近世代數(shù)群的概念

近世代數(shù)群的概念第1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一．群的定義

定義1.2.1

設(shè)是一個(gè)非空集合,若對(duì)中任意兩個(gè)元素

通過(guò)某個(gè)法則“

”，有中惟一確定的則稱法則“

”為集合上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)元素與之對(duì)應(yīng),

算（algebraicoperation）．元素是通過(guò)運(yùn)算“

”作用的結(jié)果,我們將此結(jié)果記為第2頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例１

有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運(yùn)算,除法不是Q上的代數(shù)運(yùn)算．如果只考

慮所有非零有理數(shù)的集合Q*,則除法是Q*上的代數(shù)運(yùn)算.

剩余類集．對(duì)，規(guī)定例２

設(shè)為大于1的正整數(shù)，為

的模第3頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證我們只要證明,上面規(guī)定的運(yùn)算與剩余類的代表元的選取無(wú)關(guān)即可．設(shè)

則

于是

從而

則“＋”與“”都是上的代數(shù)運(yùn)算．第4頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以+與都是上的代數(shù)運(yùn)算.

第5頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的有如

果的運(yùn)算還滿足(G1)結(jié)合律，即對(duì)所有的有；

(G2)中有元素，使對(duì)每個(gè)，有定義1.2.2設(shè)是一個(gè)非空集合，“

”是上的(G3)對(duì)中每個(gè)元素，存在元素，使

第6頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四．在不致引起混淆的情況下,也稱為群．

（unitelement）或恒等元（identity）；

注1．(G2)中的元素稱為群的單位元(G3)中的元素稱為的逆元（inverse）．

則稱關(guān)于運(yùn)算“

”構(gòu)成一個(gè)群（group），記作

我們將證明：群的單位元和每個(gè)元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常記作．第7頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（commutativegroup）或阿貝爾群（abeliangroup)．

，有，則稱是一個(gè)交換群3．群中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階（order），記為．如果是有

限數(shù),則稱為有限群

2．如果群的運(yùn)算還滿足交換律，即對(duì)任意的（finitegroup），否則稱為無(wú)限群（infinitegroup).

第8頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例３

整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群．這個(gè)群稱為整數(shù)加群．

證對(duì)任意的，有

，所以“＋”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算．同時(shí)，對(duì)任意的,有所以結(jié)合律成立.另一方面，且

有第9頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四又對(duì)每個(gè)有

從而關(guān)于“＋”構(gòu)成群，顯然這是一個(gè)交換群．所以0為

的單位元.所以是的逆元.注1．當(dāng)群的運(yùn)算用加號(hào)“＋”表示時(shí)，通常將的單位元記作0，并稱0為的零元；將的逆元記作,并稱為的負(fù)元．第10頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時(shí)，才用“＋”來(lái)表

示群的運(yùn)算，并稱這個(gè)運(yùn)算為加法，把運(yùn)算的結(jié)果叫做和，同時(shí)稱這樣的群為加群．相應(yīng)地,將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運(yùn)算叫做乘法，

運(yùn)算的結(jié)果叫做積．在運(yùn)算過(guò)程中，乘群的運(yùn)算符號(hào)通常省略不寫(xiě)．今后，如不作特別聲明，我們總假定群的運(yùn)算是乘法．當(dāng)然,所有關(guān)于乘群的結(jié)論對(duì)加群也成立（必要時(shí),作一些相關(guān)的記號(hào)和術(shù)語(yǔ)上改變）．第11頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例４全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群,這個(gè)群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù)

的逆元是的倒數(shù)．同理，全體非零實(shí)數(shù)的

集R*、全體非零復(fù)數(shù)的集合關(guān)于數(shù)的乘法也．構(gòu)成交換群．第12頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例５實(shí)數(shù)域R上全體階方陣的集合，關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)交換群．全體階可逆方陣的集合關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，群中的單位元是單位矩陣，可逆方陣的逆元是的逆矩陣

當(dāng)時(shí)，是一個(gè)非交換群．例６集合關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群第13頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)階交換群．證(1)對(duì)任意的，因?yàn)?所以

例７全體次單位根組成的集合因此．于是“

”是的代數(shù)運(yùn)算．

第14頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)由于，且對(duì)任意的，

所以1為的單位元．

(4)對(duì)任意的，有，且

所以有逆元．的乘法也滿足交換律和結(jié)合律．

(2)因?yàn)閿?shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律，所以第15頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)群．通常稱這個(gè)群為次單位根群，顯然是一個(gè)具有個(gè)元素的交換群．第16頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例８設(shè)是大于1的正整數(shù)，則關(guān)于剩余

類的加法構(gòu)成加群.這個(gè)群稱為的模剩余類加群．

證(1)由例２知，剩余類的加法“＋”是的

代數(shù)運(yùn)算．

(2)對(duì)任意的，所以結(jié)合律成立．

第17頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)對(duì)任意的,

所以交換律成立．(4)對(duì)任意的，

且所以0為的零元．

第18頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(5)對(duì)任意的,且所以為的負(fù)元．從而知，關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加群．□第19頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例９設(shè)是大于1的正整數(shù)，記則關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．

證(1)對(duì)任意的，有

于是，從而．(2)對(duì)任意的

所以剩余類的乘法“

”是的代數(shù)運(yùn)算．

第20頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以結(jié)合律成立.

