計(jì)量地理學(xué)第五章

計(jì)量地理學(xué)第五章第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析§1 地理要素間的相關(guān)分析一、地理相關(guān)的意義所謂相關(guān)，是指兩個或兩個以上的變量間相互關(guān)系是否密切。相關(guān)分析僅限于測定兩個或兩個以上的變量間相關(guān)程度和性質(zhì)。而地理相關(guān)則是指應(yīng)用相關(guān)分析法來研究各地理要素間的相互關(guān)系和聯(lián)系強(qiáng)度。在地理系統(tǒng)中，各要素間存在著各種不同的關(guān)系。一種是確定性的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系，這在地理系統(tǒng)中比較少見，因?yàn)楹芏嗟乩硪氐淖兓哂须S機(jī)性的緣故；另一種關(guān)系是相關(guān)關(guān)系，即要素間既存在較密切的關(guān)系，但又不能由一個要素的值精確地求出另一個要素的值。還有一種情況，是各要素之間完全沒有任何關(guān)系。如圖5－1所示：第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析從圖中可以看出，若設(shè)x、y為兩種地理要素。第一種情況，若y嚴(yán)格隨x變化而變化，如(a)所示，所有觀測點(diǎn)均落在直線或曲線上，則稱為完全相關(guān)或函數(shù)關(guān)系；第二種情況，若觀測點(diǎn)落在直線或曲線兩旁，如(b)所示，則稱為統(tǒng)計(jì)相關(guān)；第三種情況，若觀測點(diǎn)分布散亂，則兩種地理要素完全無關(guān)，相互獨(dú)立。第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析二、地理相關(guān)程度的度量方法計(jì)量地理學(xué)中用不同的指標(biāo)來度量不同類型的地理相關(guān)的程度。（一）簡單直線相關(guān)程度的度量一般情況下，當(dāng)兩個地理要素間為直線相關(guān)時，需要分析其相關(guān)程度和相關(guān)方向。所謂相關(guān)程度指兩者關(guān)系的密切程度，而相關(guān)方向可分為正相關(guān)與負(fù)相關(guān)。前者指兩個要素間呈同方向變化，而后者相反。這兩者可用一個共同的指標(biāo)度量，就是相關(guān)系數(shù)。1.一般常用的相關(guān)系數(shù)(r)計(jì)算公式其中，第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析上式計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)，具有下列三點(diǎn)性質(zhì)：（1）相關(guān)系數(shù)的分布范圍，介于－1與+1之間；（2）當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正值時，表示兩個要素之間為正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為負(fù)值時，表示兩個要素之間為負(fù)相關(guān)；（3）相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，表示兩個要素間相關(guān)程度越密切。例1：北京市多年各月平均氣溫與5cm深的平均地溫，數(shù)據(jù)如表5－1所示。依據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可得：0.9995，由此可見，北京市的各月平均氣溫與5cm的平均地溫呈正相關(guān)，而且相關(guān)極為密切。第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析2.順序（等級）相關(guān)系數(shù)（rs）計(jì)算公式順序相關(guān)不但適用于數(shù)量資料的相關(guān)分析，而且適用于質(zhì)的資料。表示兩個要素順序間直線相關(guān)程度和方向的系數(shù)，稱為順序相關(guān)系數(shù)。當(dāng)使用兩個要素間的數(shù)值計(jì)算相關(guān)系數(shù)不方便時，可用順序相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式來求得。例2：現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫與5cm平均地溫為例，列成表5－2說明其計(jì)算過程。首先將表中兩個要素的觀測值按大小順序排列起來，最大值排為1號，依次類推。將兩個要素的順序號相減，即為d，將其平方求和并帶入上面公式，即可得到兩者的順序相關(guān)系數(shù)rs。第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（二）簡單非線性相關(guān)程度的度量表示簡單非線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，通常用相關(guān)指數(shù)Ryx來度量。相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)如下：（1）相關(guān)指數(shù)的分布范圍介于0到1之間；（2）相關(guān)指數(shù)的數(shù)值越大，兩個要素間的曲線相關(guān)程度越密切。