《復(fù)數(shù)的概念》示范課教案【高中數(shù)學(xué)】

《復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解引入虛數(shù)單位i的必要性，通過理解數(shù)系的擴(kuò)充過程，掌握復(fù)數(shù)的基本概念；2.回顧數(shù)系的每一次擴(kuò)充，體會(huì)為什么要引入復(fù)數(shù)，理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；4.激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程與方法，復(fù)數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過程的數(shù)學(xué)基本思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：1545年，數(shù)學(xué)家卡爾丹在《重要的藝術(shù)》中出了這么一個(gè)題目：把10分為兩部分，使其乘積為40.他按照自己的習(xí)慣，設(shè)其中一部分為x，列出方程為x(10－x)＝40.但求出的根令他大為不解．卡爾丹認(rèn)為5+?15和5??155+?155+?15但由于這只是單純從形式上推廣而來，并且人們原先就已斷言負(fù)數(shù)開平方是沒有意義的．盡管當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為5+?15和5??15這兩個(gè)式子沒有意義，是虛構(gòu)的，想象的，但在解決許多問題時(shí)，使用類似?15那么?15真的是無意義、虛幻的嗎？?15能作為數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.二、新知探究問題1：我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個(gè)數(shù)系．回顧從自然數(shù)系逐步到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？分別解決了什么實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題？你能借助下面的方程，從解方程的角度加以說明嗎？（1）在自然數(shù)集中求方程x+4=0的解；（2）在整數(shù)集中求方程3x?2=0的解；（3）在有理數(shù)集中求方程x2?2=0（4）在實(shí)數(shù)集中求方程x2答案：（1）從社會(huì)實(shí)踐來看，數(shù)系的擴(kuò)充是為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要．計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，有了自然數(shù)系；自然數(shù)系中不能刻畫具有相反意義的量，于是引入了負(fù)整數(shù)，將自然數(shù)系擴(kuò)充到了整數(shù)系；整數(shù)系中不能解決測量中的一些等分等問題，于是引入了分?jǐn)?shù)，將整數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)系；有理數(shù)系中無法解決邊長為1的正方形對角線長的度量等問題，于是引入了無理數(shù)，這樣便將有理數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)系．（2）從數(shù)學(xué)發(fā)展本身來看，數(shù)系的擴(kuò)充也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要．方程x+4=0在自然數(shù)集N內(nèi)無解，引入負(fù)整數(shù)后，它在整數(shù)集Z內(nèi)便有解x=?4；方程3x?2=0在整數(shù)集Z內(nèi)無解，引入分?jǐn)?shù)后，它在有理數(shù)集Q內(nèi)便有解x=2方程x2?2=0在有理數(shù)集Q內(nèi)無解，引入無理數(shù)后，它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)便有解方程x2+1=0自然數(shù)集自然數(shù)集N整數(shù)集Z實(shí)數(shù)集R有理數(shù)集Q引入負(fù)整數(shù)引入分?jǐn)?shù)引入無理數(shù)問題2：從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集，每一次數(shù)的概念的發(fā)展，新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的．現(xiàn)在，在實(shí)數(shù)集中，我們又面臨方程x2+1=0無解答案：可以添加新數(shù)，對實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，并且添加新數(shù)后的新的數(shù)集中的加法與乘法運(yùn)算，與實(shí)數(shù)集中加法與乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且運(yùn)算律保持不變．追問：引入一個(gè)什么樣的數(shù)呢？答案：為此，我們引入一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（1）i2（2）實(shí)數(shù)與i進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．問題3：把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集后，我們希望按照前面總結(jié)的數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”，對實(shí)數(shù)系進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)充，那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成？答案：新數(shù)集中的數(shù)是由原來的實(shí)數(shù)和新引入的虛數(shù)i進(jìn)行運(yùn)算構(gòu)成的．把實(shí)數(shù)a與新數(shù)i相加，得到a+i；把實(shí)數(shù)b與新數(shù)i相乘，得到bi；把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b與i相乘的結(jié)果相加，得到a+bi．比如：3i，1+i追問1：你能寫出一個(gè)形式，把前面提到的數(shù)都包含在內(nèi)嗎？答案：所有新數(shù)集中的數(shù)都可以寫成a+bi（a，b∈R）的形式，因?yàn)閍=a我們把形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)．通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部，記作追問2：你能寫出新數(shù)集的集合嗎？答案：全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合為{a+bi|a問題4：對于復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈答案：對于復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0，當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)，當(dāng)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)（b=0虛數(shù)（b≠0）（當(dāng)a【概念鞏固】寫出復(fù)數(shù)4，2?3i，0，?12+43i，5+2i，6i的實(shí)部、虛部答案：4，2?3i，0，?12+43i，5+2i，6i的實(shí)部分別是4，2，0，?12，5，0，虛部分別是0其中，4，0是實(shí)數(shù)，2?3i，?12+43i，思考：1.復(fù)數(shù)集C與實(shí)數(shù)集R有什么關(guān)系呢？2.你能寫出自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C的關(guān)系，并用Venn圖表示嗎？答案：顯然實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R?自然數(shù)集包含于整數(shù)集，整數(shù)集包含于有理數(shù)集，有理數(shù)集包含于實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集包含于復(fù)數(shù)集（N?Z?Q?R?C），事實(shí)上，這里的包含于符號(hào)，也都可以換成真含于的符號(hào)，就是說左邊的集合都是右邊集合的真子集．問題5：我們知道復(fù)數(shù)集是由形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)組成的，為了保證集合中元素的互異性（確定性），我們需要明確集合中兩個(gè)元素相等的含義，那么，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+b答案：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部唯一確定，所以判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)是否相等，就要考慮它們的實(shí)部和虛部是否分別相等．所以，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即a+bi=應(yīng)當(dāng)注意：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但是兩個(gè)負(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，它們之間就不能比較大小，只能說相等或不相等．例如，2+i和3三、應(yīng)用舉例例1當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=mm?1+(m?1)（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？分析：由m∈R可知m?1，mm?1都是實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)a+b解：（1）當(dāng)m?1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)m?1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；（3）當(dāng)mm?1=0且m?1≠0，即m=0時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛思考：a=0是復(fù)數(shù)z=a答案：當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)；當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0，所以，a=0不例2已知x+y+x?2yi=2x?5+解：由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得x+y解這個(gè)方程組，得x=3四、課堂練習(xí)1.a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a，A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件2.當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)；（3）0.3.求適合下列方程的實(shí)數(shù)x與y的值．（1）x+y?3+（2）x+y+參考答案：1.解：a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）不一定為純虛數(shù)，有可能是實(shí)數(shù)0，反過來復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)，則必有a=02.（1）當(dāng)m2?5m?6=0，即m=-1或m=6時(shí)，復(fù)數(shù)（2）當(dāng)m2?3m?4=0，且m2?5m?6≠0，即（3）當(dāng)m2?3m?4=0，且m2?5m?6=0，即3.解：（1）由x+y?3=0x?4=0解得x=4（2）由x+