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充分條件與必需條件·典型例題能力素質(zhì)例1已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的兩根,q:x1+x2=-5,則p是q的[]A.充分但不用要條件B.必需但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件剖析利用韋達(dá)定理變換.解∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的兩根,x1,x2的值分別為1,-6,x1+x2=1-6=-5.所以選A.說(shuō)明:判斷命題為假命題可以經(jīng)過(guò)舉反例.例2p是q的充要條件的是[]A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直均分,q:四邊形是正方形D.p:a≠0,q:關(guān)于x的方程ax=1有唯一解剖析逐一考據(jù)命題能否等價(jià).解對(duì)A.p:x>1,q:x<1,所以,
p是
q的既不充分也不用要條件;對(duì)B.p
q但
q
p,p是q的充分非必需條件;對(duì)C.p
q且
q
p,p是q的必需非充分條件;對(duì)D.p
q且q
p,即p
q,p是q的充要條件.選
D.說(shuō)明:當(dāng)例3若的充要條件,則
a=0時(shí),ax=0有無(wú)數(shù)個(gè)解.A是B成立的充分條件,D是D是A成立的
C成立的必需條件,
C是
B成立[
]A.充分條件C.充要條件剖析經(jīng)過(guò)B、C
B.必需條件D.既不充分也不用要條件作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D.解∵A是B的充分條件,∴∵D是C成立的必需條件,∴
AC
B①D②∵C是B成立的充要條件,∴
C
B③由①③得AC④由②④得AD.∴D是A成立的必需條件.選B.說(shuō)明:要注意利用推出符號(hào)的傳達(dá)性.例4設(shè)命題甲為:0<x<5,命題乙為
|x-2|<3,那么甲是乙的[
]A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件剖析先解不等式再判斷.解解不等式|x-2|<3得-1<x<5.∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5∴甲是乙的充分不用要條件,選A.說(shuō)明:一般狀況下,假如條件甲為x∈A,條件乙為
x∈B.當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí),甲為乙的充分條件;當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí),甲為乙的必需條件;當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí),甲為乙的充要條件.例5設(shè)A、B、C三個(gè)會(huì)集,為使A(B∪C),條件AB是[]A.充分條件B.必需條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件剖析可以聯(lián)合圖形剖析.請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)圖.A(B∪C).但是,當(dāng)B=N,C=R,A=Z時(shí),明顯
A
(B∪C),但
A
B不成立,綜上所述:“A
B”
“A
(B∪C)”,而“A
(B∪C)”
“A
B”.即“AB”是“A(B∪C)”的充分條件(不用要).選A.說(shuō)明:畫(huà)圖剖析時(shí)要畫(huà)一般形式的圖,特別形式的圖會(huì)掩飾真實(shí)狀況.例6給出以下各組條件:(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|;(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有實(shí)根;(4)p:|x-1|>2,q:x<-1.此中p是q的充要條件的有[]A.1組C.3組
B.2組D.4組剖析使用方程理論和不等式性質(zhì).解(1)p是q的必需條件(2)p(3)p(4)p
是q充要條件是q的充分條件是q的必需條件.選
A.說(shuō)明:
ab=0指此中最稀有一個(gè)為零,而
a2+b2=0指兩個(gè)都為零.例7x1>3x1x2>6條件.是的x2>3x1x2>9剖析將前后兩個(gè)不等式組分別作等價(jià)變形,觀察二者之間的關(guān)系.解x1>3且x2>3x1+x2>6且x1x2>9,但當(dāng)取x1=10,x2=2時(shí),x1x2>6x1>3x1x2>9成立,而不成立(x2=2與x2>3矛盾),所以填“充分不x2>3必需”.x1>3x1-3>0說(shuō)明:x2-3>0x2>3(x1-3)+(x2-3)>0(x1-3)(x2-3)>0x1+x2>6這一等價(jià)變形方法有時(shí)會(huì)用得上.x1x2-3(x1+x2)+9>0點(diǎn)擊思想例8已知真命題“a≥bc>d”和“a<be≤f”,則“c≤d”是“ef”的________條件.剖析∵a≥bc>d(原命題),∴c≤da<b(逆否命題).而a<be≤f,c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分條件.答填寫(xiě)“充分”.說(shuō)明:充分利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性是常有的思想方法.例9ax2+2x+1=0最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是[
