公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)第一章

1.5

x

y, y,L, x

0x 0dyfxgy或MxNydx x

dy gy

fxdxgy

1.5.2dy

f

y xxuy，則x

uxufu dxfuu 1.5.2一階線性齊次方程yPxy通解：yCeP通解：yePxdxQxePxdxdxC 先求出對應(yīng)的齊次方程yPxy0yCeP設(shè)方程其中C(x)待定。代入方程

yPxyQx中確定出若P(x,y)，Q(x,y)在單連通區(qū)域GP

Q，則PxydxQxydy x,y

其通解為ux,yx Px,ydxQx,ydy0， 中（x0，y0）是區(qū)域G1.5例（2016）微分方程dy xyA.齊次微分方 B.可分離變量的微分方C.一階線性微分方程 D.二階微分方程1.5例（201）微分方程dyytany的通解是 A.sin B.cos C.sin x D.Cx

d，

u x x代入原方程xdu

tanu

cosududxlnsinulnxlnCsinuCxsinyCx 1.5例（2014）微分方程xyyx2e2x的通解y等于 A.x

1e2

C B.xe2xC2 2 x 2x x

xe2x y xy yPxyQx的通 1dx ye dxCx e2xC ynfx fxdx1yfxy

pfxppx,C1，于是yx,C1yfyy方程中不顯含未知函數(shù)x。令y’=p(y)，則ydpdyp原方程化為pdp

fy,

dy 若其通解為p

x1y,C 11.5例（2008）微分方程yy2的通解是 A.lnx B.lnxCC.C2lnx D.C2lnx為

p2。分離變量得p2

1p

x所以p x

，即dy x

y

x

ypxyqxyfpx,qxfx均為x的已知連續(xù)函數(shù)。當(dāng)f(x)=0時，有當(dāng)fx0時，原方程為二階非齊次線性方程兩個函數(shù)的線性相關(guān)性。設(shè)1(x)，y2(x)是定義在區(qū)間I個函數(shù)，y，y線性無關(guān)

2設(shè)y1y2ypxyqxy0yC1y1C2y2也是方程的解，其中C1和C2設(shè)y3y4ypxyqxy0Y

C3y3C4y4是方程的通解，其中C3和C4設(shè)y1y2是非齊次方程ypxyqxyfx，則yy1y2設(shè)y*ypxyqxyfxYCyC yY 如果y1ypxyqxyf1xy21ypxyqxyf2xyyypxyqxyf1xf2x的解。1

ypyqy0p,q為常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為r2prq0rryCer1xCer2 若特征方程的兩個實數(shù)根rrr，通解為y CC yexCcosxCsinx

i1.5例（2016）微分方程y2yy0的兩個線性無關(guān)的解是 A.yx, B.yex, C.yex, D.yex, 答案：D，特征方程2210121CC C，C為任意常數(shù)是微分方 yy2y