第三節(jié)一階線性微分方程

第三節(jié)階線性微分分布圖

★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★方 ★例 ★例★例 ★例★內(nèi)容小 ★課堂練8-內(nèi)容要dyP(x)yQ(x)

的方程稱為一階線性微分方程.P(xQ(x)I上的連續(xù)函數(shù).Q(x)0方程(3.1)dyP(x)y

這個方程稱為一階齊次線性方程.相應地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程.其中C為任意常數(shù)

yCeP(x)dx

通解中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)u(x)，并設一階非齊次方程通解為yu(x)eP(x)dxyQ(x)eP(x)dxdxCeP(二、方程：形dyP(x)yQ(x)yn的方程稱為方程，其中n為常數(shù)，且n

.事實上，在方程(3.7)yn，得yndyP(x)y1nQ(x), (y1n)P(x)y1n1zy1nzdz(1n)P(x)z(1n)Q(x)y1ne(1n)P(x)dxQ(x)(1n)e(1n)P(x)dxdx

C例題選1（E01）y1ysinx的通解 P(x)1,Q(x)sinx,于是所求通解x1dx

sin

1

xsin xy

x exdxCelnx elnxdxC

(cosxxx xx 2（E02）dy

2x

(x1)52的通解 dy

x

y0dyy

x

lny2ln(x1)lnCyC(x用常數(shù)變易法,把C換成uyu(x1)2dyu(x1)22u(x代入所給非齊次方程得ux1)2/1兩端積分得u2(x1)323

yx1)2(2x

3/2113求下列微分方程滿足所給初始條件的特解xlnxdy(ylnx)dx

yxe解y

xln

y1x dx

1

1 y

xlnx

exlnxdxCelnlnx

elnlnxdxC

ln2xCxx lnx xx

1得C1,y1lnx1

2 lnx4

dyyd(x)d

(x)x的已知函數(shù) 原方程實際上是標準的線性方程，其中P(x)d,Q(x)(x)d ddx

dd

y

(x)dx

dxC

(

(x)dC](x)1

(5（E03）y3dx2xy21)dy0的通解解yxdy

12xyy3dx2y2xy3dx2y2x

dx

2dyxC

1yC1xuu(y)y

1,代入原方程,y

u(y)ln|y|x

1(ln|y|C，其中C為任意常數(shù)y例 如（見系統(tǒng)演示所示,平行于y軸的動直線被曲線yf(x)與yx3(xPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,f(x3x 0(x3x

x3y,yy3x2dx

2

y

C3x

dx

6x由 0,得C6,故所求曲線 y3(2exx22xy例 求dy4yxy

的通解1y1y x

y

x2z

y得2dz

4zx

zx2x

Cyx4

2C8（E04）dyy(alnxy2的通解 以y2除方程的兩端,y2dy

y

alnx

d(y1)

y

alnzy1,

dz1zaln 2

zxC2(lnx) 2以y代z,得所求通解 yxC2(lnx)9（E05）dyxyxx3yx)21的通解 令yxu,則dydu1,于是得 方程duxux3u zu121dzxzux2

ze

2dxCCe

x2yx1xz

xCe

x2

dy

yx 令zxy,則dzyxdy

yx

y11y11 x xsin2 sin2x

2zsin2z4xzxy代回，得所求通解為2xysin2(xy4x課堂練dy

coscosysin2yxsin

的通解xf(xxf(x

0[2f(t)1]dtf(x)雅各布.（Jacob數(shù)學、力學、天文學家。1654年12月27日生于巴塞爾；1705年816雅各布.出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1662年移居巴塞爾。他的父1684年一位富商的女兒結婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術家，巴，雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學，1671年獲藝術。這里的藝術是指“自由藝術它他父親的愿望，他又于1676年得。同時他對數(shù)學有著濃厚的，但是他在數(shù)學上的遭到父親的，他違背父親的意愿了數(shù)學和天文學。1676年，他到日內(nèi)瓦16771678年雅格布進行了何學講義他后來逐漸地熟悉了萊布的工作1681-1682他做了第二次學習旅行，1683年起，雅格布做了一些關于科技問題的文章，，些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾何學。在這同時，他的弟弟約翰.一直跟其學習