立體幾何及解題技巧以及空間距離專題復(fù)習(xí)

-.z.知識(shí)點(diǎn)整理(一)平行與垂直的判斷(1)平行：設(shè)的法向量分別為，則直線的方向向量分別為，平面線線平行∥∥；線面平行∥；面面平行∥∥(2)垂直：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則線線垂直⊥⊥；線面垂直⊥∥；面面垂直⊥⊥(二)夾角與距離的計(jì)算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐標(biāo)運(yùn)算(1)夾角：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩直線,所成的角為(),；②直線與平面所成的角為(),；③二面角─l─的大小為(),(2)空間距離點(diǎn)、直線、平面間的距離有種.點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn),兩異面直線間的距離是難,點(diǎn)到平面的距離:(定理)如圖，設(shè)是是平面的法向量，AP是平面的一條斜線，其中則點(diǎn)P到平面的距離(實(shí)質(zhì)是在法向量方向上的投影的絕對(duì)值)異面直線間的距離:(的公垂向量為,分別是上任一點(diǎn)).ABABCDl例1．如圖，二面角-l-的大小為1200，點(diǎn)A，B，ACl于點(diǎn)C，BDl于點(diǎn)D，且AC=CD=DB=1.求：〔1〕A、B兩點(diǎn)間的距離；〔2〕求異面直線AB和CD的所成的角〔3〕AB與CD的距離.解：設(shè)則〔1〕，A、B兩點(diǎn)間的距離為2.〔2〕異面直線AB和CD的所成的角為600〔3〕設(shè)與AB、CD都垂直的非零向量為，由得①；由得②，令*=1，則由①、②可得z=-1，，由法則四可知，AB與CD的距離為.小結(jié)：任何非正交基底下的證明、計(jì)算都先設(shè)基底，并將條件也用基底表示，特別證明線面平行時(shí)，如AB//平面PEF可以將有基底表示，，也用基底表示，最后用待定系數(shù)法，將λ和μ求出。例2。如圖，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=1。另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形.〔1〕求證：AD⊥BC；〔2〕求二面角B—AC—D的大?。弧?〕在段線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角？假設(shè)存在，確定點(diǎn)E的位置；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.20．解法一：〔1〕方法一：作AH⊥面BCD于H連DH.AB⊥BDHB⊥BD，∵AD=，BD=1∴AB==BC=AC∴BD⊥DC又BD=CD，則BHCD是正方形，則DH⊥BC.∴AD⊥BC，方法二：取BC的中點(diǎn)O，連AO、DO，則有AO⊥BC，DO⊥BC.∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD〔2〕作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角B—AC—D的平面角.∵AB=AC=BC=，∴M是AC的中點(diǎn)，且MN//CD.則BM=由余弦定理得.〔3〕設(shè)E為所求的點(diǎn)，作EF⊥CH于F，連FD，則EF//AH，∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角，則∠EDF=30°，設(shè)EF=*，易得AH=HC=1，則CF=*，F(xiàn)D=.故線段AC上存在E點(diǎn)，且CE=1時(shí)，ED與面BCD成30°角.解法二：〔1〕作AH⊥面BCD于H，連BH、CH、DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH=1，以D為原點(diǎn)，以DB為*軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B〔1，0，0〕，C〔0，1，0〕，A〔1，1，1〕.〔2〕設(shè)平面ABC的法向量為=，同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為.由圖可以看出，二面角B—AC—D的大小應(yīng)等于=，即所求二面角的大小是〔3〕設(shè)E〔*，y，z〕是線段AC上一點(diǎn)，則平面BCD的一個(gè)法向量為要使ED與面BCD成30°角，由圖可知的夾角為60°，題型二、利用坐標(biāo)系或幾何法解決距離、角度及其證明問(wèn)題例3、如題〔18〕圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．求：〔Ⅰ〕直線到平面的距離；〔Ⅱ〕二面角的平面角的正切值．解法一:〔Ⅰ〕平面,AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過(guò)點(diǎn)A作于G，因∥，故；又平面，由三垂線定理可知，，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為?！并颉秤杉褐?，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中,,由得,,從而在中,,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二:〔Ⅰ〕如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)設(shè)可得,由.即,解得∥，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則因且,而,此即解得①,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有②聯(lián)立①,②解得,.為直線AB到面的距離.而所以〔Ⅱ〕因四邊形為平行四邊形,則可設(shè),.由得,解得.即.故由,因,,故為二面角的平面角，又,,,所以例3、如圖,四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，圖4側(cè)面SBC⊥底面ABCD.∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，圖4SA＝SB＝.(1)證明：SA⊥BC；(2)求直線SD與平面SAB所成角的大小.求異面直線DC、SA的距離.解:(1)作于E點(diǎn),則又∵BC=2∴,即E點(diǎn)是BC的中點(diǎn).又∵∴,即SE是BC的中垂線.又∵側(cè)面SBC⊥底面ABCD∴.(2)以E為原點(diǎn),分別以向量的正方向?yàn)?軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖4所示.容易求得SE=1,于是A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),D(,-2,0),S(0,0,1),E(0,0,0).設(shè)平面SAB的法向量,∵,∴令,得.又∵設(shè)直線SD與平面SAB所成的角為,則∴.題型三、探索性問(wèn)題△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 〔Ⅰ〕求證：不管λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC； 〔Ⅱ〕當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？