線性系統(tǒng)理論MATLAB大作業(yè)

蘭州理工大學(xué)2015級(jí)線性系統(tǒng)理論大作業(yè)線性系統(tǒng)理論Matlab實(shí)驗(yàn)報(bào)告1、在造紙流程中，投料箱應(yīng)該把紙漿流變成2cm的射流，并均勻噴灑在網(wǎng)狀傳送帶上。為此，要精確控制噴射速度和傳送速度之間的比例關(guān)系。投料箱內(nèi)的壓力是需要控制的主要變量，它決定了紙漿的噴射速度。投料箱內(nèi)的總壓力是紙漿液壓和另外灌注的氣壓之和。由壓力控制的投料箱是個(gè)耦合系統(tǒng)，因此，我們很難用手工方法保證紙張的質(zhì)量。在特定的工作點(diǎn)上，將投料箱線性化，可以得到下面的狀態(tài)空間模型：-0.8-0.8+0.020.050.001-0.020.001其中，系統(tǒng)的狀態(tài)變量X1二液面高度，x2二壓力，系統(tǒng)的控制變量111=紙漿流量u2二氣壓閥門的開啟量。在上述條件下，試設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器，使系統(tǒng)具有實(shí)特征根，且有一個(gè)根大于5解：本題目是在已知狀態(tài)空間描述的情況下要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，從而使得系統(tǒng)具有實(shí)數(shù)特征根，并要求要有一個(gè)根的模值要大于5,而特征根是正數(shù)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這樣的設(shè)計(jì)是無意義的，故而不妨采用狀態(tài)反饋后的兩個(gè)期望特征根為-7,-6,這樣滿足題目中所需的要求。要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)首先要判斷其是否能控，即求出該系統(tǒng)的能控性判別矩陣，然后判斷其秩，從而得出其是否可控。Matlab判斷該系統(tǒng)可控性和求取狀態(tài)反饋矩陣K的程序，如圖1所示，同時(shí)求得加入狀態(tài)反饋后的特征根并與原系統(tǒng)的特征根進(jìn)行了對(duì)比。

12356rS91011121314151713192021—clc聽殳置口=-血的狀態(tài)變量反饋控制器A=r-0.80.02 020];B=[0.051;0.0010];C=[10:01];D=D;t=0:0.05:1Q;Qc^ctrbCA.B): 勞首先判斷瘁統(tǒng)的能控性ifrank(Qc)==aizeA''dispC系統(tǒng)能控’)eIsedisp(J系統(tǒng)不可控’)end貯r-7-5i； %不放妨假定期望的持征根為-w-日分別清足給定的要求ifrankCA)==5i2e(A)disp(J極點(diǎn)個(gè)敏與系統(tǒng)配置合理’)eIsedisp(J極點(diǎn)個(gè)敏與系統(tǒng)配置不合理。)endEnlace&田p) %求取狀巻反饋口=-歐的系類矩陣Kroot3new=eig(Al)農(nóng)加入狀態(tài)反成后折瘵統(tǒng)的持征根rootsold=eig(A) %原系統(tǒng)的特征根A1=A-E^K;B1=E;C1=C;111=。淳加入狀態(tài)反饋后新的狀態(tài)矩陣J_l圖1系統(tǒng)能控性、狀態(tài)反饋矩陣和特征根的分析程序上述程序的運(yùn)行結(jié)果如圖2所示：圖2系統(tǒng)能控性、反饋矩陣和特征根的運(yùn)行結(jié)果

圖2中為圖Imatlab程序的運(yùn)行結(jié)果，經(jīng)過判斷得知系統(tǒng)是可控的，同時(shí)極點(diǎn)的配置個(gè)數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)相符，求得了狀態(tài)反饋矩陣K的值，并把原系統(tǒng)的特征根(rootsold)和加入狀態(tài)反饋后的特征根(rootsnew)進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)通過特征值可以看出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2、描述恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程為:運(yùn)用ctrb運(yùn)用ctrb函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的能控型矩陣,并驗(yàn)證系統(tǒng)是不可控的;…01000,-0.1-0.500010.50000x+000100000.510000計(jì)算從u到Y(jié)的傳遞函數(shù)，并消去傳遞函數(shù)中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的狀態(tài)空間模型。在消去了公因子之后，請(qǐng)用tf2ss函數(shù)確定新的狀態(tài)變量模型;證明(b)中得到的狀態(tài)變量模型是能控的；說明恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈是否穩(wěn)定？討論狀態(tài)變量模型的能控性和復(fù)雜性的關(guān)系(假設(shè)用狀態(tài)變量的數(shù)目來度量復(fù)雜性)。解：該題是通過描述的恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程求解相應(yīng)問題。(a)運(yùn)用ctrb函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣，并判斷該系統(tǒng)不可控，詳細(xì)Jnatlab程序和判斷結(jié)果如圖3和圖4所示。圖3是判斷該系統(tǒng)能控性的matlab程序，通過求得能控性矩陣Qc,并通過秩判據(jù)來判定該系統(tǒng)是否能控。

