充分條件與必要條件典型例題

充分條件與必需條件·典型例題能力素質(zhì)例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，則p是q的[]A．充分但不用要條件B．必需但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件剖析利用韋達(dá)定理變換．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，x1，x2的值分別為1，－6，x1＋x2＝1－6＝－5．所以選A．說(shuō)明：判斷命題為假命題可以經(jīng)過(guò)舉反例．例2p是q的充要條件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直均分，q：四邊形是正方形D．p：a≠0，q：關(guān)于x的方程ax＝1有唯一解剖析逐一考據(jù)命題能否等價(jià)．解對(duì)A．p：x＞1，q：x＜1，所以，

p是

q的既不充分也不用要條件；對(duì)B．p

q但

q

p，p是q的充分非必需條件；對(duì)C．p

q且

q

p，p是q的必需非充分條件；對(duì)D．p

q且q

p，即p

q，p是q的充要條件．選

D．說(shuō)明：當(dāng)例3若的充要條件，則

a＝0時(shí)，ax＝0有無(wú)數(shù)個(gè)解．A是B成立的充分條件，D是D是A成立的

C成立的必需條件，

C是

B成立[

]A．充分條件C．充要條件剖析經(jīng)過(guò)B、C

B．必需條件D．既不充分也不用要條件作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D．解∵A是B的充分條件，∴∵D是C成立的必需條件，∴

AC

B①D②∵C是B成立的充要條件，∴

C

B③由①③得AC④由②④得AD．∴D是A成立的必需條件．選B．說(shuō)明：要注意利用推出符號(hào)的傳達(dá)性．例4設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為

|x－2|＜3，那么甲是乙的[

]A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件剖析先解不等式再判斷．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不用要條件，選A．說(shuō)明：一般狀況下，假如條件甲為x∈A，條件乙為

x∈B．當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí)，甲為乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí)，甲為乙的必需條件；當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時(shí)，甲為乙的充要條件．例5設(shè)A、B、C三個(gè)會(huì)集，為使A(B∪C)，條件AB是[]A．充分條件B．必需條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件剖析可以聯(lián)合圖形剖析．請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)圖．A(B∪C)．但是，當(dāng)B＝N，C＝R，A＝Z時(shí)，明顯

A

(B∪C)，但

A

B不成立，綜上所述：“A

B”

“A

(B∪C)”，而“A

(B∪C)”

“A

B”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分條件(不用要)．選A．說(shuō)明：畫(huà)圖剖析時(shí)要畫(huà)一般形式的圖，特別形式的圖會(huì)掩飾真實(shí)狀況．例6給出以下各組條件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．此中p是q的充要條件的有[]A．1組C．3組

B．2組D．4組剖析使用方程理論和不等式性質(zhì)．解(1)p是q的必需條件(2)p(3)p(4)p

是q充要條件是q的充分條件是q的必需條件．選

A．說(shuō)明：

ab＝0指此中最稀有一個(gè)為零，而

a2＋b2＝0指兩個(gè)都為零．例7x1＞3x1x2＞6條件．是的x2＞3x1x2＞9剖析將前后兩個(gè)不等式組分別作等價(jià)變形，觀察二者之間的關(guān)系．解x1＞3且x2＞3x1＋x2＞6且x1x2＞9，但當(dāng)取x1＝10，x2＝2時(shí)，x1x2＞6x1＞3x1x2＞9成立，而不成立(x2＝2與x2＞3矛盾)，所以填“充分不x2＞3必需”．x1＞3x1－3＞0說(shuō)明：x2－3＞0x2＞3(x1－3)＋(x2－3)＞0(x1－3)(x2－3)＞0x1＋x2＞6這一等價(jià)變形方法有時(shí)會(huì)用得上．x1x2－3(x1＋x2)＋9＞0點(diǎn)擊思想例8已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“ef”的________條件．剖析∵a≥bc＞d(原命題)，∴c≤da＜b(逆否命題)．而a＜be≤f，c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分條件．答填寫(xiě)“充分”．說(shuō)明：充分利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性是常有的思想方法．例9ax2＋2x＋1＝0最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是[