21．證明：〔Ⅰ〕∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.………………3分又∴不管λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不管λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC…………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴由AB2=AE·AC得故當(dāng)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD.………………12分22.〔2009卷理〕〔本小題總分值12分〕如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)?！并瘛城笞C：AC⊥SD；〔Ⅱ〕假設(shè)SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC。假設(shè)存在，求SE：EC的值；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由。解法一：〔Ⅰ〕連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.(Ⅱ)設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。又，所以,連，由〔Ⅰ〕知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。〔Ⅲ〕在棱SC上存在一點(diǎn)E，使由〔Ⅱ〕可得，故可在上取一點(diǎn),使,過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：〔Ⅰ〕；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。于是則：故從而(Ⅱ)由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為，則,所求二面角的大小為〔Ⅲ〕在棱上存在一點(diǎn)使.由〔Ⅱ〕知是平面的一個(gè)法向量，且設(shè)則而即當(dāng)時(shí)，而不在平面，故故.題型四：翻折問(wèn)題〔此題總分值15分〕如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面.〔Ⅰ〕求二面角的余弦值；〔Ⅱ〕點(diǎn)分別在線段上，假設(shè)沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。解析：此題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等根底知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同事考察空間想象能力和運(yùn)算求解能力?！并瘛辰猓喝【€段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-*yz則〔2，2，〕，C〔10，8，0〕，F(xiàn)〔4，0，0〕，D〔10，0，0〕.故=〔-2，2，2〕，=〔6，0，0〕.設(shè)=〔*,y,z〕為平面的一個(gè)法向量，-2*+2y+2z=0所以6*=0.取，則。又平面的一個(gè)法向量，故。所以二面角的余弦值為〔Ⅱ〕解：設(shè)則，因?yàn)榉酆?，與重合，所以，故，，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。方法二：〔Ⅰ〕解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。因?yàn)?及是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面,故，又因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，易知∥，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值為?！并颉辰猓涸O(shè),因?yàn)榉酆螅c重合，所以，而，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。1、如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD平面CDE；〔III〕求二面角A-CD-E的余弦值。方法一：〔Ⅰ〕解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED〔或其補(bǔ)角〕為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°〔II〕證明：因?yàn)椤睮II〕由〔I〕可得，方法二：如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得〔I〕所以異面直線與所成的角的大小為.〔II〕證明：，〔III〕又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為2、在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1。〔1〕求證：平面CBD⊥平面ABD；〔2〕是否存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°？如果存在，求出CD的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)找出一個(gè)角θ，使得存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為θ。解：〔1〕∵AB⊥BC，AB⊥BD∴面ABD⊥面CBD〔2〕設(shè)CD＝*，在面CBD作CE⊥BD于E由〔1〕知平面ABD⊥面BCD，且BD為交線∴CE⊥平面ABD作EF⊥AD于F，連結(jié)CF，則CF⊥AD∴∠CFE為"二面角〞C—AD—B的平面角，且∠CFE＝30°又在Rt△BCD中，CE·BD＝CB·CD又∵CD⊥BC，又BC為AC在面BCD上射影∴CD⊥AC則在Rt△ACD中，CF·AD＝AC·CD故不存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°故θ可以取45°～90°之間的任意角。3、如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且〔Ⅰ〕求證：對(duì)任意的，都有〔Ⅱ〕設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，假設(shè)，求的值解：〔Ⅰ〕證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE〔Ⅱ〕解法1：如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=在Rt△ADE中,從而在中，.由，得.由，解得，即為所求.證法2：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為*，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D〔0，0，0〕，A〔，0，0〕，B〔，，0〕，C〔0，，0〕，E〔0，0〕，，即。解法2：由〔I〕得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(*，y，z)，則由得。易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為..0<，，.由于，解得，即為所求。4、在四邊形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，，將△ABD沿對(duì)角線BD折起到如下圖PBD的位置，使平面.⑴求證：；⑵求二面角的余弦值大?。虎乔簏c(diǎn)D到平面PBC的距離.解：〔1〕折疊前，在直角梯形ABCD中，易知∠CBD=∠ADB=45°又∠BCD=45°∴∠BDC=90°，即CD⊥BD