1——tic■□2監(jiān)恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈系統(tǒng)mat1訪分析3%(a)i——A=[01000;-0.1-3.5000；O.E0000；5001000;0.51000];e——B=[Q1000]J;——C=[00010]:呂——Qc^ctrb(A,B) 禺系統(tǒng)的能空性拒陣g——:ifrank(Qc)==5 %判斷系統(tǒng)的可控性〔秩判據(jù))10——dispC瘁統(tǒng)能密)it——else12—disptJ系統(tǒng)亦可控’)13——end槌圖3系統(tǒng)能控性的判別程序判定的結(jié)果如圖4所示:圖4系統(tǒng)的能控性矩陣和能控性判定結(jié)果通過matlab分析求得了系統(tǒng)的能控性矩陣Qc,同時(shí)通過秩判據(jù)判定該系統(tǒng)不可控。(b)、(c)計(jì)算u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)，并通過tf2ss函數(shù)確定新的狀態(tài)變量模型，同時(shí)判斷該模型是能控的。具體程序如圖5所示，判斷的結(jié)果如圖6示。圖7求取極值點(diǎn)的源程序圖7求取極值點(diǎn)的源程序圖6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、新的狀態(tài)空間模型和能控性判定結(jié)果圖6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、新的狀態(tài)空間模型和能控性判定結(jié)果:■—clcA=[01000;-0.1-0.500OrLJ30.50000;□01000;0.51000];=——B=[010□0]J:5—C=[000101:6——syinss:T—Gl=C*.inv(s*eye(sizeC.A))~AJ京B;—0——nrnii=j50]:den.=[105100]:—晝工買三土十(ninnjden.)1口—-[AljB1,CljDI]=tf2as(nujn_,den^:—sys=SE(Al,El.Cl^Dl) 將新的狀態(tài)空I日I模型12—Qc^ctrb^Al,Bl): 將羣統(tǒng)的能空性擔(dān)陣13——ifraiTk(Qcl)==siEe(Al)K判斷承統(tǒng)的可控性〔秩判據(jù))-—di=p<J黒統(tǒng)能控”)15—else—di3pr系統(tǒng)不可控’)■—河可圖5確定新狀態(tài)空間并判定能控性的程序&di±DebugDesktopWindowHe=lp亍-NewtoMATLAB?WatchthisVidc-Or-seeCMENrorresaciDuMr■口！5g「g：~LTrans-fer ionz503-hs'3-hs'2■0m匸entiiTLioiAS—tim曰modm1.城卒縮前控分析得知u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)可通過狀態(tài)空間描述的矩陣求得，同時(shí)通過tf2ss函數(shù)確定了新的狀態(tài)空間(ALBl,Cl,D1),運(yùn)用函數(shù)ss求得新模型的狀態(tài)方程，再通過能控型矩陣判定系統(tǒng)的能控性。顯然得到系統(tǒng)是可控的，同時(shí)還要聲明通過傳遞函數(shù)求得空間描述和通過狀態(tài)矩陣求得結(jié)果不同，從而驗(yàn)證了傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部描述不完整。(d)判斷恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈系統(tǒng)穩(wěn)定性以下通過求得矩陣的特征值即傳遞函數(shù)的極值點(diǎn)來判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。圖7是求取極值點(diǎn)的程序，通過roots和eig函數(shù)來求取，目的進(jìn)行必要的對(duì)比。圖8是通過兩種途徑獲得的系統(tǒng)的極值點(diǎn)。1——clc2U恒価制導(dǎo)導(dǎo)腱系統(tǒng)ab分析，3%1--—A-ti1000;-0.1-0.5000;50.5D000：001C00：0.51000]：6B=[01000]\7G=[000101;Ssyiss;9G1二饑叫卩呂*eye(size(A))-A)祐；■10sys=-tf(50j[1035jljOj0]J■11t二[0:0.L:100jJ:12y=rt龍只胞”13P=l10j5jljOjOj:14Kl=roots(p).15K2=eig(A)■圖9系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖9系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖8是圖7程序的運(yùn)行結(jié)果:圖8系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和極值點(diǎn)從求得的結(jié)果中可以看出其特征值的根的實(shí)部都不是正數(shù)，從而就說明了該系統(tǒng)在李雅普洛夫意義下是穩(wěn)定的。