第二章流體靜力學(xué)

第二章流體靜力學(xué)

流體靜力學(xué)-----研究流體在外力作用下的靜止平衡規(guī)律及其在工程上應(yīng)用的科學(xué)。流體相對(duì)于慣性參考坐標(biāo)系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為流體處于靜止（或平衡）狀態(tài)。流體相對(duì)于非慣性參考坐標(biāo)系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為流體處于相對(duì)靜止（或相對(duì)平衡）狀態(tài)。流體處于靜止或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，流層間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，粘性作用表現(xiàn)不出來(lái)-------流體靜力學(xué)為無(wú)黏性流體的力學(xué)模型。注：不是流體沒(méi)有粘性第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性一、流體的靜壓強(qiáng)定義：流體的壓強(qiáng)(pressure)

：在流體內(nèi)部或固體壁面所存在的單位面積上的法向作用力流體靜壓強(qiáng)（staticpressure)：流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的壓強(qiáng)。平均靜壓強(qiáng)：壓強(qiáng)單位(Units)

國(guó)際單位（SI）制：Pa；

工程單位制：Kgf/m2

其它，如大氣壓（atm），

1atm=101325Pa特性1.流體的靜壓強(qiáng)必須垂直于其所作用的面積，并指向作用面的內(nèi)法線方向注：研究流體靜力學(xué)得根本問(wèn)題就是研究流體靜壓強(qiáng)問(wèn)題。二、流體的靜壓強(qiáng)特性：證明：（反證法）假設(shè)：壓強(qiáng)p不垂直于它所作用的面積，則:可以將壓力P分解成沿ΔA面的法線方向和切線方向上的兩個(gè)力P與τ，τ的切向力必將破壞流體的平衡，引起流動(dòng)。因此，當(dāng)流體相對(duì)靜止時(shí)，只有法線方向的力存在，而且沿著內(nèi)法線方向作用。PPnτΔA特性2、某一點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無(wú)關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)。即px=py=pz=pn證明：在相對(duì)靜止的流體中取出一個(gè)包括O點(diǎn)在內(nèi)的微元四面體。設(shè):①直角坐標(biāo)原點(diǎn)與O點(diǎn)重合。②微元四面體正交的三個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx，dy和dz。表面力:

分析其受力情況：因?yàn)槲⒃拿骟w處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以作用在其上的力是平衡的.

(dAn為△ABC的面積）

PxPzxydydxPnPydzozABC質(zhì)量力：設(shè)質(zhì)量力F沿x、y、z軸為Fx、Fy、Fz

，

X、Y、Z為單位質(zhì)量力在x、y、z軸向的分力。PxPzxydydxPnPydzozABC則：因?yàn)?微元四面體處于平衡狀態(tài)，故：作用在其上的一切力在任意軸上投影的總和等于零。對(duì)于直角坐標(biāo)系，則：在X軸方向上力的平衡方程為：即：在相對(duì)靜止的流體中，沿任何方向作用于某一固定點(diǎn)的靜壓強(qiáng)均有相同的數(shù)值。

把PX，Pn和Fx

的各式代入得：因?yàn)椋簞t上式變成：或：

略去高階無(wú)窮小量，得到：同理得到：所以：

PxPzxydydxPnPydzozABC或者說(shuō)：各點(diǎn)的位置不同，壓強(qiáng)可能不同，位置一定，則不論哪個(gè)方向大小完全相同

因此：流體靜壓強(qiáng)是空間的單值函數(shù)，即：

p=f（x，y，z）AB水思考題：1)在如圖情況下容器里裝有液體，這時(shí)px=py=pz，結(jié)論是否成立？2）在管道內(nèi)有運(yùn)動(dòng)的流體，在此情況下px=py=pz結(jié)論是否成立？水第二節(jié)流體的平衡微分方程一、推導(dǎo)過(guò)程

在處于平衡狀態(tài)下的流體中任取一微元平行六面體。其邊長(zhǎng)為dx、dy、dz.研究p=f（x，y，z）的具體表達(dá)形式dxdydzzoxyp設(shè)其中心點(diǎn)壓力為p。進(jìn)行受力分析。以x方向?yàn)槔罕砻媪?---作用于此六面體上的靜壓強(qiáng)在x軸方向上作用在微六面體上的壓力共為：

質(zhì)量力：設(shè)在x軸方向上流體單位質(zhì)量的質(zhì)量力分別為X，則在這個(gè)方向上微六面體的質(zhì)量力為Xρdxdydz。根據(jù)平衡的條件，沿x軸的各力之和應(yīng)等于零，故此式為流體的平衡微分方程式（歐拉平衡微分方程式)(1775年)。上式表明：哪個(gè)方向有質(zhì)量力，哪個(gè)方向就有壓強(qiáng)的變化。質(zhì)量力的方向即為壓強(qiáng)遞增的方向。二、適用范圍靜止或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的可壓縮和不可壓縮流體。同理（2-7-1b）即：第三節(jié)流體的靜力學(xué)基本方程式

