2023年例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換

例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換計算一個電路的電阻，通常從歐姆定律出發(fā)，分析電路的串并聯(lián)關(guān)系。實際電路中，電阻的聯(lián)接千變?nèi)f化，我們需要運用各種方法，通過等效變換將復(fù)雜電路轉(zhuǎn)換成簡樸直觀的串并聯(lián)電路。本節(jié)重要介紹幾種常用的計算復(fù)雜電路等效電阻的方法。1、等勢節(jié)點的斷接法在一個復(fù)雜電路中，假如能找到一些完全對稱的點（以兩端連線為對稱軸），那么可以將接在等電勢節(jié)點間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢節(jié)點連接起來，且不影響電路的等效性。這種方法的關(guān)鍵在于找到等勢點，然后分析元件間的串并聯(lián)關(guān)系。常用于由等值電阻組成的結(jié)構(gòu)對稱的電路。【例題1】在圖8-4甲所示的電路中，R1=R2=R3=R4=R5=R，試求A、B兩端的等效電阻RAB。模型分析：這是一個基本的等勢縮點的事例，用到的是物理常識是：導(dǎo)線是等勢體，用導(dǎo)線相連的點可以縮為一點。將圖8-4甲圖中的A、D縮為一點A后，成為圖8-4乙圖。答案：RAB=R。【例題2】在圖8-5甲所示的電路中，R1=1Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，R4=12Ω，R5=10Ω，試求A、B兩端的等效電阻RAB。模型分析：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡樸的情形：將A、B兩端接入電源，并假設(shè)R5不存在，C、D兩點的電勢相等。因此，將C、D縮為一點C后，電路等效為圖8-5乙對于圖8-5的乙圖，求RAB是非常容易的。事實上，只要滿足=的關(guān)系，該橋式電路平衡。答案：RAB=Ω?！纠}3】在如圖所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為R，試求A、B兩點之間的等效電阻RAB。ABDC【例題4】用導(dǎo)線連接成如圖所示的框架，ABCD是正四周體，每段導(dǎo)線的電阻都是1。求ABDC2、電流分布法設(shè)有電流I從A點流入、B點流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點間不同途徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流I的關(guān)系，然后經(jīng)任一途徑計算A、B兩點間的電壓，再由即可求出等效電阻。AB【例題1】7根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點之間的等效電阻。AB【例題2】10根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點之間的等效電阻。CDAB【例題3】8根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，C、D之間是兩根電阻絲并聯(lián)而成，試求出A、BCDAB電流疊加原理：直流電路中，任何一條支路的電流都可以當(dāng)作是由電路中各個電源分別作用時，在此支路中產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。所謂電路中只有一個電源單獨作用，就是假設(shè)將其余電源均除去，但是它們的內(nèi)阻仍應(yīng)計及。【例題4】“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖，每小段電阻為R，求A、B間等效電阻。BBA3、Y—△變換法在某些復(fù)雜的電路中往往會碰到電阻的Y型或△，如圖所示，有時把Y型聯(lián)接代換成等效的△型聯(lián)接，或把△型聯(lián)接代換成等效的Y型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡化計算，等效代換規(guī)定Y型聯(lián)接三個端紐的電壓及流過的電流與△型聯(lián)接的三個端紐相同。⑴將Y型網(wǎng)絡(luò)變換到△型電路中的變換式：⑵將△型電路變換到Y(jié)型電路的變換式：以上兩套公式的記憶方法：△→Y：分母為三個電阻的和，分子為三個待求電阻相鄰兩電阻之積。Y→△：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對面的電阻。當(dāng)Y形聯(lián)接的三個電阻相等時，與之等效的△形聯(lián)接的三個電阻相等，且等于本來的三倍；同樣，當(dāng)△聯(lián)接的三個電阻相等時，與之等效的Y形聯(lián)接的三個電阻相等，且等于本來的1/3?！纠}1】對不平衡的橋式電路，求等效電阻RAB。提醒：法一：“Δ→Y”變換；法二：基爾霍夫定律【例題2】試求如圖所示電路中的電流I。（分別應(yīng)用兩種變換方式計算）【課堂練習(xí)】分別求下圖中AB、CD間等效電阻。(答案：0.5R;RPQ=4Ω)4、無限網(wǎng)絡(luò)若（a＞0）在求x值時，注意到x是由無限多個組成，所以去掉左邊第一個對x值毫無影響，即剩余部分仍為x，這樣，就可以將原式等效變換為，即。所以這就是物理學(xué)中解決無限網(wǎng)絡(luò)問題的基本思緒，那就是：無窮大和有限數(shù)的和仍為無窮大。