通過程序給系統(tǒng)一個(gè)單位階躍信號(hào)，從上圖可以看出系統(tǒng)不是嚴(yán)格收斂的，而是發(fā)散的。(e)狀態(tài)變量模型的能控性和復(fù)雜性的關(guān)系(用狀態(tài)變量的數(shù)目來度量復(fù)雜性)。討論狀態(tài)變量模型的能控性與復(fù)雜性的關(guān)系。很直觀地講，一個(gè)系統(tǒng)要能控，必須要其能控型判別矩陣的秩等于系統(tǒng)的階數(shù)也即就是狀態(tài)變量的數(shù)目，但是反過來，系統(tǒng)越復(fù)雜，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)越多，能控型判別矩陣要求滿足的秩也就越大，也即意味著越難達(dá)到要求，從而其能控性也就越不容易滿足。從而可以得出結(jié)論，即越復(fù)雜的系統(tǒng)越不容易達(dá)到完全可控。3、垂直起降的飛機(jī)的線性化模型為：二Ax+B1u1+B2u2其中—0.03660.02710.0188 0.4555―0.0482—1.01000.0024—4.0208€A二0.10020.3681—.0.70701.4200€0010…0.4422-…0.1761-3.5446-7.5922B—B=1-5.520024.490000系統(tǒng)的狀態(tài)變量為水平速度X(節(jié))、垂直速度X(節(jié))、傾斜率X(度/秒)和傾1 2 3斜角X(度、系統(tǒng)的控制輸入為"和"，其中"用于控制垂直運(yùn)動(dòng)，"用于控制4 1 2 1 2水平運(yùn)動(dòng)。計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征值，并由此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；利用poly函數(shù)確定A的特征多項(xiàng)式，計(jì)算特征根，并與(a)中得到的特征根相比較；當(dāng)只有"發(fā)揮作用時(shí)，系統(tǒng)能控嗎？當(dāng)只有"發(fā)揮作用時(shí)，結(jié)果又如何？請(qǐng)比12較解釋你的結(jié)論。

解：通過給定的垂直起降的飛機(jī)的線性化模型分析系統(tǒng)的屬性計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征值，并根據(jù)特征值判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定10111213151617181920212223clcA=[-0.03660.04820.100210111213151617181920212223clcA=[-0.03660.04820.10020.02710.0188-0.4555;-1.01000.0024a.3681-0.7070root31=.^igCA)Q=poly(A)Ql=localpoly(Q)roots2=roots(Q1)EL=[0.44223.5446-5.5200Qcl=ctrb(A,Bl);dimA=si2e(A)i￡raitk(Qcl)==4-4.0208：1.4200;0010]'%特征值的實(shí)部全小干零則系統(tǒng)穩(wěn)定3灌湧(甫斌有山作用時(shí)判斷系続的能控性

KRWlll作用時(shí)系統(tǒng)的能控性拒陣%判斷系統(tǒng)的可控性【秩判據(jù)〕di3pCHWvil作用時(shí)系統(tǒng)可控')elsedispC只有U1作用時(shí)系統(tǒng)不可控’)endB2=[0.1761-7.55224.4900瞳拓保有諒作用時(shí)判斷系統(tǒng)的能控性Qc2=ctrb(A,B2): 印只有啟作用時(shí)系統(tǒng)的能控性矩陣if「血照房)=4 務(wù)判斷系統(tǒng)的可控性〔秩判提〕d1SPC只有L世作用時(shí)系統(tǒng)可控。)elsedisp『只有證作用時(shí)系統(tǒng)不可控’)end圖10矩陣A的特征值和ul、u2分別作用的能控性判別程序利用poly函數(shù)確定A的特征多項(xiàng)式，計(jì)算特征值，并與(a)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比當(dāng)只有u1作用時(shí)，系統(tǒng)能控性；只有u2作用時(shí)，系統(tǒng)能控性。針對(duì)以上三點(diǎn)問題，通過圖10所示的matlab程序來判斷所有問題，最終的結(jié)果在圖11中顯示。求取矩陣A的特征值和u1、u2分別作用時(shí)系統(tǒng)可控性的運(yùn)行結(jié)果：roots1=0.2758七0.257610.2758-0.2576i-Q.2325-2.0727Q=1.0000 1.7536 -0.6472 0.0625 0.0686QiKI'4十1.75*^r3-。?視+0^,0525*21+0.0635roots2--2.07270.2758仁0.2576i0.275S-0.2576i-0.2325dinA=4i只有8作用時(shí)系統(tǒng)可控只有u2作用時(shí)系統(tǒng)可控M?