第八章空間幾何與向量代數(shù)

第八章空間幾何與向量代數(shù)第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三向量（矢量）：既有大小又有方向的量.模長為1的向量。零向量：模長為0的向量||向量的模：向量的大小單位向量：一、向量的概念或或向量的記法：（方向任意）。向量的表示：3/26就是線段的距離第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三自由向量：不考慮起點位置的向量（默認(rèn)）.相等的向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.平行的向量：4/26第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[1]加法：（1）平行四邊形法則特殊地：若‖（2）三角形法則二、向量的線性運算5/26考慮物理意義第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法6/26第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三[3]向量與數(shù)的乘法:7/26第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：8/26第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三例1化簡解9/26本例題利用了向量數(shù)乘的結(jié)合律和分配率第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系若三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手規(guī)則——右手系——最常用（默認(rèn)）.三、空間點的直角坐標(biāo)另一種空間直角坐標(biāo)系——左手系.11/26第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有三個坐標(biāo)面、ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八個卦限12/26第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三向徑OM有序數(shù)組稱為(x,y,z)向徑OM的坐標(biāo),點M點M的坐標(biāo)。xyz向量AB的坐標(biāo)=向徑OM的坐標(biāo)A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=AB的終點坐標(biāo)(x2,y2,z2)-起點坐標(biāo)(x1,y1,z1)=(x2-

x1,y2-

y1,z2-z1)13/26第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三——按基本單位向量的分解式.14/26第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間距離公式——向量的模的坐標(biāo)表達式。17/26第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解原結(jié)論成立.18/26第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為19/26第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2.方向角與方向余弦類似地，定義向量與軸的夾角及兩軸的夾角.非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為向量的方向角，其余弦稱為向量的方向余弦.由20/26第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式由21/26第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解例723/26第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三六、小結(jié)1、向量的概念（注意與標(biāo)量的區(qū)別）2、向量的線性運算3、空間點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)4、利用直角坐標(biāo)作向量的線性運算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影26/26第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)向量的點積和叉積一、向量的點積（數(shù)量積）

1．引例

已知力與軸正向夾角為,其大小為，在力的作用下，一質(zhì)點沿軸由點()移動到點()(如圖8-9），求力所做的功？解力在水平方向的分力大小為，所以，力使質(zhì)點沿軸方向(從到)所做的功為：(1)注意到，，所以(1)式可寫成:(2)第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三２．點積的定義定義1

設(shè)向量與之間夾角為（），則稱實數(shù)為與的點積（或數(shù)量積），并用記號表示，即=．特別，零向量與任何向量的點積顯然為0（即為數(shù)零）。注意，我們約定兩向量與間的夾角的范圍是于是由定義1即可得：3．點積滿足的運算規(guī)律由點積的定義容易驗證點積滿足下列運算規(guī)律：(1)（交換律）；第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三（2）（分配律）；（3）（結(jié)合律）。顯然，且可得到以下結(jié)論．定理1兩個非零向量與垂直（記為）的充分必要條件為。證明（見書）。由此定理可得到：,,；另有,,。4．點積的坐標(biāo)表示式

則第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三

由此可得上述兩非零向量垂直的充分必要條件又可表為：另外，由,可得兩向量，夾角的余弦公式：例１

試證向量,是互相垂直（即正交）的．第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三

證明因為，所以由定理1知與互相垂直。第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三二、向量的叉積(向量積)只做了解1．引例設(shè)點為一杠桿的支點,力作用于杠桿上點處，求力對支點的力矩.解根據(jù)物理學(xué)知識，力對點的力矩是向量,其大小為，其中為支點到力的作用線的距離,為矢量與的夾角（如圖8-10）．力矩的方向規(guī)定為：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向方向，然后讓四指沿小于的方向握拳轉(zhuǎn)向力的方向，這時拇指的方向就是力矩的方向．因此，力矩是一個與向量和向量有關(guān)的向量，其大小為

