2004年考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析路上的幸福哥

曲線ylnx上與直線xy1垂直的切線方程 已知f(ex)xex,且f(1)0,則f(x) 設(shè)L為正向圓周x2y22在第一象限中的部分,則曲線積分 方程x2d2y4xdy2y0(x0)的通解

xdy2ydxLdx 設(shè)矩陣A 0,矩陣B滿足ABA*2BA*E,其中A*為A的伴隨矩陣, 0 是單位矩陣,則B 設(shè)隨量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則P{X DX} xxx

時(shí)的無(wú)窮小量cos

x2dt,x

xsint3dt f(xf(00則存在0 (C)對(duì)任意的x(0,)有f(x)f 若limnan=0,則級(jí)數(shù)an 若存在非零常數(shù),使得lim

,則級(jí)數(shù)an 若級(jí)數(shù)a收斂,則limn2an

若級(jí)數(shù)an,使得limnan f(xF(ttdytf(x)dxF(2) (A)2f (C)f (D)列得C,則滿足AQC的可逆矩陣Q (A) 1 0

0000

(B) 0 0

1100設(shè)AB為滿足ABO設(shè)隨量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的(01),數(shù)u滿足P{Xu},若P{ 2

1u1u22

1n設(shè)隨量X1,X2,,X(n1)獨(dú)立同分布,且其方差為2 令Yn

Xn 則Cov(X,Y)

Cov(X,Y)

Y)nn

Y)nn設(shè)eabe2,證明ln2bln2a4(ba傘,以增,使飛機(jī)迅速并停下.開(kāi)后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k6.0106).問(wèn)從著陸點(diǎn)I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdyz1x2y2znxnnx10,其中nxnn當(dāng)1時(shí),級(jí)數(shù)xnzz(xy是由x26xy10y22yzz2180zz(xy的極值點(diǎn)和

(1a)xxx0,2x(2a)x 設(shè)有齊次線性方程組

(n nx1nx2(na)xn設(shè)矩陣A

3的特征方程有一個(gè)二重根,求a的值,并討論A 5設(shè)A,B為隨 ,且P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1, XX

Y1,B發(fā)生 (2)X和Y的相關(guān)系數(shù)XY

11,x

x求:(1)的矩估計(jì)量.(2).曲線y=lnx上與直線xy1垂直的切線方程 yx1【詳解ylnx)11x=1,可見(jiàn)切點(diǎn)為(1,0)x0y01x1)，即yx10【評(píng)注(x0lnxy=lnx

11

10y01x1)，即yx1已知f(ex)xex，且f(1)=0,則f(x)=1(ln 2【分析f(x【詳解】令extxlnt

f(t)lnt， f(x)lnx f(x)lnxdx1(lnx)2C.利用初始條件f(1)=0,得C=0，故所求函數(shù)為f(x)=1(lnx)2 完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P89第8題,P9011題.L

xdy2ydx

32【詳解x2y22xy

2

:02于是

xdy2ydx20

2

2 2

【評(píng)注】本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用計(jì)算，而在添加的線段上用參數(shù)法2d2 方程x 4x 2y0(x0)的通解為y12dx x【詳解】xet，則dydydtetdy1dy xd2y1dy1d2ydt d2ydxd2y

x2 xdt

x2

dt

] 3 2y0dt ycetce2tc1c2 xd2 2 bx cyf(x)dx d2

]b cyf(etdt 學(xué)大串講》P75例12.A

1則B 9【分析】可先用A*A

【詳解AABA*A2BA*AA，而A3，于是有3AB6BA，即 (3A6E)BA，

3A6EB

A31而3A

27，故所求行列式為B 9【評(píng)注】先化簡(jiǎn)再計(jì)算是此類問(wèn)題求解的特點(diǎn)，而題設(shè)含有伴隨矩陣A*，一般均應(yīng)先利用A*AAA*

1 e1【詳解DX2P{X DX}=P{X1}1 = 1e1e全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P35第5題.xxxx（7）x

時(shí)的無(wú)窮小量cos

2dt,

(A) (C) tanx tanx lim x0

0

131sinx22

limx0 1

x

2xtan= 4x0x【評(píng)注,,xn進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序.完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P28第9題. 對(duì)任意的x 有f(x)>f(0) 對(duì)任意的x(,0)有f(x)>f(0) 【分析f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，知f(0)limf(x)f(0)0 f(x)f(0)x).完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)》P28第10題.設(shè)an若limnan=0，則級(jí)數(shù)an收斂 若級(jí)數(shù)a收斂，則limn 0n

若級(jí)數(shù)an發(fā)散,則存在非零常數(shù)，使得limnan 【詳解】取an ，則limnan=0，但an

2

n1nln又取an ，則級(jí)數(shù)an收斂，但limnan，排除(C),故應(yīng)選 alimnanlima

0，而級(jí)數(shù)1發(fā)散，因此級(jí)數(shù)

nn

n1 f(x)F(ttdytf(x)dxF(2) y

F(t)1dyyf(x)dx=1[1f(x)dy]dx1f(x)(xF(tf(t)(t1)，從而有F(2f(2，故應(yīng)選[b(x)f(t)dt]

f[b(x)]b(x)f完全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)最后沖刺》P184例12，先交換積分次序再求導(dǎo).,