圖11特征值、特征多項(xiàng)式和ul、u2分別作用的能控性結(jié)果其中roots1是通過eig函數(shù)求得的狀態(tài)矩陣A的特征值，顯然有兩個(gè)特征值具有正實(shí)部，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；Q1是通過poly函數(shù)確定的A的特征多項(xiàng)式，roots2是通過roots函數(shù)求得的A矩陣的特征多項(xiàng)式的根,經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)roots1和roots2的數(shù)值一樣；只有u1或者u2作用是通過能控型矩陣Qc,用秩判據(jù)得到系統(tǒng)都是可控的。dimA是通過size函數(shù)求得矩陣A的維數(shù)。對(duì)比的當(dāng)u1與u2發(fā)揮作用時(shí)所對(duì)應(yīng)的能控型判別矩陣的秩都為4,即其秩等于系統(tǒng)的階數(shù)也就是矩陣A的維數(shù)，從而說明在這兩種情況下，系統(tǒng)均為能控。4、為了探究月球背面(遠(yuǎn)離地球的一面)的奧秘，人們付出了不懈的努力。例如,在地球-太陽-月球系統(tǒng)中，人們希望通信衛(wèi)星能定點(diǎn)在不受月球遮擋的軌道上，并為此開展了廣泛的論證研究工作。圖中給出了預(yù)期衛(wèi)星軌道的示意圖，從地球上看上去，衛(wèi)星軌道的光影恰似環(huán)繞月球的外層光暈，因此這種軌道又稱為光暈軌道。軌道控制的目的是，使通信衛(wèi)星在地球可見的光暈軌道上運(yùn)行，從而保證通信鏈路的暢通，所需的通信鏈路包括從地球到衛(wèi)星和從衛(wèi)星到月球背面共兩段線路。衛(wèi)星繞定點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化和線性化的漂移運(yùn)動(dòng)方程為：€000100-000000010000000001000X=x+u+u+u7.3809000201102030-2.19040-20001000-3.1904000001其中，狀態(tài)變量x是衛(wèi)星在三個(gè)方向上的位置和速度漂移，輸入u(i=1,2,3)分別是i軌控發(fā)動(dòng)機(jī)在&、門和＜方向上產(chǎn)生的加速度。(a)衛(wèi)星的定點(diǎn)位置是否穩(wěn)定？(b)如果只有u發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能控？1(c)如果只有u發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能控？(d)如果只有u發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能2 3控？如果能夠測得門方向的位置漂移，請(qǐng)確定由u到該位置漂移量的傳遞函數(shù)。(提2示：可以令觀測輸出為y=[01000o]x)用tf2ss函數(shù)，計(jì)算(e)中得到的傳遞函數(shù)的狀態(tài)變量模型，并驗(yàn)證該軌跡子系統(tǒng)是能控系統(tǒng)；采用狀態(tài)反饋u=-Kx，設(shè)計(jì)合適的反饋控制器，使(f)中得到的系統(tǒng)的閉環(huán)2極點(diǎn)為s=-1土j和s=-10。1,2 3,4解：在給定的衛(wèi)星繞定點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)化和線性化的漂移運(yùn)動(dòng)方程，通過matlab分析一下幾點(diǎn)問題。-clc- A=[0fl0L00;000010;000001;7.380&00020;0-2.19040-200:00-3.190400Ok— 1;den=poly^A)- sys=tf(iT-un,d.en);— pziitap(sys.<- rootsl=eig(A)3- Bl=[00010 fl?:，- Qcl=ctrb(AjB1):- diinA^sizerA)- ifrank(Qcl)==C- disp(J只有ul作用時(shí)系統(tǒng)可控>)1 else-dispf只有ul作用時(shí)系統(tǒng)不可控')i end.lij- B3=[00001們':一 Qc2=c-trb(AjE2):- ifrank(Qc2)^fi1?- dispC只有繭作用時(shí)系統(tǒng)可控勺- else- diapCR有任作用時(shí)系統(tǒng)不可控’)- end.捐一B3=[00000IT；- Qc3=ctrb(A,B3):一 Mrank(Qc3)==C- diap。只有泣作用時(shí)系統(tǒng)可控°)— else|-dispf只有113作用肘系統(tǒng)不可控’)器一 己nd.圖12系統(tǒng)穩(wěn)定性和ul、u2、u3分別作用時(shí)的能控性(1)關(guān)于衛(wèi)星的定點(diǎn)位置的穩(wěn)定性和分別只有ul或者u2或者u3作用時(shí)，衛(wèi)星的能控性通過圖12的程序來判斷，判斷結(jié)果在圖13中顯示。衛(wèi)星定位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和u1、u2、u3分別作用時(shí)的能控性判別結(jié)果如圖13所示raotsl-2.15872.15870.0000+1.S62610.0000-1.862610+1.786210-1.73621只有L11作用時(shí)系統(tǒng)不可控只有德作用時(shí)系統(tǒng)不可控只有心作用時(shí)奔統(tǒng)不可控圖13系統(tǒng)特征根和ul、u2、u3分別作用的能控性判別結(jié)果圖14系統(tǒng)極值點(diǎn)分布圖