(TheGoverningPressure-FieldEquationinaStaticFluid)一、方程的推導(dǎo)將歐拉平衡方程中各式分別乘以dx、dy、dz，然后將它們相加起來(lái):dxdydz因?yàn)椋红o壓強(qiáng)p只是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，p=f（x，y，z），所以:壓強(qiáng)p的全微分(thetotalderivative):上式可以寫(xiě)成：這就是僅處于重力作用下的流體靜力學(xué)基本方程式。適用條件：平衡狀態(tài)下不可壓縮均質(zhì)重力流體。流體的重度γ=ρg，于是對(duì)于液體為不可壓縮流體，γ是常數(shù)，將上式積分，得：或當(dāng)流體的質(zhì)量力只是重力時(shí)，即：X=0，Y=0，Z=-g，則：（2-2-4）

z——單位重量流體的距基準(zhǔn)面的位置高度或位置水頭二、方程的幾何與

物理意義——單位重量流體的壓力水頭——單位重量流體的靜水頭幾何意義：即：在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的靜水頭都相等

z——單位重量流體的位勢(shì)能——單位重量流體的壓力勢(shì)能——單位重量流體的總勢(shì)能即：在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能保持不變。物理意義三、討論與說(shuō)明已知液體中任意點(diǎn)的靜壓強(qiáng)和該點(diǎn)在空間的坐標(biāo)，可求出另一任意點(diǎn)的靜壓強(qiáng)。液體與氣體交界面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)p。是相等的，（這樣的等壓面稱為自由表面）令自由表面的坐標(biāo)為z0，或

是靜止流體中任意點(diǎn)在自由液面下的深度。

式中則：該式為靜力學(xué)基本方程的另一種形式。該式為自由表面以下任意深度h處的壓強(qiáng)式，它說(shuō)明了平衡液體中壓強(qiáng)的分布規(guī)律。（2-2-3）由此得到三個(gè)重要結(jié)論：

(1)在重力作用下的靜止液體中，靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強(qiáng)值成正比增大。

(2)在靜止液體中，任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：一部分是自由液面上的壓強(qiáng)p0

；另一部分是該點(diǎn)到自由液面的單位面積上的液柱重量γh。

(3)在靜止液體中，位于同一深度(h=常數(shù))的各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等。流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)所組成的面稱為等壓面。這表明任一水平面都是等壓面。特別注意：流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律只適用于靜止、同種、連續(xù)的流體。書(shū)上圖2-10例題2-2第四節(jié)壓強(qiáng)計(jì)量基準(zhǔn)及壓強(qiáng)計(jì)量單位一、計(jì)量基準(zhǔn)：絕對(duì)壓強(qiáng)：以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)(absolutepressure)相對(duì)壓強(qiáng)：以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)的計(jì)算壓強(qiáng)(gagepressure)正壓：大于同高度的大氣壓強(qiáng)為正壓負(fù)壓：小于同高度的大氣壓強(qiáng)為負(fù)壓pg=p-pa大氣壓的相對(duì)壓為0。負(fù)壓的絕對(duì)值為真空度。apa二、壓強(qiáng)的三種度量單位：1、以壓強(qiáng)基本定義為基準(zhǔn)：

SI制：N/m2,Pa.工程制：kgf/m22、以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)：

SI制：1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=101325Pa

工程制：

1工程大氣壓=105Pa3、以液柱高度為基準(zhǔn)：1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=10.33m水柱=760mm汞柱(自行推倒）

1工程大氣壓=10m水柱由P=rh,h=P/r而來(lái)例題：P24:2-3第五節(jié)測(cè)量壓強(qiáng)的儀器流體的壓強(qiáng)可用液柱高度表示，因此液柱式測(cè)壓計(jì)(manometer)是測(cè)量流體壓強(qiáng)常用的儀器，其工作液體一般為水、酒精、四氯化碳或水銀等。應(yīng)用液體平衡原理可以測(cè)量流體的壓強(qiáng)。所使用的這類儀器叫液壓計(jì)。

分類：機(jī)械式壓力傳感器：電氣式壓力傳感器：液柱式壓力計(jì)彈簧管式壓力計(jì)活塞凈重式壓力計(jì)壓電壓力計(jì)壓阻壓力計(jì)1、測(cè)壓管(PressureTube)原理：從玻璃管這一側(cè)來(lái)看，如果從點(diǎn)A算起，管內(nèi)液柱高度為h，則點(diǎn)A上的壓強(qiáng)單直管測(cè)壓計(jì)特點(diǎn)：較精確、簡(jiǎn)單，但只能測(cè)液體的較低壓強(qiáng)。如果測(cè)管內(nèi)徑很細(xì)，有毛細(xì)管現(xiàn)象，影響讀數(shù)的精確性。結(jié)構(gòu)：一根內(nèi)徑為10mm左右的直玻璃管的下端與裝有液體的容器連接，上端開(kāi)口與大氣相通，2、U型管(theU-shapedtube)測(cè)壓計(jì)U型管測(cè)壓計(jì)特點(diǎn)：既可測(cè)液體較高的壓強(qiáng)，也可測(cè)氣體較低壓強(qiáng)或真空度。由于U形管是雙管，因毛細(xì)管現(xiàn)象產(chǎn)生的讀數(shù)誤差就可抵消，測(cè)管可細(xì)小而精確。U形管也可測(cè)量壓差。U形管的1與2是等壓面，即p1=p2，則：若容器內(nèi)是氣體，則γ1＜＜γ2，即γ1

