雙新背景下條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的教學 論文

雙新背景下條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的教學摘要：新教材在條件概率的基礎上新增了乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（選學）.條件概率和新增的內容是整個概率論教學的重點和難點，更是高中學生概率學習的重點和難點.教學時，要重視概念的抽象概括，用整體的視角理解概念、公式之間的邏輯關系，構建概念聯(lián)系體系，領悟概念及公式的本質，讓學生從邏輯的、整體的、直觀的視角理解一個概念和三個公式，培養(yǎng)學生分析和解決概率問題的能力.關鍵詞：條件概率；全概率公式；貝葉斯公式；體系建構引言：條件概率、全概率公式和貝葉斯公式是概率論的重點內容，新教材在條件概率基礎上增加了乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（簡稱“一個概念，三個公式”），學生難以接受，教學難度加大，給教學提出新的更高的要求.本文重點分析“一個概念三個公式”之間的邏輯關系和概念體系建構的基本要領，分析圍繞“事件”“樣本空間”的概率問題解決方法，希望對教學有所幫助. 一、問題提出

根據(jù)新課標（2017年版，2020年修訂），人教版新教材對概率內容進行了調整,在原教材（課程標準·實驗版對應的教材）條件概率的基礎上增加了樣本空間（有限）、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（選學）等內容，新增內容使得高中概率知識體系更加完整，尤其條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的整體“融入”，強化了條件概率在求解概率問題中的應用，有利于學生全面領悟概率的本質. 條件概率及新增的內容概念性強，邏輯性強，運用概念和公式時對問題的分析和推理能力要求高，因此，對教師教學要求高.條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式對培養(yǎng)學生思維方式和邏輯推理能力，形成解決概率問題的能力，掌握概率問題解決的方法，體悟概念和公式的現(xiàn)實和哲學上意義，落實“立德樹人”的根本任務，都有著特別重要的價值.本文就條件概率定義（概念）及條件概率定義之后的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的教學談一點認識.為敘述方便，以下把條件概率的定義（概念）（注：PBA)=PAB()實質上是條件概率的“定義式”，一般不稱為“公式”[1]）、PA()乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式簡稱為“一個概念，三個公式”. 二、學情分析

學生學習“一個概念，三個公式”的有利條件是，在此之前，已初步掌握了概率的基本概念，初步理解樣本空間，樣本點，古典概型，事件及其關系，能夠1理解并事件、和事件、互斥事件、對立事件的基本含義.而這一部分內容（選擇性必修（第三冊））一般安排在高二下學期或高三上學期學習，學生的邏輯思維能力，直觀觀察能力和問題探究意識相比之前的概率學習時明顯增強.不利因素是，學生對通過概率研究隨機現(xiàn)象、隨機事件的方法不適應，習慣于用“統(tǒng)計”的方法解決概率問題，對一些抽象的概念不理解，缺乏解決概率問題的基本方法（事件和樣本空間分析）.三、邏輯關系