通過圖13可以看出系統(tǒng)的極值點(diǎn)（rootsl）中有大于零的點(diǎn)，直觀的從圖14的系統(tǒng)極值點(diǎn)分布圖中看出在虛軸的右半平面上有一個(gè)極值點(diǎn)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；從圖13中還可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在只有u1或者u2或者u3作用時(shí)，均不可控。(2)確定由u2到漂移量的傳遞函數(shù)并確定傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量模型，然后驗(yàn)證其為能控系統(tǒng)。執(zhí)行程序如圖15所示，該程序用于求解傳遞函數(shù)和狀態(tài)模型,并驗(yàn)證該模型的能控性。運(yùn)行的結(jié)果如圖16所示。- clc- syjns3；為衛(wèi)星的狀析?- A=[000100;000010:000001:7.380300020;0-2.19040-200:00-3.1904000];- B2=L000010]?;- C=[010000];-collect'factor(6'-A)):- [62500000-46130625];- [62500000-7^406250-101044521];- sxs=tfnu>jden1- [AljBljCljDl]=tf2ss'ntuiijden1- sys=ss^AljE13C1jDI)- Qc=ctrbfAljBl';-ifrank(Qc)-=size(Al)- di叩「系統(tǒng)能控I- elseIS- dispCS統(tǒng)不可控')貿(mào) end圖15傳遞函數(shù)、狀態(tài)變量模型和能控性求解程序以上程序中求得了新系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及狀態(tài)空間模型，并通過求取系統(tǒng)的能控性矩陣，根據(jù)秩判據(jù)判定系統(tǒng)的可控性，由if語句來選取，把最終結(jié)果顯示在命令窗口。圖15程序的運(yùn)行結(jié)果如圖16所示：Transffunction:6.25e005sfl2- 613e0076.25t006禮441MWs^26.25t006禮441MWs^21.OleOOSKlKlxl1.1916.17ulxlk3k1m3-7.381ulyiCentinuous-tine系統(tǒng)能控xl1.1916.17ulxlk3k1m3-7.381ulyiCentinuous-tine系統(tǒng)能控model.fit圖16傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間描述和能控性的結(jié)果圖16中顯示了由u2到n方向的位置漂移量的傳遞函數(shù)，以及通過tf2ss函數(shù)得到該傳遞函數(shù)的狀態(tài)變量模型，最后驗(yàn)證得到該模型是能控的。（3）在給定狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上采用狀態(tài)反饋u2=-Kx,使得（1）中得到的模型的閉環(huán)極點(diǎn)為T+j,-1-j，-10，-10.具體程序如圖17所示，運(yùn)行的結(jié)果如圖18,圖19所示。圖17狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的程序：- clc- symsa:- rmjn=[6250000 0 -46130625]:i - den=[5250000 0 -7440625 0 -101044521];-[AljBljCljDl]=tf2ssfnujnjden1:- [-1+11-1-li-10-10]:- ifrank(Al)==4- disp「根點(diǎn)個(gè)敏與系統(tǒng)配置合理。)- else- disp「極點(diǎn)個(gè)敏與系統(tǒng)配置不臺(tái)理’)- end- X=acker(AljEljp)- agk=Al:bglc=Bl:cgk=K:dgk=0:15 - subplot(2jlj1);- rlocusCagijbgk^cglc^,dgk)— grid- tiU日『加入反饋后系統(tǒng)的根軌跡屬勺：13-At=Al-Bl*K:C-t=Cl;Dt=Dl:-[sljpT3gairil]=ss23p(At3Et3Ct,Dt)-dcg=dc￡ain(AtjBtjCt,Dt);- -t=0:0.1:10：-yc=step(At,,Bt,Gt,Dt,,Lt):ycl=yc/'dcg:一 subplot(2j 2);- plot(t3yc1)一 grid-titleC加入反賞后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)＞):圖17狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)程序該程序首先判定極值點(diǎn)是否配置合理，求得反饋矩陣，并畫出加入狀態(tài)反饋后的根軌跡，再求得加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的零極點(diǎn)及增益，最后畫出系統(tǒng)加入反饋后的階躍響應(yīng)圖。