，其方向滿足：第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三（1）同時垂直于向量和；（2）向量，，依次符合右手螺旋法則．2．叉積的定義定義2兩個向量和的叉積（也稱為向量積）是一個向量，記作，并規(guī)定如下：

（1）；

（2）的方向規(guī)定為：既垂直于又垂直于，并且按順序，，符合右手螺旋法則（如圖8-11）．若把，的起點放在一起，并以，為鄰邊作一平行四邊形，則向量與的叉積的模即為該平行四邊形的面積（如圖8-12）．

第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)平面與直線一、平面的方程1.平面的點法式方程（1）.法向量如果一個非零向量垂直于一個平面，則稱此向量為該平面的法（線）向量。（2）.平面的點法式方程已知點為平面上一點，向量為平面的法向量，求平面的方程。設(shè)點為平面上任意一點，連結(jié)成向量（（見圖8-13）。

第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三由于平面的法向量垂直于上任一直線，故有，從而得到，即有，于是得方程為： （1）顯然平面上任一點滿足方程（1）；反之，若點不在平面上，則不垂直，從而

,即點的坐標(biāo)不滿足方程（1），故方程（1）是平面的方程。平面是方程（1）的圖形，我們稱這種由平面上一定點和其法向量所確定的平面方程為平面點法式方程第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2.平面的一般方程由上面的討論可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。反之，任一三元一次方程……(2)的圖形必為平面。

這是因為任取滿足方程（2）的一組數(shù)，有:

…………（3）式（2）－式（3），得,這是過點且法向量的平面方程，即任一三元一次方程的圖形是一平面。我們稱方程為平面的一般（式）方程，其中。下面研究幾種特殊位置的平面方程：（1）若，則平面一般方程變?yōu)?由于點滿足方程，故它表示通過原點的平面。第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三即。在這里，我們規(guī)定兩平面法向量間的夾角為兩平面的夾角。例8求兩平面與的夾角。解已知，，故于是得夾角。二、直線的方程1.直線的點向式方程及參數(shù)式方程（1）.直線的方向向量如果一個非零向量平行于一條已知直線，則稱這個向量為該直第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三線的方向向量。（2）.直線的點向式方程（標(biāo)準(zhǔn)式方程）已知向量

（不全為零）和一定點，求經(jīng)過點且與平行的直線方程。設(shè)是所求直線上的任意一點，由條件∥，而，

（如圖8-15），由二非零向量平行的充分必要條件得：

…………(4)

第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三方程組（4）稱為直線的點向式方程（也稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程）。注意因為，所以不全為零。若其中有一個為零，例如時，（4）式應(yīng)理解為

而當(dāng)有兩個為零時，例如,（4）式應(yīng)理解為例9求過兩點，的直線方程。解所求直線的方向向量為：第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三由直線的點向式方程得所求直線方程為（3）。直線的參數(shù)式方程設(shè)一直線的點向式方程為：，

于是有，，，即有（t為參數(shù)）(5)我們稱方程組（5）為直線的參數(shù)式方程。2。直線的一般式方程空間直線也可看作兩個平面的交線，所以可用這兩個平面方程的聯(lián)立方程組來表示直線的方程，即：(6)方程組（6）稱為直線的一般式方程，也稱為直線的面交式方程。注意只有兩個平面不平行時才會有交線。

第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三于是得所求直線方程為。4。兩直線的夾角兩直線方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角。例13求直線和間的夾角。解直線L1，L2的方向向量分別為，，故兩直線間的夾角的余弦為：

所以。第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)曲面與空間曲線一、曲面方程的概念

定義如果曲面上每一點的坐標(biāo)都滿足方程，而不在曲面上的點的坐標(biāo)都不滿足這個方程，則稱方程為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形。例1求與兩定點，等距離的點的軌跡方程。解設(shè)為軌跡上的點，按題意有：，=，化簡得：