新增的概率內容不是孤立的，而是與高中數(shù)學的其他知識聯(lián)系一起的.在學習這一部分內容時，第一，要與集合知識結合起來，“事件是集合.集合論的每一種關系和運算都對應著一個概率論的解釋和意義”[2].反之，概率論的每一個概念、公式都有著集合的意義，可以以集合的視角解釋.通過集合關系和運算能夠簡潔準確地處理事件關系，把握概率關系的意義，因此，要有用集合語言描述和解決概率問題意識.第二，要復習鞏固之前學習的概率知識，充分理解概率的意義，樣本空間，樣本點，事件關系及概率關系，充分理解古典概型的概念和意義.第三，要準確把握概率與統(tǒng)計的關系，“一個概念，三個公式”的運用與統(tǒng)計知識是分不開的，統(tǒng)計是從樣本到總體的推理（歸納推理），概率是在總體被假定的已知的情況下，研究從總體抽取的樣本問題，是從總體到樣本的推理（演繹推理），是對隨機現(xiàn)象規(guī)律性的演繹性研究.概率問題要盡可能用概率的方法解決. 具體到本章，條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的邏輯關系清晰，其中，條件概率是“三個公式”的理論依據(jù).1.條件概率是理解并進行復雜概率運算的基礎，乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式是條件概率的應用和拓展.條件概率的本質是縮小樣本空間后的事件概率，通過古典概型（或其他概型[3]），抽象概括成條件概率的概念（定義式）.2.將條件概率的“定義式”進行變形即可得到乘法公式，乘法公式與條件概率定義式是概率的同一關系的不同顯現(xiàn)形式，由乘法公式立即可以得到獨立事件概率計算公式.乘法公式徹底解決了積事件概率問題.23.全概率公式是概率加法和乘法公式的綜合運用，其本質是將一個復雜事件的概率分解成若干個兩兩互斥的事件“相并”的概率，用以解決由“原因”事件引起“結果”事件概率問題，從已知的可求的事件的概率推算未知的復雜事件的概率是概率論問題解決的基本思想，全概率公式充分體現(xiàn)了這一思想.4.貝葉斯公式貝葉斯公式是條件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.貝葉斯公式的本質是條件概率，其應用的意義在于，按照事件發(fā)生發(fā)展的順序針對“結果”反求“原因”的概率問題.“一個概念，三個公式”是一個聯(lián)系的整體，教學時，要從單元和整體視角，從促進學生深度學習的考量理解“一個概念，三個公式”的內容安排，用聯(lián)系的、邏輯的、直觀的等不同視角引導學生理解、分析和運用. 四、體系建構

“一個概念三個公式”的教學重心是概念的建立，其中，條件概率和全概率公式是相對初始的概念，是概念建立的關鍵環(huán)節(jié).1.條件概率：分析“事件”和“空間”，抽象、概括形成概念

無論從知識發(fā)生發(fā)展的邏輯順序還是從整個知識體系的基礎地位分析，條件概率都是本章教學的重點和難點.條件概率的概念建立是整個章節(jié)教學的“重中之重”.如前所述，條件概率的本質是縮小樣本空間后事件概率.人教版教材A版（以下簡稱“教材”）采取“問題情境——思考探究——抽象概括”的方式，以古典概型為基礎，得出條件概率的概念（定義式），值得注意的是，條件概率雖從古典概型推出，但其適用范圍卻具有一般性，也適用于其他概型. 條件概率概念的建立要抓住“事件”和“空間”進行分析，要分析“條件”是必然性還是“隨機”性，是以“條件”重構的樣本空間還是在原樣本空間中運用“條件”.因此，“事件”“空間”和“條件”是概念建立的關鍵詞.件A（1）對條件A的理解.第一，從縮小樣本空間的角度上看，條件概率的“條”“必須”發(fā)生，已經(jīng)發(fā)生過了，在條件“已經(jīng)發(fā)生”的基礎上，樣本空間縮小了，是在縮小了的空間上用概率模型或概率計算方法求解概率.第二，從概率之間的相互聯(lián)系分析，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率PBA)又與在原樣本空間上事件A發(fā)生的概率PA()有關系，正因為此時的PA()是事件3A在原樣本空間發(fā)生的概率，因而事件A在原樣本空間里不是“必然發(fā)生”的事件，不是“發(fā)生過了”的事件，而是隨機事件.（2）對PBA)和PAB()的分析.學生容易混淆PBA)和PAB()，認為它們都是“事件A發(fā)生了，事件也B發(fā)生了”，實際上，它們有著本質的區(qū)別.第一，前者指縮小樣本空間后事件B發(fā)生的概率，此時，事件A已經(jīng)發(fā)生了，以A發(fā)生為條件重新組構樣本空間.第二，后者指原樣本空間上事件A、B同時發(fā)生的概率，此時事件A不一定是必然發(fā)生的事件，一般為隨機事件.亦即，第一，它們的樣本的空間不同，前者以事件A發(fā)生為條件，縮小了樣本空間即WA，后者是原來樣本空間W沒有改變.第二，事件不同，前者是針對縮小樣本空間后的事件B，后者是針對原樣本空間的事件AB.條件概率定義式PBA)=PAB()反映了“原”樣本空間的PA()、PAB()PA()與縮小后的樣本空間的PBA)之間的關系.教學時一定要搞清楚PBA)和PAB()兩者的不同，否則，之后的“三個公式”教學就會出現(xiàn)誤區(qū)，陷入困境.（3）注意“條件”的變化.條件概率中的“條件”具有相對性，PBA)=PAB()，PAB)=PAB()①.①式PA()PB()中含兩個式子，其“條件”不一樣，說明在一個樣本空間中，條件不是一成不變的，這在之后的乘法公式、貝葉斯公式中能夠更好的體現(xiàn).ΩAABB（4）條件概率的計算.條件概率一般有三圖1種求法[3]，一是原樣本空間概率法，即定義式，二是縮小樣本空間法，是指在縮小的樣本空間上用古典概型或幾何概型等計算，三是原樣本空間計數(shù)法，即4PBA)=nAB()，如圖1.nA() （5）條件概率的性質.根據(jù)條件重構樣本空間、縮小樣本空間后“新”的樣本空間上概率的性質即是條件概率的性質.條件概率有以下性質：P（?。┓秦撔裕?￡PBA)￡1AA×××1 2 ，有（ⅱ）規(guī)范性：P(WA)=1，P(?A)=0（ⅲ）可列可加性：對于兩兩互斥的事件序列：?￥??èk=1BAk?=÷ ? ￥? k=1PBA( k)A)（ⅳ）加法公式：PB1èBA2 )=PBA( 1)+PBA( 2)-PBB( 12（ⅴ）逆事件的條件概率：PBA)=-(BA)案例1（2022全國高考Ⅰ卷第20題）醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090 （1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PBA(PBA())與PBA(PBA())的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.（ⅰ）證明：R=PAB(PAB())×(PABPAB()；)5（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出PAB()，PAB()的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值.附：K2=