圖18是上述程序運(yùn)行得到的反饋矩陣和系統(tǒng)的零極點(diǎn)以及增益值。極點(diǎn)個(gè)數(shù)與系統(tǒng)配置合理22.0000143；1905240.0000216.1671Ml=-2.71682.7168pl=-10.0000+0.00001-10.0000-0.00001-1.00004-1.00001-1.0000-1.00001gain!=1.0000圖18狀態(tài)反饋矩陣、零極點(diǎn)和增益其中K是狀態(tài)反饋矩陣，zI是加入狀態(tài)反饋后的零點(diǎn)，pI是加入狀態(tài)反饋后的極點(diǎn)，gainI是系統(tǒng)增益，透過極點(diǎn)可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的。通過圖18可以看出再加入狀態(tài)反饋K時(shí)，求得的極點(diǎn)正好是期望的值，也驗(yàn)證了求取的正確性。最后求得加入狀態(tài)反饋時(shí)系統(tǒng)的增益。通過圖19可以看出系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。圖19是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)：1%加入反憤后系統(tǒng)的根軌誑國5DReaIAxis加入度憒后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2 3 4 5 6 7S 101%加入反憤后系統(tǒng)的根軌誑國5DReaIAxis加入度憒后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2 3 4 5 6 7S 10圖19加入反饋K時(shí)系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)從圖19看到系統(tǒng)是穩(wěn)定的正好驗(yàn)證了極值點(diǎn)實(shí)部小于零系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在加入狀態(tài)反饋后調(diào)節(jié)時(shí)間較快。5、在8.2風(fēng)力機(jī)的一階模型中，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速的變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)PI控制，使轉(zhuǎn)速恒定。解：給定風(fēng)力機(jī)的一階模型，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速，風(fēng)速變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)的PI控制，使轉(zhuǎn)速恒定。PI控制器的模型為K1+K2/s，從而可以求出該系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為S"2+0.3397K1*S+0.3397K2=0要使得該風(fēng)力機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，則需讓特征方程的根具有負(fù)實(shí)部。symssk1k2;>>s=solve(s"2+0.339*k1*s+0.339*k2)

-(339*kl)/2000-((114921*k「2)/1000000-(339*k2)/250)"(1/2)/2((114921*k「2)/1000000-(339*k2)/250廣(1/2)/2-(339*kl)/2000使其為負(fù)數(shù)，從而可得出K1〈=180,K2<=86,得到的PI控制器就能滿足要求，不妨取Kl=80,K2=60.simulink仿真如圖20所示。圖20加入PI控制的系統(tǒng)仿真圖其中輸入采用階躍信號(hào)，擾動(dòng)信號(hào)為單位脈沖。在未加入擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，只有階躍信號(hào)輸入的系統(tǒng)響應(yīng)如圖21所示:TimeoTTset:u圖21未加脈沖擾動(dòng)只有階躍信號(hào)輸入的輸出響應(yīng)圖22在加入脈沖擾動(dòng)情況下系統(tǒng)輸出響應(yīng)通過圖21和22對(duì)比發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能很好的通過反饋調(diào)節(jié)使系統(tǒng)在擾動(dòng)情況下趨于穩(wěn)定，同時(shí)可以看出調(diào)節(jié)速度較快，所以得到的PI控制器可以滿足所要求的指數(shù)。6、在8.2風(fēng)力機(jī)的三階模型中，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速的變化視為擾動(dòng)，電磁轉(zhuǎn)矩視為常數(shù)，采用狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置算法，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)控制系統(tǒng)。