H

可忽略不計(jì)，容器內(nèi)的壓強(qiáng)pc為ρ２3、復(fù)合式測(cè)壓計(jì)——兩點(diǎn)壓強(qiáng)的計(jì)算如圖已知：ρ1、ρ2、ρ3，h1、h2、h3，求pA-pB方法：找等壓面1—2—3和4—5。因?yàn)椋核裕毫硪环N方法：

根據(jù)“從一邊開(kāi)始，找等壓面，向上減，向下加”的原則進(jìn)行。解：此處的等壓面有兩個(gè)，1—2—3和4—5。根據(jù)“從一邊開(kāi)始，找等壓面，向上減，向下加”的原則得到：例題：2-44、單管杯式測(cè)壓計(jì)（杯形壓強(qiáng)計(jì)）該液壓計(jì)是U管壓強(qiáng)計(jì)的一種變形，U形管的一側(cè)用一個(gè)大截面的杯形容器代替，杯的截面積遠(yuǎn)較玻璃管為大。當(dāng)壓強(qiáng)計(jì)與測(cè)壓口連通時(shí)，左杯端連接到高壓端，則杯中液面下降Δh的高度至o’－o’的位置，而此時(shí)右管中液面上升h的高度。容器中氣體的絕對(duì)壓力為其表壓力為由于利用這種測(cè)壓計(jì)測(cè)量壓力時(shí)只需進(jìn)行一次讀數(shù)，因此讀數(shù)的絕對(duì)誤差可比U型管測(cè)壓計(jì)減小一半。根據(jù)體積平衡的原理若忽略杯內(nèi)液面的變化，容器中氣體的表壓力為使用這種壓強(qiáng)計(jì)時(shí)，必須記住較高壓強(qiáng)處總是與杯形端相接，才能使壓強(qiáng)在玻璃管上反映出來(lái)。

5、傾斜微壓計(jì)----測(cè)定微小壓強(qiáng)（或壓差）由圖h＝lsinα如圖：微壓計(jì)一般用于測(cè)定氣體壓強(qiáng)，它的測(cè)壓管是傾斜放置的，其傾角為α。

容器中氣體的絕對(duì)壓力為：其表壓力為：又根據(jù)體積平衡則：h當(dāng)測(cè)定時(shí)α為定值，只需測(cè)得傾斜長(zhǎng)度l，就可得出壓差。由于l=h／sinα，說(shuō)明傾斜角度越小，l比h放大的倍數(shù)就越大，量測(cè)的精度就更高。由上式還可知，在pg一定時(shí)，γ愈小，讀數(shù)l就越大。因此，工程上常用容重比水更小的液體，例如酒精（純度96%的酒精，γ=7.944kN／m3）以提高精度。若忽略杯內(nèi)液面的變化，容器中氣體的表壓力為h2.5液體對(duì)壁面的作用力靜止液體作用在平面上的總壓力包括三個(gè)問(wèn)題：1.總壓力的大小2.總壓力的作用點(diǎn)3.總壓力的方向2.5液體對(duì)壁面的作用力一、平面壁的總作用力及作用點(diǎn)方向：平面壁上所受液體靜壓強(qiáng)的總和dA上的壓強(qiáng)為dA上總壓力

結(jié)論：靜止液體作用在任一淹沒(méi)平面上的總壓力等于液體的密度、重力加速度、平面面積和形心淹深的乘積。式中是整個(gè)淹沒(méi)平面面積A對(duì)OX軸的面積矩，hc為平面A的形心C到OX軸的距離，稱為形心y坐標(biāo)。如果保持平面形心的淹深不變，改變平面的傾斜角度，則靜止液體作用在該平面的總壓力值不變，即靜止液體作用于淹沒(méi)平面上的總壓力與平面的傾斜角度無(wú)關(guān)。作用在靜止液體中任一淹沒(méi)平面上液體的總壓力也相當(dāng)于以平面面積為底，平面形心淹深為高的柱體的液重。2.5液體對(duì)壁面的作用力總壓力的作用點(diǎn)計(jì)算方法和定義：淹沒(méi)在靜止液體的平面上總壓力的作用點(diǎn)，即總壓力作用線與平面的交點(diǎn)，稱為壓力中心。由合力矩定理可知，總壓力對(duì)OX軸之矩等于各微元面積上的總壓力對(duì)OX軸之矩的代數(shù)和。平行軸定義：——受壓面積A對(duì)其心軸（過(guò)形心C，平行x軸）的二次矩。是面積對(duì)于通過(guò)它形心且平行于OX軸的軸線的慣性矩。

從這個(gè)方程式可以看到，壓力中心的位置與Θ角無(wú)關(guān)，即平面面積可以繞與OX軸平行且通過(guò)壓力中心的軸旋轉(zhuǎn)。Jx表示受壓面A對(duì)x