（3）相關(guān)指數(shù)必大于或至少等于用同一批資料所求得的相關(guān)系數(shù)的絕對值。第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（三）多要素相關(guān)與相關(guān)矩陣對于多個地理要素，則可計(jì)算出各要素兩兩之間的相關(guān)系數(shù)，并構(gòu)成相關(guān)矩陣。例3：現(xiàn)給出世界上自然植被的生產(chǎn)量與水熱資源的原始地理數(shù)據(jù)（表5－3），利用相關(guān)系數(shù)公式得到其相關(guān)矩陣，形式如下所示：第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)為了判定我們所計(jì)算出來的相關(guān)系數(shù)是否有意義，通常還要進(jìn)一步對相關(guān)系數(shù)作顯著性檢驗(yàn)。為了使用上方面，前人已經(jīng)制出了相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表（附錄二）。其中n表示所使用資料的個數(shù)（自由度f為n-2），α為信度。對計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)證明要素間相關(guān)程度是顯著的之后，就可以對其進(jìn)行進(jìn)一步的回歸分析了。第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析§2 地理要素間的回歸分析一、地理回歸分析的意義和作用地理系統(tǒng)各要素之間的相互關(guān)系，可通過大量的觀測、試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)取得一定的地理數(shù)據(jù)，然后用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，尋找出隱藏在隨機(jī)性后面的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而用回歸方程來表達(dá)。地理回歸分析主要是研究地理要素之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，有自變量與因變量之分，從而可由自變量的取值來預(yù)測、延長或插補(bǔ)和控制因變量的取值，所以它有地理預(yù)測的性質(zhì)。地理回歸分析的主要內(nèi)容包括：1.由一組地理數(shù)據(jù)確定這些要素間的定量數(shù)學(xué)表達(dá)式，即回歸模型；2.利用回歸模型，根據(jù)自變量的值來預(yù)測或控制因變量的取值。第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析二、一元地理回歸模型的建立一元地理回歸是要解決兩個要素間的定量關(guān)系。由于兩個要素之間的數(shù)量關(guān)系類型的差別，一元地理回歸包括線性回歸模型和非線性回歸模型分述如下：（一）一元線性地理回歸模型的建立假設(shè)有兩個要素（變量）x和y。x為自變量，y為因變量。x可以是降水量、蒸發(fā)量、土壤中的有機(jī)質(zhì)含量等；y可以是河流徑流量、土壤含水量等。假定一元線性模型結(jié)構(gòu)為：yi=A+Bxi+εi式中，A、B為待定參數(shù)，i=1,2,...,n，而（xi，yi）為n組觀測數(shù)據(jù)，εi為隨機(jī)變量。參數(shù)A、B一般總是未知的，需根據(jù)觀測值采用最小二乘法來估計(jì)。第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析設(shè)a和b分別為參數(shù)A和B的最小二乘估計(jì)值，于是便得到了一元線性回歸模型為上式代表x和y之間關(guān)系的最佳擬和直線，通常稱為回歸直線。它滿足y的實(shí)際觀測值與回歸值之間的誤差平方和最小。這就是最小二乘法。1.參數(shù)a和b的最小二乘估計(jì)根據(jù)最小二乘原理，可得a、b的計(jì)算公式如下：第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析2.一元線性地理回歸模型的具體建立方法與步驟建立一元線性地理回歸模型，就是用已有的地理數(shù)據(jù)來確定a和b的值。現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫x與5cm平均地溫y為例，建立一元線性地理回歸模型的過程如下：（1）將表中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)代入相應(yīng)的計(jì)算公式，得到a、b的數(shù)值。（2）當(dāng)參數(shù)a與b求出后，便可得出一元線性地理回歸模型如下：第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析3.一元線性地理回歸模型的效果檢驗(yàn)當(dāng)一元線性地理回歸模型求出來以后，它的效果如何，它所揭示的地理規(guī)律性強(qiáng)不強(qiáng)，用它來進(jìn)行地理預(yù)測精度如何？所有這些問題都需要進(jìn)一步作出分析。（1）回歸模型估計(jì)的誤差由線性回歸模型所得到的y的估計(jì)值往往與實(shí)測值y不完全一致，它們之間的誤差稱為估計(jì)誤差，以標(biāo)準(zhǔn)差的形式表示為在實(shí)際地理問題中，只要比較S與允許的偏差即可。