1111 1111

0 (B)

1

0

01

0

0

而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積。

0B

1C 0

A

A

全類似例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P196例2.2 [Ar(A)r(B)nA,Br(A)>0,r(B)>0.r(A)<n,r(B)<n,A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相1）AB=Or(A)r(B)n例8,P184例27。設(shè) 量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的(01)，數(shù)u滿足P{Xu}，PXxx (B)u (C)u1 u1 11P{ x}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{X1即有P{Xx

22

x 2oo21 0.令Y Xi， Cov(X1,Y)

1 Cov(X,Y)21n

Y)n22 n

Y)n12 [An】本題用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可，注意利用獨(dú)立性有：Cov(X1,Xi)0,i1 1【詳解CovX1Y)CovX1nXi)nCovX1X1nCovX1Xi1 n

n

)1 n D(X1Y)n

X1

X2

Xn) n n n23n2n n n (n n D(X1Y)D(

X1

X2

Xn) n n n22n2n n （15（設(shè)eabe2,證明ln2bln2a

(ba)【證法1】對(duì)函數(shù)ln2x在[a,b]上應(yīng)用日中值定理，ln2bln2a2ln(ba),a設(shè)(tlnt，則(t1lnt t,

ln ， 故ln2bln2a

(ba)【2】設(shè)(xln2x

(x)2lnx4 (x)21lnxxx>e時(shí)，(x0,故(x單調(diào)減少，從而當(dāng)exe2(x)(e2)4 即當(dāng)exe2時(shí)，(x單調(diào)增加

0 ln2b4bln2a4a ln2bln2a

(ba)【評(píng)注(xln2xln2a

(xaeaxe2(x)ln2bln2x

(bxexbe2完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P34713.31P344的[解題提示],《考研數(shù)學(xué)大串講》P65（16（

【1m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度v0700kmh.從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).mdvkv dvdv

vdv

dx dxmdvmkm積分得x(t) vk

由于v(0)

x(0)0，故得Cm

x(t)m

當(dāng)v(t)0時(shí)，x(t)k

9000700【詳解2】根 第二定律，得mdvkv dvk k兩端積分得通解vCem，代入初始條件

v0解得Cv0tt v(t)v0em k x

v(t)dt 0ek

0 k k k或 ve

，知x(t)

vemdt 0(e

1)t

0 x(t)m

d2xk【詳解3】根據(jù)第二定律，d2xkdx

dt dt

0m2k0，解之得0,k xC1C2

km

k由

0,

2em

v0

mv0,k

x(t)mv0(1e

km當(dāng)tx(tk

【評(píng)注t或v(t0的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.完全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)最后沖刺》P98-99例10-11.（17（I2x3dydz2y3dzdx3(z2其中z1x2y2z0)的上側(cè)【分析】先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接【詳解1xoyx2y21所圍部分的下側(cè)，記為由與I2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 =60d0dr (zr1r=12[1(1r2)2r3(1r2)]dr1r0 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy故I23

3dxdyx2y2,學(xué)一臨考演習(xí)》P38第19題.（18（.

xn收斂x【證】 fn(x)xnnx1.由fn(0)10，fn(1)n0，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方xnnx10xnx>0fn(xnxn1n0fn(x在[0,上單調(diào)增加,xnnx10存在惟一正實(shí)數(shù)根xn.xnnx10xn00

1

1，故當(dāng)10

(

n而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂n ),（19（z=z(x,y)x26xy10y22yzz2180zz(xy的極值點(diǎn)和極值【分析【詳解】因?yàn)閤26xy10y22yzz21802x6y2yz2zz0 6x20y2z2yy2zy0z x3y令yx故z

得3x10yzx26xy10y22yzz2180xy z

xyz由于22y2z2z)22z2

0 2 z 262x2yxy2yx2zxy202z2z2y2z2(z)22z2

0

所以A

1，B6

1，C2

5 22222

6A

22

1，B6

1，C2

532222

6z(-9,-3)=-全類似的例題見(jiàn)《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P277例10.31.（20（ (1a)xx 2x(2a)x2x (nnx1nx2(na)xn 1 1A

2

a ax1x2xn

, 1

n(n

0 0

a B 0

1

1 n(n 2 2xx 3xx 1,2,n)T，1111 222 nnn nA (an(n1))an12A0a=0a

2

A

1

1 1

n

0x1x2xn

n(n

a

2 1 1A

2

a a

1

0

11 11

2xx 3xx 1,2,n)T，

1

1A

2

=aE+ 2，矩陣 2的特

n

n

n 值為 ,故行列

A(an(n1))an1 （21（ 設(shè)矩陣A

5【分析AA是否可相似對(duì)【詳解】A

1

3

31=(2)

3

當(dāng)2是特征方程的二重根，則有2216183a 當(dāng)a=-2時(shí)，A的特征值為2,2,6,矩陣2E-A=

331，故