⑴一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題1】在圖示無限網(wǎng)絡(luò)中，每個電阻的阻值均為R，試求A、B兩點間的電阻RAB。解法一：在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個R再串聯(lián)一個R”作為電路的一級，總電路是這樣無窮級的疊加。在圖8-11乙圖中，虛線部分右邊可以當(dāng)作原有無限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級后，仍為無限網(wǎng)絡(luò)，即RAB∥R+R=RAB解這個方程就得出了RAB的值。答案：RAB=R。解法二：可以，在A端注入電流I后，設(shè)第一級的并聯(lián)電阻分流為I1，則結(jié)合基爾霍夫第一定律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖8-12所示對圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(I?I1)R+(I?I1)R?I1R=0解得I1=I很顯然UA?IR?I1R=UB即UAB=IR+IR=IR最后，RAB==R?！纠}2】如圖所示，由已知電阻r1、r2和r3組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻Rab．（開端形）【例題3】如圖所示，由已知電阻r1、r2和r3組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻Rab．（閉端形）⑵雙邊一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題4】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨中間網(wǎng)孔上缺掉一個電阻r2，求e、f之間的等效電阻。（中間缺口形）【例題5】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨旁邊缺一個電阻r2，求f、g之間的等效電阻.（旁邊缺口形）【例題6】如圖所示，求g、f間的等效電阻。（完整形）小結(jié)：一維無限網(wǎng)絡(luò)運用網(wǎng)絡(luò)的反復(fù)性。⑶二維無限網(wǎng)絡(luò)【例題7】圖為一個網(wǎng)格為正方形的平面無窮網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的每一個節(jié)點都有四個電阻與上下左右四個節(jié)點分別相聯(lián)，每個電阻大小均為R，由此，按左右、上下一直延伸到無窮遠處．A和B為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個相鄰節(jié)點，試求A、B間的等效電阻RAB．模型分析：如圖，設(shè)有一電流I從A點流入，從無窮遠處流出．由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，故網(wǎng)絡(luò)對于A點是對稱的，電流I將在聯(lián)接A點的四個電阻上平均分派．這時，電阻R（指A、B兩節(jié)點間的電阻）上的電流為I/4，方向由A指向B．同理，再設(shè)一電流I從無窮遠處流處，從節(jié)點B流出．由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，B也是網(wǎng)絡(luò)的對稱點，因此在電阻R上分得的電流也為I/4，方向也是由A指向B．將上述兩種情況疊加，其結(jié)果將等效為一個從節(jié)點A流入網(wǎng)絡(luò)，又從節(jié)點B流出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)恒電流I，在無窮遠處既不流入也不流出．每個支路上的電流也是上述兩種情況下各支路電流的疊加．因此，R電阻上的電流為I/2．所以A、B兩節(jié)點間的電勢差為：【例題8】對圖示無限網(wǎng)絡(luò)，求A、B兩點間的電阻RAB。【例題9】有一個無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為，求：（1）結(jié)點a、b間的電阻。（2）假如有電流I由a點流入網(wǎng)絡(luò)，由g點流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過de段電阻的電流Ide為多大。解：（1）設(shè)有電流I自a點流入，流到四周八方無窮遠處，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。再假設(shè)有電流I由四周八方匯集b點流出，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。將以上兩種情況綜合，即有電流I由a點流入，自b點流出，由電流疊加原理可知（由a流向c）（由c流向b）因此，a、b兩點間等效電阻（2）假如有電流I從a點流進網(wǎng)絡(luò)，流向四周八方，根據(jù)對稱性，可以設(shè)應(yīng)當(dāng)有由于b、d兩點關(guān)于a點對稱，所以同理，假如有電流I從四周八方匯集到g點流出，應(yīng)當(dāng)有最后，根據(jù)電流的疊加原理可知⑷三維無限網(wǎng)絡(luò)【例題10】假設(shè)如圖有一個無限大NaCl晶格，每一個鍵電阻為r，求相鄰兩個Na和Cl原子間的電阻?！纠}11】在圖示的三維無限網(wǎng)