折疊后，在三棱錐P—BCD中，CD⊥BD，且平面PBD⊥平面BCD，BD為交線∴CD⊥平面PBD∴CD⊥PB〔2〕取BD中點(diǎn)O，作OE⊥BC于E，連PO，PE

∵PB=PD∴PO⊥BD又平面PBD⊥平面BCD，BD為交線∴PO⊥平面BCD在平面BCD射影為OE由三垂線定理PE⊥BC∴∠PEO是二面角P—BC—D平面角〔3〕設(shè)D到平面PBC距離為h或者：由〔1〕知PB⊥CD又PB⊥PD∴PB⊥面PDC∴面PDC⊥面PBC，PC為交線過(guò)D作DH⊥PC，則DH⊥面PBC∴DH即為D點(diǎn)到面PBC的距離空間距離專題復(fù)習(xí)題型一：兩條異面直線間的距離【例1】如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).例1題圖(1)求證：EF是AB和例1題圖(2)求AB和CD間的距離；【規(guī)解答】(1)證明：連結(jié)AF，BF，由可得AF=BF.又因?yàn)锳E=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于點(diǎn)F.所以EF是AB和CD的公垂線.(2)在Rt△BEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.例2題圖由(1)知EF是AB、CD的公垂線段，所以AB和CD間的距離為.例2題圖【例2】如圖,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求異面直線AB、CD之間的距離.設(shè)AB中點(diǎn)為E，連CE、ED.∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.∴AB⊥平面CED.設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連EF，則AB⊥EF.同理可證CD⊥EF.∴EF是異面直線AB、CD的距離.∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.∴AB、CD的距離是.【解后歸納】求兩條異面直線之間的距離的根本方法：〔1〕利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長(zhǎng)度.〔2〕如果兩條異面直線中的一條直線與過(guò)另一條直線的平面平行，可以轉(zhuǎn)化為求直線與平面的距離.〔3〕如果兩條異面直線分別在兩個(gè)互相平行的平面，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離.例3例3題圖【例3】如圖(1),正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求：A到平面BCD的距離；過(guò)A作AO⊥平面BCD于O，連BO并延長(zhǎng)與CD相交于E，連AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=.又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=.∴A到平面BCD的距離是.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.【規(guī)解答】(1)作AF⊥DC于F,連結(jié)PF,∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=,在Rt△PAF中tan∠PFA=,∴∠PFA=arctan.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,則BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,∴PB=a,∴AH=.如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.〔Ⅰ〕求BF的長(zhǎng)；〔Ⅱ〕求點(diǎn)C到平面AEC1解法1：〔Ⅰ〕過(guò)E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.〔Ⅱ〕延長(zhǎng)C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F過(guò)C作CM⊥AG，垂足為M，連C1M由三垂線定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長(zhǎng)即為C到面AEC1解法2：〔I〕建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，則D〔0，0，0〕，B〔2，4，0〕，A〔2，0，0〕，C〔0，4，0〕，E〔2，4，1〕，C1〔0，4，3〕.設(shè)F〔0，0，z〕.∵AEC1F〔II〕設(shè)為面AEC1F的法向量，的夾角為a，則∴C到平面AEC1F的距離為正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，D是AC的中點(diǎn)。BACD〔1〕求點(diǎn)到直線AC的距離.〔2〕求直線到平面的距離．BACD解：〔1〕連結(jié)BD，，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線AC的距離。在中．．〔2〕因?yàn)锳C與平面BD交于ＡＣ的中點(diǎn)Ｄ，所以到平面BD的距離等于Ａ點(diǎn)到平面BD，，，即直線到平面BD的距離是．【解后歸納】求空間距離注意三點(diǎn)：1．常規(guī)遵循一作二證三計(jì)算的步驟；2．多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距離；3．體積法是一種很好的求空間距離的方法．【例4】如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).〔1〕證明：D1E⊥A1D；.解析：法1〔1〕∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E〔2〕設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故〔3〕過(guò)D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，∴∠DHD1為二面角D1—EC—D的平面角.設(shè)AE=*，則BE=2－*〔1〕〔2〕因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E〔1，1，0〕，設(shè)平面ACD1的法向量為，，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為〔3〕設(shè)平面D1EC的法向量，∴由令b=1,∴c=2,a=2－*，∴依題意∴〔不合，舍去〕，.∴AE=時(shí)，二面角D1—EC—D的大小為.一、根底夯實(shí)1.