]A．0＜a≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1D．0＜a≤1或

a＜0剖析除法解之．當(dāng)

此題若采納一般方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，a＝1時(shí)，方程有負(fù)根x＝－1，當(dāng)

可經(jīng)過(guò)選項(xiàng)供給的信息，a＝0時(shí)，x＝

用排1－．故除掉A、B、D選C．21解常例方法：當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－．2當(dāng)a≠0時(shí)．＞，則2＋＋＝最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根244a＜01a0ax2x102a2－＜20＜≤．1aa12．＜，則2＋＋＝最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根244a＜0a0ax2x102a2＞21－a＞21－a＞1a＜0．綜上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0最稀有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤1．說(shuō)明：特別值法、除掉法都是解選擇題的好方法．例10已知p、q都是r的必需條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s，r，p分別是q的什么條件？剖析畫(huà)出關(guān)系圖1－21，觀察求解．解r是p是

s是q的充要條件；q的充要條件；(rq的必需條件；(q

(sq，qs

rr

s

q，qr)p)

s)說(shuō)明：圖可以畫(huà)的隨意一些，要點(diǎn)要表現(xiàn)各個(gè)條件、命題之間的邏輯關(guān)系．例11關(guān)于x的不等式|x－(a1)2≤(a1)2與x2－＋＋＋≤的解集挨次為A22與，問(wèn)“AB”是“≤≤或＝－”的充要條件嗎？B1a3a1剖析化簡(jiǎn)A和B，聯(lián)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}1當(dāng)2≤3a＋1即a≥時(shí)，3B＝{x|2≤x≤3a＋1}．≥2AB2a≤≤a2+1≤3a+11a3當(dāng)2＞3a＋1即a＜1時(shí)，3B＝{x|3a＋1≤x≤2}2a≥3a+1ABa＝－1．a(chǎn)2+1≤2綜上所述：ABa＝－1或1≤a≤3．∴“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要條件．說(shuō)明：會(huì)集的包括關(guān)系、命題的真假常常與解不等式親近相關(guān)．在解題時(shí)要理清思路，表達(dá)正確，推理無(wú)誤．學(xué)科浸透例12x＞y，xy＞0是1＜1的必需條件還是充分條件，還是充y要條件？剖析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系．解1．當(dāng)

1＜

1

時(shí)，可得

1

－

1＜0即

y

x

＜0x

y

x

y

xyy－x＞0y－x＜0則或xy＜0xy＞0，x＜yx＞y即或xy＜0xy＞0，故1＜1不可以推得x＞y且xy＞0(有可能獲得x＜y)，即x＞y且xyxyxy＜0＞0其實(shí)不是1＜1的必需條件．xyx＞yx＞y2．當(dāng)＞且xy＞則分成兩種狀況議論：x＞或x＜0xy00y＞0y＜0不論哪一種狀況均可化為1＜1．yx＞y且xy＞0是1＜1的充分條件．y說(shuō)明：分類(lèi)議論要做到不重不漏．例13設(shè)α，β是方程x2－ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根，試剖析a＞2且b＞1是兩根α，β均大于1的什么條件？剖析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題相聯(lián)系，解題時(shí)需要搞清楚條件與結(jié)論分別指什么．此后再考據(jù)是p還是q還是pqqp．pqa＞2解據(jù)韋達(dá)定理得：a＝α＋β，b＝αβ，判斷的條件是p：b＞1結(jié)論是q：α＞1＝a2－4b(還要注意條件p中，a，b需要滿(mǎn)足大前提β＞1≥0)α＞1(1)由得a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，β＞1qp．上述議論可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必需但不充分條件．說(shuō)明：此題中的議論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用．高考巡禮例14(1991年全國(guó)高考題)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，假如甲是乙的必