第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（2）回歸模型的顯著性檢驗(yàn)觀測值yi與其平均值~y的差異可用離差平方和來表示，記為S總。它又可以進(jìn)行如下的分解：上式右側(cè)的第一項(xiàng)是所有觀測點(diǎn)yi與回歸值的殘差平方和，表示除了x對y的線性影響以外的一切因素對y的變異影響，故稱為剩余平方和，記作Q；第二項(xiàng)反映了在y的總偏差中，由x與y的線性關(guān)系引起的y的變化分布，故稱為回歸平方和，記作U。故有：S總＝U+Q。第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析一個回歸效果的好壞取決于U在總離差平方和中的比例或者U與Q的比值。若取前者則有：從U與Q比值的大小來考慮，可利用如下的F檢驗(yàn)方法。根據(jù)前人的研究，統(tǒng)計(jì)量F＝U/(Q/(n-2))符合第一自由度為1，第二自由度為n-2的F分布，根據(jù)前面學(xué)習(xí)的F－檢驗(yàn)方法，即可對回歸模型的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（二）一元非線性地理回歸模型的建立在許多實(shí)際地理問題中，有時兩個要素之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是某種非線性關(guān)系，這時我們選擇適當(dāng)?shù)念愋颓€比配直線更符合地理實(shí)際情況。例如：我國武夷山南坡地形高度與年降水量之間的關(guān)系，玉米產(chǎn)量與耗水量之間的關(guān)系等等。對于這一類地理問題，首先需要選配曲線，確定曲線的類型，然后再化曲線回歸模型為直線回歸模型處理。第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析1.選配曲線的基本方法 根據(jù)理論分析、過去的經(jīng)驗(yàn)或觀測數(shù)據(jù)的分布趨勢與特點(diǎn)，來確定兩個要素之間的曲線類型及其函數(shù)形式，從而求非線性地理回歸模型的過程及其方法，叫做曲線選配。一般是先通過變量變化，把非線性函數(shù)關(guān)系化為線性關(guān)系，再采用線性回歸的方法確定參數(shù)。當(dāng)曲線的函數(shù)類型確定后，下一步就是求函數(shù)中的參數(shù)a和b。確定參數(shù)的辦法仍然是最小二乘法。第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析2.地理上常見的非線性回歸模型的建立方法在地理問題上，較常見的曲線類型有：冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型等。下面說明不同類型的非線性地理回歸模型的建立方法與步驟。（1）冪函數(shù)型 兩個地理要素之間的冪函數(shù)表達(dá)式為y=axb對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，得lny=lna+blnx令Y=lny，A=lna，X=lnx，則上式為Y=A+bX這樣就將曲線模型轉(zhuǎn)化成線性模型了。第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析例如：長白山北麓熔巖臺地地貌形態(tài)的變化，見表5－6，即呈冪函數(shù)曲線型。設(shè)x表示各地點(diǎn)距白頭山天池火口壁的距離（km），y為熔巖臺地各地點(diǎn)的海拔高度（m）。冪函數(shù)回歸模型和擬和圖如圖5－4所示。第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（2）指數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的指數(shù)函數(shù)表達(dá)式為y=aebx或y=ae-bx，y=abx然后對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，則得lny=lna+(lnb)x令Y=lny，A＝lna，B=lnb則上式為Y＝A＋Bx這樣指數(shù)函數(shù)模型就轉(zhuǎn)化成線性模型了。第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析例如：長白山北麓地形高度對年降水量的影響，即按指數(shù)規(guī)律遞增，見表5－7和圖5－5所示。由圖中模型可知，長白山北坡的年降水量是按指數(shù)規(guī)律增加的，其相關(guān)指數(shù)達(dá)0.9992。第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（3）對數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的對數(shù)函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=a+blnx令X＝lnx，上式可直接轉(zhuǎn)化為直線方程如下：Y=a+bX例如：當(dāng)土壤濕度為最大田間持水量的50％－60％，雨強(qiáng)為1.0－2.0mm/min時，淋溶和退化黑鈣土區(qū)的地形坡度對徑流系數(shù)的影響，即符合對數(shù)規(guī)律。見表5－8和圖5－6。徑流系數(shù)隨地形坡度的增加按對數(shù)律遞增，相關(guān)指數(shù)達(dá)0.9986。當(dāng)?shù)匦纹露葹榱愣葧r，該區(qū)域徑流系數(shù)為0.45；當(dāng)?shù)匦纹露绕骄吭黾?