(a+bnad(-bc)

2)(b+d)，)(c+d)(a+cPK(23k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828分析：第二問的第（ⅰ）問.考查意圖：考查條件概率定義式，如果把左右兩邊的條件概率都進行轉化，就有以下解法一.解法一：由題意，左邊RPAB( ) PAB( )=PBA()×PB(A)=PA()×PA()=PABPAB( )(PB(A)PB(A)PBA()PBA()PBAPBA( )())，PAB( )PB()×PAB( )PB()PA() PA()右邊=PAB()=PABPAB( )().所以，左邊=右邊，原式得證.PB()PAB( )PBAPBA( )()PB()如果從左邊直接向右邊轉化，需要將左邊的條件概率用定義式轉化，化成“一般”（非條件）概率，然后把“一般”（非條件）概率再轉化為變換“條件”后的條件概率，體現(xiàn)了“條件”的相對性.解法二：左邊RPAB( ) PAB( )=PBA()PB(A)=PA()×PA()=PABPAB( )(PB(A)PB(A)PBA()PBA()PBAPBA( )())PA() PA()，=PBPABPBPAB()( )()(PBPABPBPAB()( )()()=PAB(PAB())×(PABPAB()=右邊.))第（ⅱ）問的考查意圖：考查用縮小樣本空間的方法求條件概率以及“條件概率”中的對立事件的概率關系.在縮小了樣本空間（新的樣本空間）的情形下6的“對立事件”的概率，如：PAB()、PAB()是在事件B發(fā)生的條件下（相同樣本空間），事件A和A分別發(fā)生的概率，所以PAB()+PAB()1，同理PAB()+PAB()1.這實際上就是條件概率的性質：逆事件的條件概率.2.乘法公式：注重條件的變化，條件概率定義的變式運用

