2014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析

PAGEPagePAGE6ofNUMPAGES10推薦：考研數(shù)字題庫與資料2014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．１．當(dāng)時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【詳解】，是階無窮小，是階無窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應(yīng)該選（B）．2．下列曲線有漸近線的是（A）（B）（C）（D）【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）3．設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，，則在上（）（A）當(dāng)時，（B）當(dāng)時，（C）當(dāng)時，（D）當(dāng)時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷．顯然就是聯(lián)接兩點的直線方程．故當(dāng)時，曲線是凹的，也就是，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當(dāng)時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應(yīng)該選（D）4．曲線上對應(yīng)于的點處的曲率半徑是（）（Ａ）（Ｂ）(Ｃ）（Ｄ）【詳解】曲線在點處的曲率公式，曲率半徑．本題中，所以，，對應(yīng)于的點處，所以，曲率半徑．應(yīng)該選（C）5．設(shè)函數(shù)，若，則（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【詳解】注意（1），（2）．由于．所以可知，，．6．設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）． （A）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；是．【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是．三、解答題15．（本題滿分10分）求極限．【分析】．先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限．【詳解】16．（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值和極小值．【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即．令，得，且可知；當(dāng)時，可解得，，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，可解得，，函數(shù)取得極小值．17．（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域．計算【詳解】由對稱性可得18．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足．若，求的表達式．【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程．對應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)．對應(yīng)非齊次方程特解可求得為．故非齊次方程通解為．將初始條件代入，可得．所以的表達式為．19．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，，證明：；．【詳解】（1）證明：因為，所以．即．（2）令，則可知，且，因為且單調(diào)增加，所以．從而，也是在單調(diào)增加，則，即得到．20．（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，，設(shè)是曲線，直線所圍圖形的面積．求極限．【詳解】，，利用數(shù)學(xué)歸納法可得，．21．（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【詳解】由于函數(shù)滿足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)．又因為，從而可知，得到．令，可得．且當(dāng)時，．曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22．（本題滿分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣．求方程組的一個基礎(chǔ)解系；求滿足的所有矩陣．【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎(chǔ)解系．（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設(shè)對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應(yīng)的三列分別為，，，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)．23．（本題滿分11分）證明階矩陣與相似．【詳解】證明：設(shè)，．分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一定可以對角化．且；所以B的個特征值也為