高考復(fù)習體系-高考母題B-平面向量-“黃岡杯”一等獎

課時4平面向量數(shù)量積的坐標表示課前預(yù)習識記考點設(shè)i、j為x軸、y軸上的單位向量．即i=(1，0),j=(0，1)，且a、b為兩個非零向量，a=(x，y)，b=(x，y)，則i·i=l，j·j=l，i·j=j·i=0，a·b=xx+yy，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和．由數(shù)量積的坐標表示，容易得到下面幾個重要結(jié)論：1．若a=(x，y)，則|a|=．2．若A(x，y)，B(x，y)，=a，則|a|=(平面內(nèi)兩點間的距離公式)．3．若a=(x，y)，b=(x，y)，為a、b的夾角，則cos=(兩向量的夾角公式)．4．若a=(x，y)，b=(x，y)，則a⊥bxx+yy=0．考前熱身考點點擊1．設(shè)i、j分別為x軸、y軸上的單位向量，與向量a=3i一4j垂直的向量是()(A)8i一4j(B)一8i一6j(C)一8i+4j(D)以上都不對2．已知m=(1，2)，n=(2，1)，則向量m與n夾角余弦為()(A)(B)一(C)(D)一3．已知m=(3，一1)，n=(x，一2)，且<m，n>=，則x等于()(A)l(B)一l(C)一4(o)44．已知a=(1，3)，b=(一2，一1)，則(3a+2b)·(2a(A)2(3+5)+95(B)2(3+5)一95(C)15(D)2055．已知向量a=(3，2)，b=(一4，x)，且a⊥b，則x=______課堂互動講解重點【例l】已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，1)，B(3，1)，C(4，5)，試求△ABC的面積．思路依據(jù)三角形面積公式S=||·||·sin∠BAC。關(guān)鍵是要求出sin∠BAC，可先求cos∠BAC．解析依題意,得=(2，o)，=(3，4)．||=2．||=5。||·||=2×3+0×4=6．cos∠BAC===．sin∠BAC===．S=||·||·sin∠BAC=×2×5×=4答：△ABC的面積為4．【例2】在△PQR中，=(2，3)，=(1，k)，且△PQR的一個內(nèi)角為直角，求k的值．思路由題意知△PQR為Rt△，反映出存在兩條邊所在的向量垂直，可列出坐標所滿足的關(guān)系，究竟哪兩邊垂直。即哪個角為直角，則需分情況討論．解析(1)∠P=90時，·=0，2×l+3k=0．即k=一．(2)當∠Q=90時，=一=(一1，k一3)，·=0，2×(一1)+3(k一3)=0，即k=．(3)當∠R=90時，·=0，一1+k(k一3)=0，即k一3k—l=0．k=(3±)．討論難點【例3】(2004年南昌市調(diào)研)設(shè)向量a=(cos23，cos67)，b=(cos68．cos22)，u=a+tb．(tR)(1)求a·b；(2)求u的模的最小值．解析(1)a·b=cos23cos68+cos67cos22=sin22cos23+cos22sin23=sin45=．(2)u=a+tb=(cos23+tsin22，sin23+tcos22)|u|===當t=一時,|u|=【例4】已知中心為坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為．直線x+y—l=0與它相交于M、N兩點，且·=一7，求橢圓的方程．解析設(shè)橢圓方程為：=1(a>b>o)，則=，即=．a(chǎn)=4b設(shè)M、N的坐標分別為(x，y)，(x，y)，解方程組消去y，得：5x一8x+4(1一b)=0，xx=(1一b)，x+x=從而yy=(1一x)(1一x)=1一(x+x)+xx=·=一7，xx+yy=一7，(1一b)+=一7解得b=5,a=20．橢圓方程為=1．隨堂小結(jié)方法提煉1．由于向量有多種表示形式，又向量的各種運算都可用坐標表示，于是在運用向量知識解決有關(guān)問題時往往有多種方法，其中坐標法是最常用、最重要的一種方法．2．利用向量的加法、減法和實數(shù)與向量的積可解決幾何中有關(guān)平行和比例問題。利用向量的數(shù)量積可解決幾何中有關(guān)長度、角度和垂直的問題．變式訓練能力進階一、選擇題1．以A(1，0)，B(3，1)，C(4，一1)為頂點的三角形一定是()(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)等邊三角形(D)等腰直角三角形2．已知a=(一1，3)，b=(2，一1)，且(ka+b)⊥(a一2b)，則k為()(A)(B)一(C)(D)一3．已知n=(a，6)，向量n與m垂直，且|m|=|n|，則n的坐標為()(A)(b，一a)(B)(一a，b)(C)(一a，b)或(a，一b)(D)(b，一a)或(一b，a)4．在邊長為1的等邊△ABC中．若=a，=b，=c，則a·b+b·c+c·a等于()(A)(B)一(C)3(D)05．(2004年南昌市調(diào)研)已知向量a=(cos75，sin75)，b(cosl5，sinl5)，那么|a—b|的值是()(A)一(B)(C)(D)l6．(2003年南通市第一次調(diào)調(diào)研題)已知向量=(3，一2)，=(一5，一1)．則等于()(A)(8，1)(B)(一8，1)(C)(4，一)(D)(一4，)二、填空題7．若i=(1，0)，j=(0，1)，則與3i+4j垂直的單位向量是________8．若向量a=(5，y)的長度為13，則y=________9．已知點A(2，3)，若把繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到向量，則B點的坐標為__________三、解答題10．已知向量a=(cos，sin)．b=(cos，sin)，且a、b滿足關(guān)系|ka+b|=|a一kb|(k為正實數(shù))(1)求將a與b的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f(k)；(2)求函數(shù)f(k)的最小值及取得最小值時a與b的夾角．11．在正方形ABCD的一邊CD上取一點E，使BC+CE=AE．又若H為CD的中點，求證：∠BAE=2∠HAD．12．已知：a=(，一1)，b=(，)，(1)求證：a⊥b；(11題)(2)若存在不同時為0的實數(shù)k和t，使x=a+(t一3)b，y=一ka+tb，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(3)據(jù)(2)的結(jié)論，求k的最小值．13．(選做題)已知兩點M(一1，0)，N(1，0)．且點P使·，·，·，成公差小于0的等差數(shù)列，(1)點P的軌跡是什么曲線?(2)若點P的坐標為(x，y)，記為與的夾角，求tan.答案:課時4平面向量數(shù)量積的坐標表示考前熱身1．(B)2．(C)3．(A)4．(C)5．6變式訓練一、選擇題1．(D)2．(C)3．(D)4．(B)5