就高中數(shù)學而言，條件概率的主要作用在于求積事件的概率，由概率定義式可以得到概率的乘法公式，PAB()=PA()×PBA()，PAB()=PB()×PAB()②.②式與①式是等價的，說明條件概率的定義式既可以用來求條件概率，也可以用以求積事件的概率.即：PAB()=PA()×PBA()=PB()×PAB()，同時，也說明在求積事件AB概率時，“條件”可以是A，也可以是B，積事件中的“條件”是相對的.“一個概念，三個公式”的概念建立環(huán)環(huán)相扣，積事件中“條件”的變化是之后理解貝葉斯公式的基礎.運用公式②時，由于PBA)與PAB()在同一式子中，我們一般通過縮小樣本空間先求出條件概率PBA)，再用公式②求積事件AB的概率.兩個事件的積事件概率公式可以推廣到n個事件，顯然，若PAA( 1 2×××A-1)>0，則PAA( 1 2×××An)=PAPAAPAAA()( 2 1)( 3 1 2)×××PAAA( n 1 2×××A-1)，亦即，之前發(fā)生的事件作為之后事件發(fā)生的條件.如何求獨立事件同時發(fā)生的概率呢？直觀上，當事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，此時PBA)=PB()（PA>() 0），PAB)=PA()（PB>() 0注意：作為條件的事件其概率必須大于零），相應的，公式②變成了PAB()=PA()×PB()③.為什么上述結論結論是“直觀上”觀察的結果或“直觀上看”[4]、和“直觀上判斷[5]”的結論呢？因為獨立事件的定義是，“設兩個事件A，B，若PAB()=PA()×PB()，則稱事件A，B是相互獨立事件”.亦即：如果從直觀上判定兩個事件是獨立事件后，③式是作為獨立事件的結論的，如果我們假定或已知兩個事件相互獨立，則可以用③式的結論求積事件概率了.而如果從獨立事件定義角度上看，③式則作為判斷獨立事件的7條件.以下四條中的任意一條均可作為判斷獨立性的條件[6]：紅球3PBA=(|)8從乙袋中白球PB|A)=5（1）PAB()=PA()×PB().取紅球A8（2）PBA()=PB()（PA>() 0）..從甲袋中從乙袋中紅球PB|A)=2取球A（3）PBA()=PBA()(0<PA()<1)8取白球白球PB|A)=6（4）PBA()+PBA()=1(0<PA()<1).圖28獨立事件的概率關系在研究離散型隨機變量分布列時經(jīng)常用到.教學概率乘法公式時，要復習必修章節(jié)中相應的概率知識，讓學生充分理解積事件的含義.要引導學生理解公式②和③的來龍去脈和知識間的邏輯關系，尤其通過其他方法求出條件概率，再用乘法公式求積事件概率的思維方法. 3.全概率公式：抓住事件的轉化，積事件、和事件的綜合運用

全概率公式概是概率論又一個難點，其概念建立的關鍵是處理好事件的關系，尤其是通過對事件的發(fā)生發(fā)展的“路徑”分析和樣本空間中事件關系的分析把事件進行轉化.建立概念時，可按照“形成全概率公式初步印象（形式）→建立全概率公式意圖和思想方法→全概率公式的證明→全概率公式的直觀理解→全概率公式應用要點”的思路進行. 3.1形成全概率公式的初步印象

案例2甲袋中裝有3只紅球和2只白球，乙袋中2只紅球和5只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求從乙袋中取出的是紅球的概率. 設計意圖：以事件的發(fā)生發(fā)展把事件進行轉化的“樸素”的思維方式，處理好事件關系，滲透分類討論思想.分析：設A表示從甲袋取出的是紅球，B表示從乙袋中取出的是紅球.顯然，求從乙袋取出的是紅球的事件概率要考慮從甲袋中取出的球是什么顏色，一是從甲袋取出的是紅球放入乙袋，再從乙袋取出紅球，二是從甲袋取出的是白球放入乙袋，然后從乙袋取出紅球.因此，事件B轉化為兩個互斥事（從甲袋中取出紅球放入乙袋與從乙袋中取出紅球同時發(fā)生）與件BABA（從8甲袋中取出白球放入乙袋與從乙袋中取出紅球同時發(fā)生）相并，即(BA)è（BA)=B.所以，由概率的有限可加性和乘法公式，得PB()=PBA()+PBA()=PAPBA()()+PAPBA()()33 22 13=×+×=58 58 40.上述分析過程可用“概率樹圖”（圖2）表示.這就是全概率公式的基本形式.全概率公式的基本含義是通過事件轉化求解概率.怎樣把事件進行轉化呢？第一，當一個事件發(fā)生有多種情況時，要考慮分類，通過分類理出事件發(fā)生發(fā)展的條理.第二，分類后的每一個事件一般不再是“單一”的事件，而是積事件.第三，事件轉化后，通過和事件與積事件求概率. 3.2建立全概率公式意圖和思想方法