(3)因?yàn)?，從而，且?duì)任意的

且

所以1是的單位元．

第21頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)對(duì)任意的，有，由整數(shù)的性質(zhì)可知，存在，使所以，且顯然所以為的逆元．從而知，的每個(gè)元素在中都可逆．

第22頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這就證明了關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．□注

(1)群稱為的模單位群，顯然這是一個(gè)交換群．當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，常記作.易知，

(2)由初等數(shù)論可知（參見(jiàn)[1]），的階等于,這里是歐拉函數(shù)．如果其中為的不同素因子，那么第23頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第24頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例10具體寫(xiě)出中任意兩個(gè)個(gè)元素的乘積以及每一個(gè)元素的逆元素．易知直接計(jì)算，可得

表1.2.1第25頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由表中很容易看出注觀察表1.2.1，我們發(fā)現(xiàn)可以把表1.2.1表示為更加簡(jiǎn)單的形式（見(jiàn)表1.2.2）．表1.2.2123411234224133314244321第26頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四形如表1.2.2的表通常稱為群的乘法表

（multiplicationtable），也稱群表（grouptable）或凱萊表（Cayleytable）．人們常用群表來(lái)表述有限群的運(yùn)算．如下表所示：

ebeebaa第27頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在一個(gè)群表中,表的左上角列出了群的運(yùn)算符號(hào)

（有時(shí)省略），表的最上面一行則依次列出群的所有元素（通常單位元列在最前面），表的最左

列按同樣的次序列出群的所有元素．表中的其余部分則是最左列的元素和最上面一行的元素的乘

積．注意，在乘積中，左邊的因子總是

左列上的元素,右邊的因子總是最上面一行的元素．由群表很容易確定一個(gè)元素的逆元素．

第28頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四又如果一個(gè)群的群表是對(duì)稱的，則可以肯定，這個(gè)群一定是交換群．第29頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二．群的性質(zhì)定理1.2.1

設(shè)為群，則有

(1)群的單位元是惟一的；(2)群的每個(gè)元素的逆元是惟一的；(3)對(duì)任意的，有；

(4)對(duì)任意的，有；(5)在群中消去律成立，即設(shè)，如果，或，則．

第30頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證(1)如果都是的單位元，則（因?yàn)槭堑膯挝辉?，因?/p>

所以單位元是惟一的．

(2)設(shè)都是的逆元，則（因?yàn)槭堑膯挝辉?，?1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是

所以的逆元是惟一的．

(3)因?yàn)槭堑哪嬖詮亩赡嬖亩x知，是的逆元．又由逆元的惟一性得

(4)直接計(jì)算可得第32頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四及從而由逆元的惟一性得

(5)如果，則

同理可證另一消去律．□第33頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1.2.2

設(shè)是群，那么對(duì)任意的，

方程

及在中都有惟一解．

證取，則所以方程有解又如為方程的任一解，即則這就證明了惟一性．

第34頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四同理可證另一方程也有惟一解．□

第35頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四指數(shù)與指數(shù)法則積與運(yùn)算的順序無(wú)關(guān)，因此可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)成

群的定義中的結(jié)合律表明，群中三個(gè)元素的乘進(jìn)一步可知，在群中，任意個(gè)元素

的乘積與運(yùn)算的順序無(wú)關(guān)，因此可以寫(xiě)成.據(jù)此,我們可以定義群的元素的方冪

對(duì)任意的正整數(shù)，定義

第36頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四再約定（為正整數(shù)）則對(duì)任意整數(shù)都有意義，并且不難證明：對(duì)任意的有下列的指數(shù)法則(1)；(2)(3)如果是交換群，則

（如果不是交換群，一般不成立）．第37頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)是加群時(shí),元素的方冪則應(yīng)改寫(xiě)為倍數(shù)相應(yīng)地,指數(shù)法則變?yōu)楸稊?shù)法則：

(1)(2)(3)（因?yàn)榧尤菏墙粨Q群，所以（3）對(duì)加群總是成立的）．第38頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1.2.3

設(shè)是一個(gè)具有代數(shù)運(yùn)算的非空

集合，

則關(guān)于所給的運(yùn)算構(gòu)成群的充分必要條件是

三．群的判別(1)的運(yùn)算滿足結(jié)合律；

(2)中有一個(gè)元素（稱為的左單位元）,使對(duì)

任意的有(3)對(duì)的每一個(gè)元素，存在

（稱為的左逆元），使．這里是的左單位元．第39頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證

必要性由群的定義，這是顯然的．充分性只需證:是的單位元,，是的．

逆元即可．

設(shè)由條件(3)知，存在使而對(duì)于也存在使于是且第40頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四進(jìn)而由條件（1）知，為群．

□由條件(2)及式(3)知，是的單位元．是的逆元，第41頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注這個(gè)定理說(shuō)明，一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空集合，只要滿足結(jié)合律，有左單位元，每個(gè)元素有左逆元，就構(gòu)成一個(gè)群．同理可證，一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空集合，如

果滿足結(jié)合律，有右單位元，且中每個(gè)元素有右逆元，則構(gòu)成群

第42頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1.2.4設(shè)是一個(gè)具有乘法運(yùn)算且滿足結(jié)

合律的非空集合，則構(gòu)成群的充分必要條件是：

對(duì)任意的方程及在中有解.證

必要性

已證（見(jiàn)定理1.2.2）