第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第1頁
第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第2頁
第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第3頁
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第二節(jié)配方法和初等變換化二次型_第5頁
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第二節(jié)將n元實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過可逆的線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來的項(xiàng)所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以再配方，得所用變換矩陣為思考題解答用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形由第一節(jié)內(nèi)容可以知道任何一個(gè)二次型都可以表示成矩陣形式然后，經(jīng)過某個(gè)坐標(biāo)變換可以將它的二次型矩陣變成對角矩陣。其中矩陣A是對稱矩陣，即AT=A。我們知道，任何一個(gè)可逆矩陣都等于一系列的初等矩陣的乘積一系列的合同運(yùn)算經(jīng)過一系列的合同運(yùn)算使矩陣A變成對角矩陣D矩陣A右乘pi和左乘之間的關(guān)系如何？先來看AE(i,j)相當(dāng)于對A作初等變換:i列與j列交換ET(i,j)A相當(dāng)于對A做初等變換：i行與j行交換，初等矩陣有六種（三類）。AE(i(k))相當(dāng)于對A作初等變換:i列乘以k。ET(i(k))A相當(dāng)于對A作初等變換:i行乘以k。AE(i,j(k))相當(dāng)于對A做初等變換：A的第j列加第i列的k倍ET(i,j(k))A相當(dāng)于對A做初等變換：A的第j行加第i行的k倍所以，上述一系列的合同運(yùn)算可以通過矩陣的初等變換實(shí)現(xiàn)，對二次型矩陣A進(jìn)行一次初等列變換，再對A做一次相應(yīng)的初等行變換。直到變A為一個(gè)對角矩陣。這樣就求得二次型F的標(biāo)準(zhǔn)型。其中D是對角矩陣是使A對角化的合同矩陣。單位矩陣E經(jīng)過一系列的初等列變換得到C。以上分析告訴我們，可以通過以下步驟得到變換矩陣C以

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