把一個復雜事件變成若干個互斥事件相并，通過并事件（互斥）概率和積事件概率乘法公式即可求得復雜事件的概率，這就是全概率公式的基本思想. 全概率公式是概率論的重要內容，生產(chǎn)實踐中我們遇到的事件是復雜的，用“隱含的事件關系簡單”“概率關系簡單”

的事件表示“隱含的事件關系復雜”“概率關系復雜”的事件，然后求其概率是我們處理ABA概率問題的基本方法.Ω就案例2而言，事件B所隱含的關系復雜，“概率關系”復雜，而事件BA和BA則隱圖3含的關系清晰，相應的“概率關系”簡單.

3.3全概率公式及其證明“一般地，設AA1 2,×××An是一組兩兩互斥的事件，A1èA2è×××èAn=W，且PA()>0,i=1,2,×××n，則對任意的BíW，有PB() n

=?i=1PAPBA()( i)④”.稱④為全概率計算公式.A1èA2è×××èAn=W，也記作n

=è1Ai=W，AA1 2,×××An稱為樣本空間W的一個“完全事件組”，或樣本空間W的“一個劃分”，是事件B發(fā)生的一系列“可能的原因”，它們兩兩互斥，AAi×=?jAA一般認為是樣本空間W的最簡，而劃分，即AèA=W.9全概率公式可以利用并事件與積事件概率關系證明.由于B=?W，所以B=?（A1èA2è×××èAn）(BA1)(BA2)è×××è(BAn)，由概率性質，PB()=PBA( 1)+PBA( 2)+×××+PBA( n)，再由積事件公式②，④式即得證.3.4注重通過邏輯和直觀理解全概率公式注重通過“邏輯”和“直觀”理解全概率公式.全概率公式的邏輯基礎是并事件、積事件的概率，用并事件求概率體現(xiàn)了求事件概率的分類討論思想.從邏輯的角度上講，原樣本空間W被分成n個兩兩互斥事件AA1 2,×××An后，在原樣本空間中的每一個iAi(=1,2,×××)空間上（iA是在原樣本W(wǎng)空間上的考慮的條件，不是“已經(jīng)發(fā)生過了”的條件），事件B就是積事件BAi（教材和教師用書中，“新的樣本空間上事件B就是積事件AB”[4][5]即是這個含義），而PBA( i)=PAPBAi ( i)，求出事件B在原樣本空間的每一個iAi(=1,2,×××)空間上發(fā)生其概率和即可.直觀上，可以借助于概率“樹圖”（圖2）和韋恩圖分析，以集合視角理解全概率公式，如圖3、圖4和圖5.教學時，要根據(jù)高中學生的認知特點，對照直觀的圖形，用通俗易懂的語言解釋全概率公式.3.5全概率公式的運用要領第一，化難為易，找準樣本空間及空間的合理“劃分”.A1A2A3…An-1An用全概率公式解決概率問題，關鍵要理解B原樣本空間和該空間的一個“劃分”的意義，什么是樣本空間的一個“劃分”，為什么要Ω劃分？以“教材”的例5為例，樣本空間的樣本點是三臺機床加工的零件，顯然，這個樣本圖4點要分為第一臺、第二臺和第三臺機床加工的零件，相應的事件“任取一個零件為次品”有三種情況，即取出的次品是第一臺生產(chǎn)的、第二臺生產(chǎn)的和第三臺生產(chǎn)的.如果不把空間進行劃分，問題理不出條理，我們稱事件中隱含的關系復雜.因此，劃分樣本空間，可以突出樣本空間的層次，使事件關系變得簡單.10有些問題，明顯可以看出構成“空間”的樣本點（基本事件）具有不同的類型，這往往也是我們劃分空間的標準.A2BAn-1A1第二，用全概率公式解決問題的基本路徑是：A3An①全概率問題一般涉及事件和“條件”，所以要用字母表示相應的事件，這里的“事件”盡量“單一”，一般不交叉，如：涉及男女性別不同和圖5色盲與否的問題，一般不用如：“男生色盲”“女

