2014年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】滿足（為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意，故選B．（2）【2014年湖南，理2，5分】對一個容量為的總體抽取容量為的樣本,當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根據(jù)隨機抽樣的原理可得簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等，即，故選D．（3）【2014年湖南，理3，5分】已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】C【解析】分別令和可得且，則，故選C．（4）【2014年湖南，理4，5分】的展開式中的系數(shù)是（）（A）-20（B）-5（C）5（D）20【答案】A【解析】第項展開式為，則時，，故選A．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命題：若，則；命題：若，則．在命題①；②；③；④中，真命題是（） （A）①③（B）①④（C）②③（D）②④【答案】C【解析】當(dāng)時,兩邊乘以可得，所以命題為真命題,當(dāng)時,因為，所以命題為假命題，所以=2\*GB3②=3\*GB3③為真命題，故選C．（6）【2014年湖南，理6，5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】當(dāng)時,運行程序如下，，當(dāng)時，，則，故選D．（7）【2014年湖南，理7，5分】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】由圖可得該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，則，故選B．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年的生產(chǎn)總值的年平均增長率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)兩年的平均增長率為,則有，故選D．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函數(shù)發(fā)，且，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的對稱軸為，因為，所以或，則是其中一條對稱軸，故選A．解法二：由定積分的幾何性質(zhì)與三角函數(shù)圖象可知是函數(shù)的一個對稱中心，所以，所以，故選A．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題可得函數(shù)的圖像上存在點關(guān)于軸對稱的點在函數(shù)的圖像上，從而有，即．問題等價于函數(shù)在存在零點．解法一：，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，要使在存在零點，則，從而，故選B．解法二：問題等價于函數(shù)與的圖象在有交點,在同一坐標系中作出這兩個函數(shù)的圖象，當(dāng)?shù)膱D象在左右平移的過程（1）證明:底面；圖a（2）若，求二面角的余弦值．圖a解：（1）如圖（a），因為四邊形為矩形，所以，同理．因為，所以，而，因此平面，由題設(shè)知，故平面．（2）解法一：如圖（a），過作于，連接．由（1）知，平面，所以平面，于是，又四棱柱的所有棱長都相等，所以是菱形，因此，從而平面，所以，于是平面，進而，所以為二面角的平面角，不妨設(shè)，因為，所以，在中，易知,又．于是，圖b故．即二面角的余弦值為．圖b解法二：因為四棱柱的所有棱長都相等，所以是菱形，因此，又平面，從而兩兩垂直．如圖（b），以所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，因為，所以．于是相關(guān)各點的坐標為，易知，是平面平面的一個法向量．設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則，所以．設(shè)二面角的大小為，易知是銳角，于是．二面角的余弦值為．（20）【2014年湖南，理20，13分】已知數(shù)列滿足．（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．解：（1）因為數(shù)列是遞增數(shù)列，，而，因此，又成等差數(shù)列，所以，因而得．解得．當(dāng)時，，這與是遞增數(shù)列矛盾，故．（2）是遞增數(shù)列，因而，于是①但，所以②由①，②知，，因此③因為是遞減數(shù)列，同理可得，故④由③，④知，，于是．?dāng)?shù)列的通項公式為．（21）【2014年湖南，理21，13分】如圖，為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，且．（1）求的方程；（2）若過作的不垂直于軸的弦，為的中點，當(dāng)直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值．解：（1）因為，所以，即，因此，從而，，所以，，橢圓方程為，雙曲線的方程為．（2）因為直線不垂直于軸且過點，故課設(shè)直線的方程為．由得．易知此方程的判別式大于0．設(shè)，則是上述方程的兩個實根，所以，因此，的中點為，故直線的斜率為，的方程為，即．由，得，，設(shè)點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，所以因為點在直線的異側(cè)，所以，于是，從而又因為，所以四邊形面積而，故當(dāng)時，取得最小值2．四邊形面積的最小值為2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常數(shù)，函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，且，求的取值范圍．解：（1），（*）因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時,（舍去），當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的．綜上所述：當(dāng)時,，此時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增的．（2）由（*）式知，當(dāng)時，函數(shù)不存在極值點，因而要使得有兩個極值點，必有，又的極值點只可能是和，且由的定