直線與圓圓與圓的位置關(guān)系“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

《直線與圓》學(xué)案一、學(xué)法導(dǎo)航解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，各地區(qū)在這一部分的出題情況較為相似，一般兩道小題一道大題，分值約占15%，即22分左右。具體分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)兩個(gè)容易或中檔小題，機(jī)動(dòng)靈活，考查雙基；解答題難度設(shè)置在中等或以上，一般都有較高的區(qū)分度，主要考查解析幾何的本質(zhì)——“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”以及分析問題解決問題的能力。解析幾何的主要內(nèi)容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程考查的重點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率、點(diǎn)到直線的距離、兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、曲線與方程、圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用等，其中以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系最為重要。二、典例精析1．直線的基本問題：直線的方程幾種形式、直線的斜率、兩條直線平行與垂直的條件、兩直線交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離。例1已知與，若兩直線平行，則的值為。解析：。點(diǎn)評(píng)：解決兩直線平行問題時(shí)要記住看看是不是重合。易錯(cuò)指導(dǎo)：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗(yàn)兩直線是否重合是本題容易出錯(cuò)的地方。例2經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是___________________。解析：圓心坐標(biāo)是，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何初步的基本知識(shí)，涉及到求一般方程下的圓心坐標(biāo)，兩直線垂直的條件，直線的點(diǎn)斜式方程，題目簡(jiǎn)單，但交匯性很強(qiáng)，非常符合在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題的命題原則，一個(gè)小題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識(shí)考查的淋漓盡致。易錯(cuò)指導(dǎo)：基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，如把圓心坐標(biāo)求錯(cuò)，不知道兩直線垂直的條件，或是運(yùn)算變形不細(xì)心，都可能導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)果。2．圓的基本問題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、兩圓位置關(guān)系例3已知圓的方程為．設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）A．B．C．D．解析：圓心坐標(biāo)是，半徑是，圓心到點(diǎn)的距離為，根據(jù)題意最短弦和最長(zhǎng)弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長(zhǎng)為，所以四邊形的面積為點(diǎn)評(píng)：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理、運(yùn)算求解等能力。解題的關(guān)鍵有二，一是通過(guò)推理知道兩條弦互相垂直并且有一條為圓的直徑，二是能根據(jù)根據(jù)面積分割的道理，推出這個(gè)四邊形的面積就是兩條對(duì)角線之積的一半。本題是一道以分析問題解決問題的能力立意設(shè)計(jì)的試題。易錯(cuò)指導(dǎo)：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，或是運(yùn)算能力欠缺，運(yùn)算失誤，是本題不能解答或解答錯(cuò)誤的主要原因。3．圓錐曲線的基本問題：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，求簡(jiǎn)單的曲線方程例4已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（，－1）B．（，1）C．（1，2）D．（1，－2）解析：定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義，動(dòng)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)和拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是。點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問題的思想方法類似的題目在過(guò)去的高考中比較常見。易錯(cuò)指導(dǎo)：不能通過(guò)草圖和簡(jiǎn)單的計(jì)算確定點(diǎn)和拋物線的位置關(guān)系，不能將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到準(zhǔn)線的距離，是解錯(cuò)本題或不能解答本題的原因。例5已知圓．以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________。解析：圓和軸的交點(diǎn)是，和軸沒有交點(diǎn)。故只能是點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，即；點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，即。，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：本題考查圓和雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。解題的關(guān)鍵是確定所求雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。易錯(cuò)指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)薄弱，求錯(cuò)圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用錯(cuò)雙曲線中的關(guān)系等，是不同出錯(cuò)的主要問題。4．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例6若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則且．又，故，由得（圓心在第一象限、舍去）或，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查坐標(biāo)法的思想，考查運(yùn)算能力。解題的關(guān)鍵是圓心坐標(biāo)。易錯(cuò)指導(dǎo)：不能把直線與圓相切的幾何條件通過(guò)坐標(biāo)的思想轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，或是運(yùn)算求解失誤等。例7（過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為______________。解析：雙曲線右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的方程是，與雙曲線方程聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故△AFB的面積為點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力。易錯(cuò)指導(dǎo)：過(guò)右焦點(diǎn)和漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，如果寫錯(cuò)漸近線的方程，就會(huì)解出兩個(gè)交點(diǎn)，不但增加了運(yùn)算量，還使結(jié)果錯(cuò)誤。例8在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做圓，若過(guò)點(diǎn)，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為____________。解析：過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說(shuō)明四邊形是一個(gè)正方形，即圓心到點(diǎn)的距離等于圓的半徑的倍，即，故。