生不色盲”作為一個事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”為一個事件.②根據(jù)問題所反映的“事實”，確定具體的樣本空間及其“構成”空間中的樣本點（基本事件）.③分析樣本空間中的事件有沒有層次和不同的類型，依據(jù)事件的層次和類型進行空間劃分.④分析問題中（題目）的每一個條件，把條件轉化為相應的“事件關系”或“事件的概率”.⑤根據(jù)全概率公式進行計算.案例3（根據(jù)文[7]例題改編）根據(jù)數(shù)據(jù)分析，一種較復雜的數(shù)學問題，某班級學習能力強的學生有90%的可能會做，學習能力不強的學生有90%的可能不會做.據(jù)分析，這個班有80%的學生其學習能力是強的（可認為任意抽取一個學生，其有80%的可能性是學習能力強的）.（1）現(xiàn)隨機選一名學生，其會做的可能性有多大？（2）若某個學生會做，其多大可能是學習能力強的？分析：本題涉及學習能力強與不強，問題會做不會做，先用字母表示有關事件.A—學習能力強，A—學習能力不強，B—問題會做，B—問題不會做.題目的條件可轉化為：PBA=( ) 0.9，PBA=( ) 0.9，PA=() 0.8.概率空間劃分為AèA=W.（1）根據(jù)樣本空間的構成，把會做的學生分成兩類，一類是學習能力強的學生，一類是學習能力不強的學生，根據(jù)全概率公式，PB()=PAPBA()()+PAPBA()()=0.90.8+0.10.2=0.74；（2）該問題可以放在學習貝葉斯公式之后分析，我們在此解答的目的是鞏11固條件概率和全概率公式.問題相當于已知PB()（第一問的結果），求PAB()，由條件概率公式，PAB()=PAB()，需要先求出PAB()，在求PAB()時，我們PB()轉化問題的視角（貝葉斯公式思想），把事件A作為條件，所以PAB()=PA()×PBA()=0.80.9=0.72，所以PAB()=PAB()0.72=0.973.PB()0.74全概率公式教學的難點是：當AA1 2,×××An都是引發(fā)事件B發(fā)生的原因時（A1èA2è×××èAn=W，AAi×=?j，PA()>0,i=1,2,×××n，），為什么B=(BA1)(BA2)è×××è(BAn)（事件關系的轉化式）？突破難點有一個過程，不能急于求成，要滲透于概念形成的各個環(huán)節(jié)，在全概率概念建立和完善之后，要及時引導學生總結“事件關系的轉化式”的意義.（1）自然語言的直觀意義是：事件B發(fā)生總是在樣本空間的每一個iA空間中與事件iA同時發(fā)生.（2）邏輯的角度（最嚴謹）分析為：B=?W，A1èA2è×××èAn=W.（3）集合的視角理解是：樣本空間W上，事件B與iA交集的并集（參看圖4、圖5）.（4）結論反映的本質是（從事件的概率關系反觀事件關系）：事件B在樣本空間W上發(fā)生的概率是它在該空間的每一個劃分iA上發(fā)生概率的加權平均數(shù)[8].這個“權”即PA().4.貝葉斯公式：領悟概率問題解決的思維轉化，概念、公式的全面融合貝葉斯公式的本質是條件概率，從思維策略上分析，全概率公式和貝葉斯公式體現(xiàn)了解決概率問題的兩種不同的思維方式，前者“由因推果”，化整為零，分類討論，用來解決已知“原因”事件求“結果”事件概率的問題，后者“執(zhí)果尋因”，“分析每個原因對結果所做的貢獻[6]”，用以求解已知“結果”發(fā)生時，“某個原因”事件導致的概率.實際上，我們如果沒有學習貝葉斯公式，直接從條件概率出發(fā)，利用全概率公式和乘法公式一樣可以將問題解決.案例3的第二問和教材的例5的第二問（之后的“案例4”分析）就是按照這個思路解決問題的.12同樣通過例題，引導學生分析解法，然后總結抽象出貝葉斯公式. 案例4（人教版教材例5）