解：理論上一般選取觀測器的期望極點(diǎn)為傳遞函數(shù)極點(diǎn)的2到5倍為佳，在以下程序中選取觀測器的極值點(diǎn)為-2.2986e004,-300-0.0286e004。具體求解程序如圖23所示。同時(shí)通過求取加入狀態(tài)反饋后的伯德圖，根軌跡以及單位階躍響應(yīng)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和調(diào)節(jié)速度。通過圖23的分析程序，我們能得到圖24能控性矩陣和狀態(tài)反饋矩陣K，圖25的加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖以及圖26的根軌跡，圖27的反饋系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。圖23是利用極點(diǎn)配置算法求取風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)控制系統(tǒng)的程序：25是加入反饋矩陣25是加入反饋矩陣K時(shí)系統(tǒng)的伯德圖:UiA=[-0.84G9-9.1598e-0080.5071;8676370000-367637000:1.1635e+004□.0019-1.1636e-l-004]:E-E-O.0252;0;□]:C-[001];D=0:Qc=c±rbB)ifranktQcJ==sizetAJdispC孳統(tǒng)可控relsedispCJ系統(tǒng)不可控endpe=[-2.2986e+004-300 0286c+004].%狀態(tài)反燉的期望極點(diǎn)[選擇咅適的根點(diǎn))w=[0.ox1□]:-t=o：a.05：io；K^placstA,BjPe) 賂狀態(tài)反憒矩陣bode(A,B?K,0):title(J加.K狀態(tài)反價(jià)后華統(tǒng)的伯德圖’〕aridLamr)niwpcwgc'=nargin(A,.B,K,0);figure:rlocus(AjBjKj0^:grid.title(n力口入狀態(tài)質(zhì)■諛后京統(tǒng)的根軌她’)At=A-B^K;3t=E；Ct=C;Dt=E; 賄加入狀態(tài)反饋后弟統(tǒng)的狀態(tài)空間模型LzTpIgaLnT]=es2ep(A-t3BtjCtjD-t),deg=degaiii(Al□BtjCtjD-t;￡igxireyc=slep-'.AtjE-t3CtjDtj七〕;yc=yc/dcg;plot(tjyc);tItle(J如人狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)rErid圖23系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣的求取程序BleE.ditDel^ugdesktopWindowHelp 小BleE.ditDel^ugdesktopWindowHelp 小圖24能控性矩陣和狀態(tài)反饋矩陣K圖27是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng):圖27是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng):切入伏態(tài)反憤后系統(tǒng)的伯德圖圖25加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖加入忒態(tài)反慢后系M充的?根軌跡15000.99S■1000的碩4：5L?丿■I-iaoD(J.盼了!0.9=a6I.9&B---2-0.5-15flQ」-2.5R&aIAxisxIO1-0^99■1.5e-004；1e-OW；Se^OOS；---圖26加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡圖圖27加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在求取系統(tǒng)狀態(tài)反饋時(shí)，首先應(yīng)該判斷該系統(tǒng)的能控性，所以程序開始通過求取能控型矩陣，運(yùn)用秩判據(jù)來判斷系統(tǒng)能控性，把結(jié)果顯示在命令窗口。圖24中Qc是能控型矩陣，判斷結(jié)果為系統(tǒng)可控，并求得狀態(tài)反饋矩陣K。通過圖25,圖26,圖27分析得知系統(tǒng)在加入反饋后，系統(tǒng)不僅穩(wěn)定而且調(diào)節(jié)和響應(yīng)速度較快。7、給定風(fēng)力機(jī)的三階模型，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)的LQR控制器。解：在設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，首先要確定加權(quán)矩陣Q(不妨選取Q=diag([4e004,0,1e004]),R=D,然后直接利用lqr函數(shù)求取LQR控制器的狀態(tài)反饋矩陣k。求取程序如圖28所示：同時(shí)在圖同時(shí)在圖28所示的程序中求取加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖，根軌跡和單位階躍clcA=[-0.S468-8.1598e-0080.5071；8676370000-867637000；1.1636?