m/s2的加速度作勻減速運動，直到質點運動到20秒末停下。（2）季節(jié)性服飾在當季即將到來之時，價格呈上升趨勢，設某服飾開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售，10周后當季即將過去，平均每周削價2元，直到20周末該服飾不再銷售。函數概念的形成，一般是從具體的實例開始的，但在學習函數時，往往較少考慮實際意義，本題旨在通過學生根據自己的知識經驗給出函數的實際解釋，體會到數學概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放從上面兩個例子可以看出，只要我們在教學中教師仔細地觀察，精心的設計，可以把一些較為抽象的問題，通過現象除去非本質的因素，從中構造出最基本的數學模型，使問題回到已知的數學知識領域，并且能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。5.4、數學建模例題的設計應注意的問題

通過實踐和探討，我們認為數學建模問題的編擬，應使其具有以下幾個主要特征：

①導向性：選編的數學建模問題，應在思想內容上富于時代信息，并注重真實性、科學性、趣味性，既有助于中學素質教育，又能考查分析問題解決問題的能力。

②隱蔽性：建模條件應具有適度的隱蔽性，這是考查和培養(yǎng)學生建模能力的一個重要方面。

③原始性：所給材料應保持其原始性。來自廣播電視、報刊雜志的信息，政府機關、企事業(yè)單位的報告、計劃、統(tǒng)計資料等等，都是數學建模問題原始資料的重要來源，也可以引導學生親自到一線調查研究，注意積累找課題。

④模擬性：由于中學生水平和年齡特征的限制，應對社會生活中實際問題進行簡化處理，使之成為適合于中學數學教育可用的形式。

⑤綜合性：由于應用題帶有很強的現實生活色彩，數量關系、信息儲存方式、實際情境設置、語言表述形式等都不同于常規(guī)訓練中的簡單例題，因此，建模課題應具有兩個層次的綜合性：（1）社會交流層次上的綜合性，包括生活知識、語言知識、相關學科知識的綜合；（2）數學素質層次上的綜合，包括基本知識、基本技能、基本數學思想方法和能力的“多位一體”的綜合。

⑥創(chuàng)新性：“創(chuàng)新是民族興旺的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力”（江澤民語），編制建模例題時，必須考慮培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，為此，應注重一題多?；蚨囝}一模、統(tǒng)計圖表等例題的編擬，密切關注現代科學技術的發(fā)展，使數學創(chuàng)新和高技術密切結合，溶入當代科學發(fā)展的主流。六、存在的問題：課題研究與實踐的繼續(xù)深化還應注意的問題

①應授予適合中學生水平的數學建模理論與方法，并通過系統(tǒng)訓練、加以強化，形成一個良好的認知結構，在中學階段應介紹哪些數學建模理論和方法，須作進一步研究。

②教學時間和活動時間的合理安排的探討。

③用傳統(tǒng)的教學方式是很難達到數學建模教學目的的，本文第一部分所介紹的實施方案，從根本上改變了傳統(tǒng)的教師講、學生聽，使學生真正成為學習活動的主體，但實施中教學控制有一定難度，還須進一步實踐。

④教師自身素質提高的問題，在實踐中，我們感到教師的素質和水平是數學建模教學能否成功的關鍵，同時也直接影響他（她）所教學生的素質，我們應積極投身到實施和推進素質教育的各項活動中去，更新教育觀念，不斷積累和更新專業(yè)知識，其中包括較寬廣的人文和科學素養(yǎng)，當代重要的如計算機語言等工具性學科，不斷創(chuàng)新，提高自身素質。

⑤關于數學建模教學的評價，評價設計的要求是使教、學、評三方面有一個較為客觀一致、便于操作的標準，促進教師改進教學，激勵學生努力學習，完成數學建模教學的主要目標。⑥對師生的計算機應用水平提出了很高的要求。他們往往由3～7人組成一個小組，共同研究同一個問題。在建立一個數學模型的過程中，往往要經歷以下過程：

模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，搜集各種信息。（學生通過市場調查、查閱相關資料、利用因特網，……，收集與問題相關的大量信息）

模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。用數學語言來描述問題。（將收集到的信息進行篩選，選出有用的資料，進行適當的假設；實際問題中有許多因素，在建立數學模型時不可能、也沒有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮，只能考慮其中的最主要的因素，舍棄其中的次要因素。尤其在高中階段更應大力簡化。）

模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。（在簡化假設的條件下，利用問題內在規(guī)律建立數學模型）

模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（借助計算機的計算功能）

模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。（在理論上對模型的合理性進行分析，考慮必要的誤差帶來的影響）

模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重復建模過程。

模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。

我們曾經與學生共同解決過這樣一個問題：放風箏的數學模型。要研究在空中漂浮不定的風箏，需要很復雜的知識，可能包括了物理中的流體力學的知識，也包括了地理方面空氣對流的知識，更需要高等數學方面的知識……但是我們通過一系列簡化假設，把放風箏這