點(diǎn)評(píng)：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結(jié)合起來(lái)，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了“在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的原則，較全面地考查了解析幾何的基本知識(shí)。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)量上的關(guān)系。易錯(cuò)指導(dǎo)：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法找到解題途徑等，是考生解錯(cuò)本題的主要原因。例9設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，AyxOBAyxOBGFF1（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）。解析：（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和拋物線方程的求法、拋物線的切線方程的求法、存在性問題的解決方法、分析問題解決問題的能力，是一道幾乎網(wǎng)羅了平面解析幾何的所有知識(shí)點(diǎn)并且和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯在一起的綜合性試題，是一道“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處”設(shè)計(jì)的典型試題。易錯(cuò)指導(dǎo)：本題把拋物線和橢圓結(jié)合在一起，題目的條件里還有兩條直線，考生在心理上畏懼，可能出現(xiàn)的問題是思維混亂，理不清題目中錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，找不到正確的解題思路；在解決第二問時(shí)缺乏分類討論的思想意識(shí)產(chǎn)生漏解等。三、專題綜合易錯(cuò)點(diǎn)一：考慮不全面例1過(guò)（0，2）作直線，使與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得。因?yàn)榕c拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得。此時(shí)的方程為所以這樣的直線有一條。剖析：（1）問題之一，錯(cuò)解忽視了對(duì)斜率不存在這一情況的考慮，事實(shí)上，直線方程為x＝0時(shí)，是符合條件的。（2）問題之二，得到方程后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，當(dāng)然就沒有什么判別式了，故需按k＝0及兩種情況考慮。正解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得。（1）k＝0時(shí)，方程只有一個(gè)解y＝2，故為直線y＝2時(shí)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；（2）時(shí)，因?yàn)榕c拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得解得。此時(shí)的方程為。當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x＝0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件綜上，符合條件的直線有三條：x＝0，y＝2，。點(diǎn)評(píng)：忽視含參數(shù)系數(shù)的討論，以及設(shè)直線方程（為點(diǎn)斜式、斜截式、截距式等時(shí)，忽視對(duì)引入的參數(shù)（如斜率、截距等）的特殊情況的考慮是同學(xué)們?cè)谧鲱}中的常見錯(cuò)誤，一定要注意。易錯(cuò)點(diǎn)二：變形不等價(jià)例2直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．或C．D．錯(cuò)解：聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)橹本€與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程只有一解，所以,解得，所以選A。剖析：本題中曲線并不是一個(gè)完整的圓而是半個(gè)圓（右半圓），而時(shí)，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，并不能保證直線與右半圓也只有一個(gè)公共點(diǎn)。正解：作出曲線的圖形，如圖所示：由圖形可得，當(dāng)直線在和之間變化時(shí)，滿足題意，同時(shí)，當(dāng)直線在的位置時(shí)也同時(shí)滿足題意，所以應(yīng)選（B）點(diǎn)評(píng)：曲線的表達(dá)式本身限制了的取值只是非負(fù)值，所以曲線只是圓的右半部分。若用代數(shù)方法處理，應(yīng)是方程組化為關(guān)于的方程后只有一個(gè)非負(fù)解，相比之下數(shù)形結(jié)合更簡(jiǎn)捷明快四、專題突破1．過(guò)點(diǎn)的直線l經(jīng)過(guò)圓的圓心，則直線l的傾斜角大小為（）A．150°B．120°C．30°D．60°2．（08重慶卷3)圓O1:和圓O2:的位置關(guān)系是（）A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切3．方程對(duì)應(yīng)的曲線是（）4．設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)到軸的距離為（）。A．4B．3C．2D．15．若直線mx＋ny＝4和⊙O∶沒有交點(diǎn)，則過(guò)（m，n）的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）A．至多一個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)6．在橢圓上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn)，△F1PF2為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（）A．4個(gè)或6個(gè)或8個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)7．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則代數(shù)式的最大值是（）A．B．－C．D．－8．橢圓的離心率的取值范圍是（）A．（）B．（）C．（）D．（）9．對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)都滿足，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A．0B．1C．2D．410．已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)F做不垂直于軸的弦交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交軸于N，則（）A．B．C．D．11．已知曲線和直線（a、b為非零實(shí)數(shù)），在同一坐標(biāo)系中，它們的圖形可能是（）yOxyyOxyOxyOxyOxABCD12．已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．13．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，。若點(diǎn)滿足，其中且，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．x＋2y－5＝014．已知雙曲線E的離心率為e，左、右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線C以F2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1為焦點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線與雙曲線右支上的一個(gè)交點(diǎn)，若a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，則e的值為()A．EQ\r(3)B．3C．EQ\r(2)D．EQ\r(6)二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，請(qǐng)把答案直接填在題中橫線上）15．（文科）已知拋物線的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，則最小值為_________________。16．（理科）已知拋物線到拋物線的準(zhǔn)線距離為d1，到直線的距離為d2，則d1+d2的最小值是__