]A.0<a≤1B.a(chǎn)<1C.a(chǎn)≤1D.0<a≤1或
a<0剖析除法解之.當(dāng)
此題若采納一般方法推導(dǎo)較為復(fù)雜,a=1時(shí),方程有負(fù)根x=-1,當(dāng)
可經(jīng)過(guò)選項(xiàng)供給的信息,a=0時(shí),x=
用排1-.故除掉A、B、D選C.21解常例方法:當(dāng)a=0時(shí),x=-.2當(dāng)a≠0時(shí).>,則2++=最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根244a<01a0ax2x102a2-<20<≤.1aa12.<,則2++=最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根244a<0a0ax2x102a2>21-a>21-a>1a<0.綜上所述a≤1.即ax2+2x+1=0最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤1.說(shuō)明:特別值法、除掉法都是解選擇題的好方法.例10已知p、q都是r的必需條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,那么s,r,p分別是q的什么條件?剖析畫(huà)出關(guān)系圖1-21,觀察求解.解r是p是
s是q的充要條件;q的充要條件;(rq的必需條件;(q
(sq,qs
rr
s
q,qr)p)
s)說(shuō)明:圖可以畫(huà)的隨意一些,要點(diǎn)要表現(xiàn)各個(gè)條件、命題之間的邏輯關(guān)系.例11關(guān)于x的不等式|x-(a1)2≤(a1)2與x2-+++≤的解集挨次為A22與,問(wèn)“AB”是“≤≤或=-”的充要條件嗎?B1a3a1剖析化簡(jiǎn)A和B,聯(lián)合數(shù)軸,構(gòu)造不等式(組),求出a.解A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}1當(dāng)2≤3a+1即a≥時(shí),3B={x|2≤x≤3a+1}.≥2AB2a≤≤a2+1≤3a+11a3當(dāng)2>3a+1即a<1時(shí),3B={x|3a+1≤x≤2}2a≥3a+1ABa=-1.a(chǎn)2+1≤2綜上所述:ABa=-1或1≤a≤3.∴“AB”是“1≤a≤3或a=-1”的充要條件.說(shuō)明:會(huì)集的包括關(guān)系、命題的真假常常與解不等式親近相關(guān).在解題時(shí)要理清思路,表達(dá)正確,推理無(wú)誤.學(xué)科浸透例12x>y,xy>0是1<1的必需條件還是充分條件,還是充y要條件?剖析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系.解1.當(dāng)
1<
1
時(shí),可得
1
-
1<0即
y
x
<0x
y
x
y
xyy-x>0y-x<0則或xy<0xy>0,x<yx>y即或xy<0xy>0,故1<1不可以推得x>y且xy>0(有可能獲得x<y),即x>y且xyxyxy<0>0其實(shí)不是1<1的必需條件.xyx>yx>y2.當(dāng)>且xy>則分成兩種狀況議論:x>或x<0xy00y>0y<0不論哪一種狀況均可化為1<1.yx>y且xy>0是1<1的充分條件.y說(shuō)明:分類(lèi)議論要做到不重不漏.例13設(shè)α,β是方程x2-ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根,試剖析a>2且b>1是兩根α,β均大于1的什么條件?剖析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題相聯(lián)系,解題時(shí)需要搞清楚條件與結(jié)論分別指什么.此后再考據(jù)是p還是q還是pqqp.pqa>2解據(jù)韋達(dá)定理得:a=α+β,b=αβ,判斷的條件是p:b>1結(jié)論是q:α>1=a2-4b(還要注意條件p中,a,b需要滿(mǎn)足大前提β>1≥0)α>1(1)由得a=α+β>2,b=αβ>1,β>1qp.上述議論可知:a>2,b>1是α>1,β>1的必需但不充分條件.說(shuō)明:此題中的議論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用.高考巡禮例14(1991年全國(guó)高考題)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題,假如甲是乙的必
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