高一數(shù)學(xué)棱柱與它的性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)棱柱與它的性質(zhì)第1頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫多面體,自然界許多物體都成多面體形狀如圖(1-1)簡(jiǎn)單多面體棱柱與凌錐1多面體圖1-1第2頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.棱柱與它的性質(zhì)如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行,而其余每想鄰兩個(gè)面的交線互相平行,這樣的多面體叫做棱柱,兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,簡(jiǎn)稱為底;其余的各個(gè)面叫做棱柱的側(cè)面;兩側(cè)面公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;兩底面所在的平面的公垂線段叫做棱柱的高(公垂線段的長(zhǎng)度也簡(jiǎn)稱高).我們常見(jiàn)的一些物體,例如三棱鏡,方轉(zhuǎn)以及螺桿的頭部等,都成棱柱的形狀.第3頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.平行六面體與長(zhǎng)方體底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體.(圖1-7(2)),底面是矩形的直六面體叫做長(zhǎng)方體(圖1-7(3)),棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體(圖1-7(4).定理:平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平行圖1-7（1）（2）（3）（4）第4頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱和棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn),連接不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的體積.把一個(gè)多面體的任一個(gè)伸展成平面,如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體(圖1-1左下圖).但圖9-80右下圖中的多面體則不是凸多面體.一個(gè)多面體至少有四個(gè)面,多面體按它的面數(shù)分別叫做四面體,五面體,六面體等.定義第5頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1。已知正三棱柱ABC-A’B‘C’的各鄰長(zhǎng)是1（圖1-6）M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC‘上的點(diǎn)，且CN=1/4CC’，求證：AB‘垂直MN。證明：設(shè)則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)BCAC’A‘B’第6頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四已知:平行六面體ABCD-A’B’C’D’(圖1-8).求證:對(duì)角線AC’,BD’,CA’,DB’相交與一點(diǎn)O,且在O點(diǎn)處互相平分.證明:設(shè)點(diǎn)O是AC’的中點(diǎn),則設(shè)P,M,N分別是BD’,CA’,DB’的中點(diǎn),同樣可證由此可知O,P,M,N四點(diǎn)重合定理:長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)平方和.已知長(zhǎng)方體AC’中,AC’是一條對(duì)角線(圖1-9),求證:證明:ABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’所以即證知得第7頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多面形，其余各面是一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐。棱錐的底面可以是三角形，四邊形，五邊形------我們把這樣的凌錐分別叫做三凌錐（圖1-9（1）），四凌錐（圖1-9（2）），五凌錐（圖1-9（3））-------定理：如果凌錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面的面積的比等于頂點(diǎn)到截面的距離與凌錐的高的平方比.已知：如圖1-10，在棱錐S-AC中，SH是高，截面A‘B’C‘D‘E’平行于底面并與SH交于H‘。求證:截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE,且棱椎與其性質(zhì)考思圖1-9(1)(2)SABCDEH’A’B’C’D’E’第8頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明：因?yàn)榻孛嫫叫信c底面，所以A‘B’//AB，B‘C’//BC，C‘D’//CD，------因而又因?yàn)檫^(guò)SA，SH的平面與截面和底面分別相交于AH‘和AH。所以A’H‘//AH，得ABCDEA’B’C’E’同理如果一個(gè)凌錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的凌錐叫做正凌錐。HD’S第9頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正棱錐有下面的一些性質(zhì):(1)正凌錐各側(cè)棱相等,各側(cè)棱都相等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正凌錐的斜高)(圖1-11).(2)正凌錐的高,斜高和斜高在地面內(nèi)的射影組成一個(gè)只三角形,正凌錐的高,側(cè)棱,側(cè)棱在地面上的攝影也組成一個(gè)直角三角形(圖1-12)BCDSOABCSA’B’C’例2.已知正三凌錐S-ABC的高SO=l,求經(jīng)過(guò)SO的中點(diǎn)O’平行與底面的截面的面積（圖1-12）。解：連接OM，OA，在直角AE第10頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5直棱柱和正凌錐的的直觀圖的畫法：畫法:（1）畫軸，畫x’軸，y’軸，z’軸，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O‘點(diǎn)，使(2)畫底面，按軸，軸畫正六邊形的直觀圖ABCDE。（3）畫側(cè)棱，過(guò)A、B、C、D、E、F各點(diǎn)分別作軸的平行線，并且在這些平行線上截取AA’、BB‘、CC’、DD‘、EE’、FF‘，使它們都等于棱長(zhǎng)。（4）成圖，順次連接A’、B‘、C’、D‘、E’、F‘，并加以整理（去輔助線，將別遮擋的部分改為虛線），就得到正六棱柱的直觀圖。X’Y’Z’FF’AA’BB’CC’ABCDEFA’B’C’D’E’F’ODED’E’第11頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.劃一個(gè)底面邊長(zhǎng)為5cm,高為11.5cm的正五棱錐的直觀圖比例尺是1/5.畫法:(1)畫軸,x‘軸,y’軸,z’記坐標(biāo)原點(diǎn)為o’,使（圖1-14(1))（2）畫底面，按x’軸，y’軸，畫五正無(wú)邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長(zhǎng)等于5÷5=1(cm)，并且使正無(wú)邊形的中心對(duì)應(yīng)于o’點(diǎn)。（3）畫高線，在z’軸上取=11.5÷5=2.3(cm)(4)成圖.連接SA,SB,SC,SD,DE,并加以整理,就得到所畫的正無(wú)棱錐的正棱錐的直觀圖(圖1-14(2)).O’X’Z’ABCEDEY’ABCDS圖1-14(1)(2)第12頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四每一個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多面形,每一個(gè)頂點(diǎn)都為端點(diǎn),都有相同棱數(shù)的凸多面體,叫做正多面體.正多面體只有四面體,正六面體,正八面體,正十二面體,正二十面體5種(圖1-15),它們的展開圖分別為:正多面體第13頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1求證：直棱柱的側(cè)棱與高相等，經(jīng)過(guò)不相鄰的兩側(cè)棱的截面都是矩形。2已知以正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三棱長(zhǎng)a、b、c，求它的對(duì)角線（1）a=3,b=4,c=5(2)a=7