把邊長(zhǎng)為a的正△ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離是()A.aB.C.D.2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是14，則點(diǎn)P到平面α的距離為()A.7B.9C.11D.133.從平面α外一點(diǎn)P向α引兩條斜線PA,PB.A,B為斜足,它們與α所成角的差是45°,它們?cè)讦恋纳溆伴L(zhǎng)分別是2cm和12cm,則P到α的距離是()A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm4.空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為()A.B.C.D.a5.在四面體P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直.M是面ABC一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PBC、PCA的距離分別為2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是()A.7B.8C.9D.106.如圖，將銳角為60°，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線折成60°的二面角，則AC與BD的距離是()第6題圖A.B.C.D.第6題圖第第7題圖7.如圖，四棱錐P—ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d1，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2，則有()A.1<d1<d2B.d1<d2<1C.d1<1<d2D.d2<d1<18.如下圖，在平面α的同側(cè)有三點(diǎn)A、B、C，△ABC的重心為G.如果A、B、C、G到平面α的距離分別為a、b、c、d，則a+b+c等于()A.2dB.3dC.4dD.以上都不對(duì)第第9題圖第第8題圖9.如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為a，∠A=60°，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)且，沿EH和FG把菱形的兩銳角折起，使A、C重合，這時(shí)點(diǎn)A到平面EFGH的距離是()A.B.C.D.二、思維激活10.二面角α-MN-β等于60°，平面α一點(diǎn)A到平面β的距離AB的長(zhǎng)為4，則點(diǎn)B到α的距離為.11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=a，則A、B兩點(diǎn)間距離為.12.設(shè)平面α外兩點(diǎn)A和B到平面α的距離分別為4cm和1cm，AB與平面α所成的角是60°，則線段AB的長(zhǎng)是.13.在直角坐標(biāo)系中,A(3,2),B(-3,-2)沿y軸把直角坐標(biāo)系折成平面角為α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，則cosα的值是.三、能力提高14.在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PBC的距離．第15題圖15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB為直角，側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成的二面角為60°，M為AA1上的點(diǎn).∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB第15題圖(1)求BM與側(cè)面AC1所成角的正切值.(2)求頂點(diǎn)A到面BMC1的距離.第17題圖16.斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=第17題圖〔1〕求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小〔2〕求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;〔3〕求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離.17.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB與BC的中點(diǎn)，EF與BD交于H(1)求二面角B1—EF—B的大小.(2)試在棱B1B上找一點(diǎn)M，使D1M⊥面EFB1，并證明你的結(jié)論(3)求點(diǎn)D1到面EFB1的距離.空間的距離習(xí)題解答1.D折后BC=,∴點(diǎn)A到BC的距離為.2.ABC=.∴△ABC外接圓半徑R=,∴點(diǎn)P到α的距離為3.D設(shè)PO⊥α垂足為O,|PO|=*cm,∠OAP=β,∠OBP=γ,則β-γ=45°,tanβ=,tanγ=,tan(β-γ)=tan45°展開(kāi)左邊并整理得:*2-10*+24=0,解得*1=6,*2=4.4.BP、Q的最短距離即為異面直線AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)符合題意.5.APM=.6.C取BD的中點(diǎn)O連AO、OC，作OE⊥AC于E，則OE為所求，∴AO=CO=AC=.7.D點(diǎn)C到平面PAB的距離d1=,點(diǎn)B到平面PAC的距離d2=，∵,∴d2<d1<1．8.B|MM′|=，又.∴a+b+c=3d.9.A設(shè)BD的中點(diǎn)為O，∴EO=，點(diǎn)A到平面EFGH的距離為.10.2作AC⊥MN于C，連BC，則BC⊥MN，第13題圖解∴∠ACB=60°，又MN⊥平面第13題圖解∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，則BD⊥α，∴BD的長(zhǎng)即為所求，得BD=2．11.AB=.12.2cm或cm當(dāng)點(diǎn)A、B在α同側(cè)時(shí)，AB=;當(dāng)點(diǎn)A、B在α異側(cè)時(shí)，AB=13.如圖,AB″=∵BC⊥y軸,B′C⊥y軸,∴∠B′CB″為二面角A—Oy—B的平面角.∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3,第14題圖解B′B″=,由余弦定理易知cosα=.第14題圖解14.如圖，將點(diǎn)E到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化成線面距，再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距.連AC、BD，設(shè)AC、BD交于O，則EO∥平面PBC，∴OE上任一點(diǎn)到平面PBC的距離相等．∵平面PBC⊥平面ABCD，過(guò)O作OG⊥平面PBC，則G∈BC，又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a，∴OC=,OG=OCsin60°=.點(diǎn)評(píng)：假設(shè)直接過(guò)E作平面PBC的垂線，垂足難以確定．在解答求距離時(shí)，要注意距離之間的相互轉(zhuǎn)化有的能起到意想不到的效果．15.(1)∵三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴∠BAC為二面角B1—AA1—C1∴∠BAC=60°.又∵∠ACB為直角，∴BC⊥側(cè)面AC1.連MC，則MC是