高中數(shù)學(xué)涂色問題常用技巧

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助!高中數(shù)學(xué)涂色問題常用技巧王忠全涂色問題是一個(gè)復(fù)雜而有趣的問題，高考中不時(shí)出現(xiàn)，處理涂色問題常用的方法是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理——分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理；常用的數(shù)學(xué)思想是等價(jià)轉(zhuǎn)換，即化歸思想；常見問題有：區(qū)域涂色、點(diǎn)涂色和線段涂色、面涂色；?？紤]的問題是顏色是否要用完。13421342解析：按題意，顏色要用完，1有4種涂法；2有3種涂法；3有2種涂法；涂1，2，3只用了三種顏色，4必須涂第四種顏色，有1種涂法，共有=24種涂法。1341342解析：顏色可供選擇，可理解為顏色可用完和不用完兩種，分類處理，至少要用三色涂空，才能滿足要求。法1：恰用三色：=48種涂法；恰用四色：同例1，有24種涂法。共有24+48=72種涂法。法2：1有4種涂法；2有3種涂法；3有2種涂法；4有3種涂法；共72種涂法。評(píng)析：由上述解法知，顏色用完和可供選擇是兩回事，做題時(shí)一定要區(qū)分。區(qū)域涂色問題（一）、圓形區(qū)域涂色：處理圓形區(qū)域涂色大致有三種方法：間空涂色法；公式法。525243間空涂色法；法1、用空分類選擇1，31）1，3同色，則1，3有種方法，2有種方法，4不可能與1，3同色，但可與2同色，分兩類：4與2同色，只用了兩種顏色，5有2種方法；4與2不同色，則4有2種方法，5有2種涂法，此時(shí)，共有種方法。2）1，3不同色，則1，3有種方法，2有種方法，4與1同色，5有3種方法；4與2不同色，則4有2種涂法，5有2種涂法，共有=168種方法，綜上所述，共有72+168=240種涂法。法2：公式法共有35+3（-1）5=240種方法。定理：用m種顏色（可選擇）填圓形區(qū)域的n個(gè)空，一空涂一色，鄰空不同色的涂法有種。n2…3123…n2…3123…..n不妨把之剪開,化為矩形區(qū)域,共有種涂法,但區(qū)域1、n不能涂同色，把1、n捆綁成一個(gè)空，有an-1種涂法，則其中，設(shè)令，則r=1，可知，這個(gè)公式適用于顏色可選擇性問題和最低保底顏色問題，不適用于“恰用色”問題。例4（2003江蘇）四種不同顏色涂在如圖所示的六個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色的涂法共有種。6565134625134解析：依題意，四種顏色都要用上，屬于恰用色，同時(shí)，填這六個(gè)空最少要4種顏色，屬于保低色，可用公式。把左圖等價(jià)轉(zhuǎn)化為右圖.先涂1：有4種方法；余下3色涂5個(gè)空（圓形）有（3-1）5+(-1)5（3-1）=30種涂法,由分步計(jì)數(shù)原理,共有120種涂法.若用間空涂色,可這樣考慮:1）涂1,有4種方法，余下3種顏色；2）2、4同色，有種涂法；此時(shí)，3有2種涂法；5與3同色時(shí)，6有1種涂法（顏色要用完）；5與3不同色時(shí)，5有1種涂法，此時(shí)6有1種涂法，共有種涂法；2、4不同色，有=6種涂法；此時(shí)3有1種涂法；若5與3同色，6有1種涂法；5與3不同色，6有2種涂法（與4，或3同色）共有）=18種涂法；綜上所述，由分步計(jì)數(shù)原理，共有120種涂法評(píng)析：分類討論，種類繁多，要做到不重不漏，必須小必應(yīng)對，任何方法都不是萬能的，關(guān)鍵是要熟練掌握。1315413154二、點(diǎn)涂色問題用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想把點(diǎn)涂色問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題，是做題的關(guān)鍵。41234123PABC解析；一腳把點(diǎn)P踩到ABC平面，問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為給下圖涂色。共有種，即種涂法。變式PPABC答案：，或=120種三、線段涂色用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想把點(diǎn)涂色問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題。451236451236PABC123456解析：把圖轉(zhuǎn)化為：1）恰用3色，則1、6；2、5；3、4分別同色，有種涂法；2）恰用4色，則1、6；2、5；3、4有兩對分別同色，如1、6；2、5同色，3、4有種涂法，兩同色組有種涂法，共有種涂法3）恰用5色，則1、6；2、5；3、4有1對分別同色，如1、6；則3、4，2、5有種涂法，共有種涂法4）恰用6色，有種涂法；綜上所述：共有4080種涂法。評(píng)析，若你很難轉(zhuǎn)化為區(qū)域問題，就不要轉(zhuǎn)化，按線段的相對性可做。四、面涂色問題同上面說過的方法類似，能轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)，否則用面的相對性求解。例7、用6種顏色（可選擇）給正方體的6個(gè)面涂色，要求鄰不同色，有多少種不同的涂法？D`C`D`C`A`B`DCAB6654123解析：圖轉(zhuǎn)化為1）恰用3色，有=24種；2）恰用4色，有=72種共有96種。五、恰用色與可選色的聯(lián)系設(shè)保底色為涂法數(shù)為am，恰用色涂法數(shù)為an，則可選色涂法數(shù)Bn=am+am+1+…+an1345213452解析：按要求涂色，最少要3種顏色（保底色），用3色涂之，1有3種