度時，該區(qū)徑流系數(shù)平均增加0.08。第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析圖表說明如下：第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析3.一元非線性回歸模型的效果檢驗(yàn)在選配曲線的回歸過程中，首先遇到的問題就是曲線類型的選擇。因?yàn)榍€類型選擇恰當(dāng)，不僅對揭示出要素間的內(nèi)在規(guī)律具有重要意義，而且對于減少剩余誤差、提高回歸模型的效果更具有實(shí)際意義。否則，其效果往往不能令人滿意，甚至?xí)崆亻g的內(nèi)在規(guī)律性。那么，怎樣衡量曲線回歸模型的好壞呢？在衡量一元線性回歸模型的效果時，我們采用了相關(guān)系數(shù)的平方等于回歸平方和與總平方和之比，即或用剩余平方和來表示，則為在選配曲線的過程中，要求所配曲線與地理數(shù)據(jù)擬和較好，可利用上面右式定義的量來衡量所配曲線效果的好壞，記作R2，稱為相關(guān)指數(shù)。第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析相關(guān)指數(shù)越大，表明選配的回歸曲線效果越好，剩余標(biāo)準(zhǔn)差越小，其回歸模型的預(yù)測精度就越高?，F(xiàn)以表5－8中數(shù)據(jù)為例，計(jì)算出剩余平方和與總平方和如表5－9所示。其相關(guān)指數(shù)為R2=1-0.0001/0.0298=1-0.0034=0.997剩余標(biāo)準(zhǔn)差為由此可見，地形坡度對徑流系數(shù)影響的模型擬和效果很好，而且剩余標(biāo)準(zhǔn)差也很小，因此模型的預(yù)測精度也很高。第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析三、多元地理回歸模型的建立一個地理系統(tǒng)的基本特點(diǎn)之一，是它具有多要素性，而且各要素之間相互聯(lián)系、相互影響。當(dāng)研究某一個要素y與其他要素x1,x2,x3,...,xn之間的定量關(guān)系時，就需要用多元回歸分析方法。這里同樣也有線性和非線性之分。下面分別介紹線性與非線性多元回歸模型的建立方法。（一）多要素線性地理回歸模型的建立1.多要素線性地理回歸模型的建立方法一般設(shè)其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型為yα=β0+β1xα1+β2xα2+β3xα3+...+βkxαk+εα采用最小二乘法，得到回歸模型為y^=b0+b1x1+b2x2+...+bkxk（bk為偏回歸系數(shù)）第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析偏回歸系數(shù)的意義表明：當(dāng)其他要素都固定時，該自變量每變化一個單位而使y平均改變的數(shù)值。偏回歸系數(shù)的確定同樣是依據(jù)最小二乘法原理，即使達(dá)到最小，式中α為觀測數(shù)據(jù)的序號，將上式對b0,b1,...,bk求偏倒數(shù)，并令其都等于零，即第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析經(jīng)展開整理后得第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析以上方程組稱為正規(guī)方程組，由其系數(shù)構(gòu)成得矩陣記作A＝X′X，即上述方程組可寫成Ab=B的形式，其中B=X′Y。解這個方程組即可得到各個變量的偏回歸系數(shù)。將求出的偏回歸系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)代入多元線性數(shù)學(xué)模型中，即可得到k元線性地理回歸模型。第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析例如：某一國家某一經(jīng)濟(jì)區(qū)內(nèi)木材生產(chǎn)指數(shù)y（以1955年為100）受該區(qū)森林蓄積量指數(shù)x1，木材價格指數(shù)x2和運(yùn)輸距離指數(shù)x3的影響，如表5－10所示?？衫肈oolittle法或利用Excel等軟件工具計(jì)算出其多元線性回歸模型的偏回歸系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析2.多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)在多元線性回歸問題中，同一元線性回歸一樣也需要對回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。如果經(jīng)過檢驗(yàn)是顯著的，則說明建立的回歸模型是有用的，否則就沒有什么實(shí)際意義。在多元線性回歸分析中，同樣也存在回歸平方和U與剩余平方和Q，兩者的自由度分別k和n-k-1，于是剩余標(biāo)準(zhǔn)差為S＝sqrt(Q/(n-k-1))。同樣可對整個回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，通常采用F－檢驗(yàn)法。F值為回歸方差和剩余方差之比，即根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果，在F值的右上角可標(biāo)注星號。