第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三因此在軌跡上的點的坐標(biāo)滿足上述方程，而不在軌跡上的點的坐標(biāo)不滿足該方程，所以它就是所求點的軌跡方程。該方程是的一次方程，它表示一個平面。例2求球心在，半徑為R的球面方程。解設(shè)定點的坐標(biāo)為，則點在以為球心，以R為球半徑的球面上的充要條件為即。兩邊平方，得………………①顯然，球面上的點的坐標(biāo)滿足方程①，不在球面上的點的坐標(biāo)不滿足方程①，所以方程①就是以球心，以R為球半徑的球面方程。時，則得球心在坐標(biāo)原點的球面方程為：二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面1.定義直線L沿定曲線C平行移動所形成的曲面稱為柱面；定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線L稱為柱面的母線第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三（見圖8-17）。2.柱面方程本節(jié)我們只討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，而母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面，先看一個具體問題。設(shè)一個圓柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線C是平面上以原點為圓心，R為半徑的圓，即準(zhǔn)線C的方程為，試求。在圓柱面上任取一點，過點的母線與平面的交點一定在準(zhǔn)線C上（見圖8-18），所以不論點M的坐標(biāo)中的z取什么值，它的橫坐標(biāo)

x

和縱坐標(biāo)

y

必定滿足方程;反之，不在圓柱面上的點，它的坐標(biāo)不滿足這個方程，于是所求柱面方程為。注意在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示一個圓，而在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示一個母線平行于z軸的圓柱面。第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三一般來說，如果柱面的準(zhǔn)線是面上的曲線C，它在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，那么，以C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程就是。相仿地，方程表示母線平行于x軸的柱面；方程表示母線平行于y軸的柱面。于是，我們有結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系下，二元方程必為柱面方程，且方程中缺哪個變量，該柱面的母線就平行于哪一個坐標(biāo)軸。例如：方程表示母線平行于軸的橢圓柱面，方程表示母線平行于軸的雙曲柱面，方程表示母線平行于軸的拋物柱面，第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三以上三個方程都是二次的，因此稱其為二次柱面（見圖8-19、8-20、8-21）。三、旋轉(zhuǎn)曲面1.定義一平面曲線C繞同一平面上的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面；其中曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸（或稱旋轉(zhuǎn)軸）。２.旋轉(zhuǎn)曲面方程我們本節(jié)主要討論母線在某個坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是該坐標(biāo)面上第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三的一條坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面。設(shè)在平面上有一條已知曲線C，它方程是：求此曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（見圖8-22）。在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點，設(shè)這點是由母線上點繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度而得到。由圖8-22可知，點與z軸的距離等于點與z軸的距離，且有同一豎坐標(biāo)，即

,,又因為點在母線C上，

所以，于是有：。旋轉(zhuǎn)曲面上的點都滿足方程，而不在旋轉(zhuǎn)曲面上的點都不滿足該方程，故此方程是母線為C，旋轉(zhuǎn)軸為z軸的旋轉(zhuǎn)第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三曲面的方程。可見，只要在坐標(biāo)面上曲線C的方程中，將y換成，就得到曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程。同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的的旋轉(zhuǎn)曲面方程為對于其它坐標(biāo)面上的曲線，繞該坐標(biāo)面上任何一條坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可以用上述類似方法求得。例3求由平面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解在中，把y換成，得所求方程為，即，此曲面為頂點在原點，對稱軸為軸的圓錐面（見圖8-23）。四、二次曲面由上一節(jié)已知，在空間直角坐標(biāo)系中，若方程是一次方程，則它的圖形必是一個平面。平面也稱為一次曲面；若方程是二次方程，則它的圖形稱為二次曲面。第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三對于空間曲面方程，我們一般地用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面，從而求得一系列的交線，對這些交線進行綜合分析就可了解曲面的形狀和特征，這種方法稱為截痕法。下面我們就用截痕法研究幾個常見的二次方程所表示的二次曲面的形狀和特征。1.橢球面方程