經(jīng)典極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合測(cè)試題(含答案)

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x．曲線為以（，0）為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線．（2）直線l的參數(shù)方程可化為，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0．解得t1=﹣2，t2=6．∴||=|t1﹣t2|=8．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線C1上一點(diǎn)，Q曲線C2上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)P點(diǎn)極坐標(biāo)．【解答】解：（1）由消去參數(shù)α，得曲線C1的普通方程為．由得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)P（2cosα，2sinα），則點(diǎn)P到曲線C2的距離為．當(dāng)時(shí)，d有最小值，所以|PQ|的最小值為．6．在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2=，點(diǎn)R（2，）．（Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，則：曲線C的方程為ρ2=，轉(zhuǎn)化成．點(diǎn)R的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為：R（2，2）．（Ⅱ）設(shè)P（）根據(jù)題意，得到Q（2，sinθ），則：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．當(dāng)時(shí)，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周長(zhǎng)為4．7．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線θ=（ρ∈R）與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度．【解答】解：（I）曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去φ可得：+（y+1）2=9，展開(kāi)為：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得極坐標(biāo)方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x．（II）把直線θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）設(shè)t為參數(shù)，若x=﹣2+t，求直線l的參數(shù)方程；（2）已知直線l與曲線C交于P、Q，設(shè)M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，求實(shí)數(shù)p的值．【解答】解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2，化為直角坐標(biāo)方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）．（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐標(biāo)方程：y2=2px．把直線l的參數(shù)方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨設(shè)|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|?|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化為：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在極坐標(biāo)系中，射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A，橢圓Γ的方程為ρ2=，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（Ⅰ）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求?的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）射線l：θ=與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A（2，），點(diǎn)A的直角坐標(biāo)（，1）；橢圓Γ的方程為ρ2=，直角坐標(biāo)方程為+y2=1，參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；（Ⅱ）設(shè)F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴?=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴?的取值范圍是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線C上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）曲線的C參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），普通方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=，直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣4=0；（2）點(diǎn)P到直線l的距離d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距離的最小值為2﹣2，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（1+，1﹣）．11．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（I）求曲線C2的直角坐標(biāo)系方程；（II）設(shè)M1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得：2x+y+4=0．∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為2x+y+4=0．∵M(jìn)1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，∴|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值．設(shè)M2（r2﹣1，2r），M2到直線2x+y+4=0的距離為d，則d==≥．∴|M1M2|的最小值為．12．設(shè)點(diǎn)A為曲線C：ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點(diǎn)，且0≤θ≤，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，（1）求曲線C的參數(shù)方程；（2）以A為直角頂點(diǎn)，AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求點(diǎn)B軌跡的極坐標(biāo)方程．【解答】（1）θ為參數(shù)）（2）：設(shè)A（ρ0，θ0），且滿足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依題意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以點(diǎn)B的軌跡方程為，．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn)．當(dāng)α=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)α=時(shí)，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲線C1：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2，展開(kāi)為：x2+y2﹣2ax=0，其極坐標(biāo)方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當(dāng)θ=0時(shí)，|OA|=ρ=1，∴a=．曲線C2：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0），化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2，展開(kāi)可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ，由題意可得當(dāng)時(shí)，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值為+1，當(dāng)2θ+=時(shí)，θ=時(shí)取到最大值．14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin（﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x′﹣1）2+y′2=1，∴