例如：前面例子中的檢驗(yàn)結(jié)果就表明多元線性關(guān)系具有高度顯著性。第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析（二）多要素非線性地理回歸模型的建立在地理系統(tǒng)中，除部分問題是屬線性關(guān)系外，還有大部分問題屬于非線性關(guān)系。下面扼要地介紹兩種多元非線性地理回歸模型的建立方法。1.多項(xiàng)式回歸模型的建立方法在地理系統(tǒng)中，有些曲線不能化為直線處理，如二次多項(xiàng)式就不能化為線性模型。一般的處理方法是將它化為二元線性回歸模型，然后按照多元線性回歸分析方法處理。這種方法可以處理大部分一元非線性回歸模型，因?yàn)槿魏魏瘮?shù)形式都可以在較小區(qū)間內(nèi)用多項(xiàng)式逐步逼近。當(dāng)多項(xiàng)式回歸的自變量取兩次冪時，便是二次多項(xiàng)式，即拋物線。其數(shù)學(xué)模型為y=b0+b1x+b2x2，令x1=x,x2=x2，則模型變?yōu)閥=b0+b1x1+b2x2?？捎枚€性回歸的方法確定模型參數(shù)。第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析例如，依據(jù)黑龍江省的實(shí)測資料（表5－14），土溫與地積溫系數(shù)k之間的關(guān)系，便可用多項(xiàng)式回歸化成線性回歸來處理。將表5－14中的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪成散點(diǎn)圖5－7可知，這個問題可用拋物線來近似。用Excel等軟件及手動計(jì)算均可得到具體的二次多項(xiàng)式模型。第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析若多項(xiàng)式回歸的自變量為三次冪時，則為三次多項(xiàng)式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=b0+b1x+b2x2+b3x3例如，日本1931－1957年糧食生產(chǎn)指數(shù)，即可用三次多項(xiàng)式回歸來擬合。日本糧食生產(chǎn)指數(shù)模型和擬合情況，見圖5－9所示。第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析2.冪函數(shù)乘積模型的建立方法這是一種用途廣泛，計(jì)算方便，物理意義清楚，要素間關(guān)系明確的數(shù)學(xué)模型。這種方法的基本思路是把某一要素y與其他要素xi之間的函數(shù)關(guān)系寫成冪函數(shù)的連乘積形式，即y=k*x1a*x2b*x3c*x4d...式中，k、a、b、c、d為待定地理參數(shù)。建立冪函數(shù)乘積模型的模型，也就是確定參數(shù)的過程。教材講了一種辦法，也可直接將冪函數(shù)乘積模型變換為多元線性回歸模型顯然更為簡便?？蓪δＰ蛢蓚?cè)同時取自然對數(shù)，對變換后的多元線性回歸模型利用前面講過的方法，確定各個參數(shù)，然后再根據(jù)變換關(guān)系將其重新轉(zhuǎn)換為冪函數(shù)乘積模型。第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析例如：前蘇聯(lián)1965－1974年鋼產(chǎn)量（y）與焦炭產(chǎn)量（r1）、生鐵產(chǎn)量（r2）和發(fā)電量（r3）之間的關(guān)系，便可用冪函數(shù)乘積模型來表達(dá)。原始數(shù)據(jù)如表5－16所示。按照書上的計(jì)算辦法，可得到前蘇聯(lián)鋼產(chǎn)量與焦炭產(chǎn)量、生鐵產(chǎn)量和發(fā)電量之間關(guān)系可用下式來表達(dá)：y^=1.637x10.0037x20.9779x30.0018其擬合效果良好，影響鋼產(chǎn)量最大因素是生鐵產(chǎn)量，其次為焦炭產(chǎn)量。第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析§3 地理系統(tǒng)的空間趨勢面分析一、空間趨勢面分析概述地理系統(tǒng)的最重要特征之一是它具有區(qū)域性。用數(shù)學(xué)的方法，以數(shù)學(xué)模型來模擬地理數(shù)據(jù)的空間分布及其區(qū)域性變化趨勢的方法，稱為趨勢面分析。趨勢面是一種光滑的數(shù)學(xué)曲面，它能集中代表地理數(shù)據(jù)在大范圍內(nèi)的空間變化趨勢。趨勢面只是實(shí)際曲面的一種近似。它反映了區(qū)域性的變化規(guī)律，受大范圍的系統(tǒng)性因素所控制；剩余曲面則反映了局部性變化特點(diǎn)，受局部因素和隨機(jī)因素所制約。前者對應(yīng)于一個確定性函數(shù)，而后者則對應(yīng)于一個隨機(jī)性函數(shù)。一般常采用多項(xiàng)式函數(shù)來計(jì)算趨勢面。第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期四第五章地理系統(tǒng)要素間的相關(guān)分析與回歸分析二、趨勢面分析的數(shù)學(xué)模型（一）趨勢面分析的數(shù)學(xué)原理設(shè)以zi(xi,yi)表示某一地理特征值在空間上的分布（圖5－11）。其中（xi,yi）為平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。由上述已知，任一觀測點(diǎn)可分解為兩個部分，即Zi(xi,yi)=Ti(x