有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，計算它是第ii=1,2,3)臺車床加工的概率.分析：問題涉及零件是否為次品和來自哪一臺車床，因此，要先把事件用字母表示，理出事件及其關系條理.設B=“任取一零件為次品”，iA=“零件為第ii=1,2,3)臺車床加工”.整個問題圍繞B和iAi=1,2,3)展開，顯然1A，A2，A3兩兩互斥，A1èA2èA3=W，PBA( 1)=0.06，PBA( 2)=PBA( 3)=0.05，PA()=0.25，PA( 2)=0.30，PA()=0.45.（1）求PB().因為1A，A2，A3是樣本空間W的一個劃分，所以，由全概率公式，PB()=PBA( 1)+PBA2)+PBA( 3)=0.0525.重點分析第二問.（2）題目要我們求PAB( i)(i=1,2,3).以求PAB( 1)（*）為例，由條件概率知，PAB( 1)=PAB( 1)，結合題設，PB()我們在求積事件概率PAB( 1)（**）時，用乘法公式，把“條件”變成1A，即PAB( 1)=PAPBA()( 1)，在求PB()時，用全概率公式，PB()=PBA( 1)+PBA2)+PBA( 3)（***），亦即第一問結論，PB=() 0.0525.注意：求（*）式時，“B”為條件，而在已知的（**）（***）中，用乘法公式和全概率公式，“iA”為條件，即“已知”（右邊）和要求的“結論”（左邊）13的“條件”發(fā)生了改變，PAB( 1)=PAB( 1)=PBA( 1PAPBA()( 1))+PBA2)+PBA( 3)就是PB()貝葉斯公式，貝葉斯公式反映了條件概率之間的關系. 另外，學生解答此題時可能習慣于“統(tǒng)計”的方法，這時要注意引導.解答概率問題盡量用概率的方法.通過該例講解，我們知道，問題解決的出發(fā)點是條件概率，通過改變“條件”求積事件（PAB( 1)）概率，再結合全概率公式（求PB()時用全概率公式，A1èA2èA3=W，1A，A2，A3是樣本空間的一個劃分），問題得到解決.這樣，即可得出貝葉斯公式的基本形式.在上述例題基礎上，總結出一般情形下的貝葉斯公式，即：在公式④的條件下，若PB>() 0，則PAB( i)=PAPBA()Ai)n

?PA( k)(PBAk),i=1,2,×××[3]⑤.特別地，PAB()k=1=PAB()=PAPBA()A)PB() PAPBA()(A)+P()(APBA)⑥.為什么說貝葉斯公式是“執(zhí)果尋因”，對于高中學生，不能僅從概念上和意義上講解，要引導他們直觀觀察.我們觀察公式⑤即可發(fā)現(xiàn)其“形式上”的特征，由“iAi=( 1,2×××)條件下事件B發(fā)生的概率（右式），可求B條件下事件A發(fā)生的概率（左式）”，說明在一個樣本空間里，“條件”是變化的，條件是相對的.如果從形式上理解和記憶，公式⑥的前半部分PAB()=PAB()即為條件概率，而該條件概率分子、分母中的PB()PAB()、PB()可用積事件和全概率公式求出，不過與公式左邊的“PAB()”相比，右邊的“條件”改變了.貝葉斯公式是條件概率、全概率公式、乘法公式的融合，教學的關鍵是理順其與條件概率、全概率公式之間的邏輯聯(lián)系和公式自身的邏輯關系，引導學生理解公式的本質及其意義.公式的結論形成后要引導學生分析：（1）公式的來龍去脈，怎樣由條件概率推出公式.（2）公式的意義，已知“結果”的概率求某個“原14因”概率是改變“條件”后概率之間的關系.（3）公式中哪一部分用積事件概率求出，哪一部分通過全概率公式求出. 貝葉斯公式的運用，使我們充分理解了條件概率、乘法公式和全概率公式之間的聯(lián)系，在生產(chǎn)實踐中，貝葉斯公式的這種“執(zhí)果尋因”的意義更為重要. 案例5大數(shù)據(jù)表明，50周歲以上男性的低風險人群中，每1000名中有3名患有結腸癌（以下簡稱為“J病”）.如果一名男性患有“J病”，其大便檢查有隱血的可能性是50%，如果沒有患“J病”，其大便檢查有隱血的可能性只有3%.現(xiàn)有一50周歲低風險男性的大便檢查有隱血，問其患“J病”的概率有多大？ 問題意圖：貝葉斯公式