材料力學(xué)培訓(xùn)資料

§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形——兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率相距dx的微段兩端截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA第一頁，共三十六頁。等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時(shí)稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)第二頁，共三十六頁。例3-4圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第三頁，共三十六頁。2、各段兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第四頁，共三十六頁。3、橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第五頁，共三十六頁。例3-5圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性桿，在其中心處焊一直徑為d2的實(shí)心圓桿CB?？招臈U的內(nèi)、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應(yīng)力分布圖；2、實(shí)心桿C端的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板第六頁，共三十六頁。解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe第七頁，共三十六頁。2、求橫截面上的切應(yīng)力空心圓軸實(shí)心圓軸第八頁，共三十六頁?？招膱A軸實(shí)心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T2第九頁，共三十六頁。3、計(jì)算絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCB第十頁，共三十六頁。Ⅱ、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)于一般的傳動(dòng)軸常用單位：/m第十一頁，共三十六頁。例3-6由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上最大扭矩為Tmax=9.56kN?m，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[j']=0.3/m。試選擇軸的直徑。解：1、按強(qiáng)度條件確定外直徑D第十二頁，共三十六頁。2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內(nèi)外直徑第十三頁，共三十六頁?！?-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿僅在兩端受外力偶矩Me

作用且時(shí)或gMe

Me

jjMe

Me

j第十四頁，共三十六頁。當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)或jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第十五頁，共三十六頁。純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(

)xyzabOcdxddydztt'tt'Otgtpg第十六頁，共三十六頁。扭矩T為常量時(shí)，長為l的等直圓桿的應(yīng)變能為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能與應(yīng)變能密度的關(guān)系gMe

Me

j第十七頁，共三十六頁。例3-7試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉(zhuǎn)角。圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量G均為已知。解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板已求得兩軸的扭矩第十八頁，共三十六頁。其轉(zhuǎn)向與Me

相同。ABCMe桿系扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為而第十九頁，共三十六頁。例3-8圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d

。試推導(dǎo)彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算公式。第二十頁，共三十六頁。解：1、求簧桿橫截面上的內(nèi)力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應(yīng)力a)略去與剪力相應(yīng)的切應(yīng)力b)D>>d

時(shí)略去簧圈的曲率影響第二十一頁，共三十六頁。3、求彈簧的變形近似認(rèn)為簧桿長度l=2pRn彈簧在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)稱為彈簧的剛度系數(shù)（N/m)第二十二頁，共三十六頁?！?-7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形Ⅰ、等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)第二十三頁，共三十六頁。橫向線變成曲線橫截面發(fā)生翹曲不再保持為平面平面假設(shè)不再成立，可能產(chǎn)生附加正應(yīng)力第二十四頁，共三十六頁。第二十五頁，共三十六頁。第二十六頁，共三十六頁。非圓桿兩種類型的扭轉(zhuǎn)——自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無附加正應(yīng)力產(chǎn)生此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，橫截面上有附加正應(yīng)力產(chǎn)生1、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時(shí)2、非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長變化、或端面有約束不能自由翹曲時(shí)——約束扭轉(zhuǎn)第二十七頁，共三十六頁。Ⅱ、矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一般矩形截面等直桿t≤tp時(shí)1、tmax發(fā)生在橫截面的長邊中點(diǎn)處；2、橫截面周邊各點(diǎn)的切應(yīng)力必定與周邊相切，沿周邊形成與扭矩同向的順流；3、四個(gè)角點(diǎn)處t=0。思考：存在第二、第三條規(guī)律的原因是什么？第二十八頁，共三十六頁。矩形截面等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式最大切應(yīng)力（長邊中點(diǎn)處）短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力單位長度扭轉(zhuǎn)角：相當(dāng)極慣性矩扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)其中a、b、n

——與相關(guān)的因數(shù)第二十九頁，共三十六頁。狹長矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)特點(diǎn)：1、沿長邊各點(diǎn)的切應(yīng)力值除靠角點(diǎn)附近外，均接近相等；2、離短邊稍遠(yuǎn)處，可認(rèn)為切應(yīng)力沿厚度d按直線規(guī)律變化。第三十頁，共三十六頁。例3-9矩形截面的等直鋼桿，h=100mm,b=50mm,l=2m,m=4000N.m。=100Mpa，=1o/m,G=80Gpa。試校核此桿的強(qiáng)度和剛度。

解：由截面法求得T=m=4000N.m。為計(jì)算Wt和It，先算得m=h/b=100/50=2，查表得β=0.493和α=0.457。于是分別求得

第三十一頁，共三十六頁。例3-10有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設(shè)將其中一根沿縱向開一細(xì)縫，在兩桿的兩端各施加相同的扭轉(zhuǎn)力偶矩Me。已知鋼管的平均半徑r0=10d

，且兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作。試比較兩桿的最大切應(yīng)力及單位長度扭轉(zhuǎn)角。r0dr0d第三十二頁，共三十六頁。解：1、有縱向細(xì)縫的桿(開口薄壁截面桿)橫截面上切應(yīng)力沿厚度的變化情況可將其展開為狹長矩形截面來處理。r0dT第三十三頁，共三十六頁。2、無縱向切縫的薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力變化情況r0dT第三十四頁，共三十六頁。3、分析比較可見：薄壁圓筒有縱向細(xì)縫時(shí)，其扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及剛度均大幅下降。r0dTr0dT第三十五頁，共三十六頁。內(nèi)容總結(jié)§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形?剛度條件?！獌蓚€(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j。相距dx的微段兩端截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為。T。等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me作用時(shí)。I-I。例3-6由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a=0.5。扭矩T為常量時(shí)，長為l