+0040.0019-1.1635e+00a]:B=[-Q.0262;0;0]:Q=diag([4a+0040堯+004],覽亦妨定加權(quán)矩陣Q=dia￡([2J2,2]);艱=1;然后就可以直接利用M匸函數(shù)來進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)ToK=1：K=1qi(A,民臼10曲即為L0R控制器中的狀態(tài)反饋拒陣bodefAjB,K,0);MtE「址入狀態(tài)反憒后:系統(tǒng)的伯籠圖’)gridLgm.pmwpcvgc]=marg：in(A,B3K30):figure:rLocus(AjBj u):titleCM入狀態(tài)反憒后系統(tǒng)的根孰逆)gridAt=A-E^K;Bt=E:Ct=C:Dt=D:[zlplgainl]=ss2zp(AtjBtjCtjDt);dcg=dcg3in(AtJEtjCtjDt):figureyc=s-tep(At,EtjCt,Dt,1,餌:yc=yc/dcg;plot(tj/c):title『加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)’)grid圖28LQR控制器的求取程序FileEditDebugDesktopVVindowHelp<i"'Nev?toMATLAB?Watchthis刷史口廠seeorreadGittin匚X -Q.00000.0013圖29LQR控制器的狀態(tài)反饋矩陣k響應(yīng)，如圖30,圖31,圖32所示。切入狀態(tài)反憤后系統(tǒng)的伯德圖IO21-D-' 10°ID-' it)3 10* 1DSFrequency(ra-d/sec}圖30加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖如入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡1500D.9960.99-30.10001.56-004：-500-100D0.政-0.&&6C.SS-□.5—?丿■|、J'F"-1EOD-2.5ReaIAxisG.5圖31加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡圖圖32是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

加入狀態(tài)反慣后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖32加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)通過圖28所示的程序求得了LQR控制器的狀態(tài)反饋矩陣k在圖29中顯示。同時(shí)求得加入反饋后系統(tǒng)的伯德圖，根軌跡和單位階躍響應(yīng)?？梢钥闯黾尤敕答伜笙到y(tǒng)不僅穩(wěn)定而且響應(yīng)較快。8、風(fēng)力機(jī)的三階模型中表示系統(tǒng)軸上的扭轉(zhuǎn)彈力第二個(gè)狀態(tài)是不容易測量的狀態(tài)變量，設(shè)計(jì)關(guān)于該狀態(tài)的觀測器，并構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)。解：題目要設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)三階模型的狀態(tài)反饋及其狀態(tài)觀測器，并且為降維觀測器，由于輸出矩陣C的秩為1,故而降維觀測器的維數(shù)為3-1=2；不妨設(shè)狀態(tài)反饋的期望極點(diǎn)為-4e004,0，-1e004,狀態(tài)觀測器的期望極點(diǎn)為-20,-30則相應(yīng)的設(shè)計(jì)程序如下：圖33是設(shè)計(jì)降階觀測器的程序：112——3E——5——6——r——s——?——lu——11—12——13——14——15——16—17——IS——19——2G——21——22——23—24——25—2B——37—23——29—30——31一北——33—34——35一36——37—3S——1坂設(shè)計(jì)降階觀測器的程序A=[-0.S468-8.1598&-0080.5071;867637000U-867637000;1.163ae+0D40.iju19-1.LS36e+0u4]:B=[-0.0252；u；0];C=[u01];D=O;w=[0.0110]：-t=[i：0.|J5:1￡|:p=[-4e+€M0-le+0D4];Sfi狀態(tài)反饋期望極值點(diǎn)叩=[-20-30]; 將狀態(tài)觀測器期望的極值點(diǎn)；iOt[123]:shO=[-1-2-3]:k=place(AjEjp): 野狀態(tài)反饋拒陣T=[。10;100];e=[C;T];ei=Liiv(e);[irniirm]=3Lza(C);p=ei[:,1:nun.);^i=ei(:,iraiiH-1:nn):all=C*A*p:al2=C*A*?;a2l=I*A*p:a22=T*A*a;b1=C*B;b2=I*3;Lr=placeCa22Jjal2J,op):Lr=LrJ: 覽觀測狀態(tài)矩陣f=a22-Lr*al2:g=b2-Lr*b1:d=f^Lr+(a21-Lr*all):%觀測器參數(shù)n=p4gn*Lr;臥=十一巴出1<*血；Blt=d-g*：k*n D]i=k*n;[zkpkgk]=es2sp(Akj Ck,Dk,1):成gk[AcBrCcDc]=serie5E?Cj□,AltjEk,Ck,Dlt):rlociis(Ac,fcjCc,De);title(J降階