江西省南昌三中2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．12．“”是“對任意恒成立”的A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-44．若1a<1bA．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<5．用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設(shè)為（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥06．七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．7．若存在兩個正實(shí)數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是A．152 B．126 C．90 D．549．若函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．10．曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．11．已知，，則是的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．設(shè)集合，則（）A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，此時若則_______．14．在中，若，則的最大值為______.15．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則___________.16．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)集合，如果存在的子集，，同時滿足如下三個條件：①；②，，兩兩交集為空集；③，則稱集合具有性質(zhì).（Ⅰ）已知集合，請判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)集合，求證：具有性質(zhì)的集合有無窮多個.18．（12分）如圖，在矩形ABC中，，，E在線段AD上，，現(xiàn)沿BE將ABE折起，使A至位置，F(xiàn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若在平面BCDE上的射影O在直線BC上，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；（2）令函數(shù)g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）時，g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（12分）已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立．21．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，求多面體的體積．22．（10分）已經(jīng)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出n=k+1時左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【詳解】n=k+1時左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.2、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合判別式的解法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對任意恒成立，推不出，，“”是“對任意恒成立”的必要不充分條件．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)判別式的解法是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解析】

求導(dǎo)后代入x=1可得關(guān)于f'1【詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則得到導(dǎo)函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

不妨令a=-1，b=-2【詳解】由題1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項(xiàng)，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.【詳解】命題“若，則”，要用反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以正確的反設(shè)為，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應(yīng)如何寫，屬于簡單題.6、C【解析】分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和．詳解：設(shè)小正方形的邊長為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長為2，所以，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，通過分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進(jìn)而計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型．7、D【解析】試題分析：由得，即，即設(shè)，則，則條件等價為，即有解，設(shè)，為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．8、B【解析】試題分析：根據(jù)題意，按甲乙的分工情況不同分兩種情況討論，①甲乙一起參加除了開車的三項(xiàng)工作之一，②甲乙不同時參加一項(xiàng)工作；分別由排列、組合公式計算其情況數(shù)目，進(jìn)而由分類計數(shù)的加法公式，計算可得答案．解：根據(jù)題意，分情況討論，①甲乙一起參加除了開車的三項(xiàng)工作之一：C31×A33=18種；②甲乙不同時參加一項(xiàng)工作，進(jìn)而又分為2種小情況；1°丙、丁、戌三人中有兩人承擔(dān)同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36種；2°甲或乙與丙、丁、戌三人中的一人承擔(dān)同一份工作：A32×C31×C21×A22=72種；由分類計數(shù)原理，可得共有18+36+72=126種，故選B．考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．9、D【解析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)定積分即可求出結(jié)果.【詳解】作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.11、A【解析】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪的大小，得到指數(shù)的大小關(guān)系，即，從而求得，利用集合間的關(guān)系，確定出p,q的關(guān)系.詳解：由得，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故p是q的充分不必要條件，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，在求解的過程中，首先需要判斷命題q為真命題時對應(yīng)的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關(guān)系時滿足充分非必要性得到結(jié)果.12、B【解析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的運(yùn)算法則計算．詳解：由題意，，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元確定如何求集合中的元素．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由二項(xiàng)分布性質(zhì)可知Dx=np(1-p)=2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二項(xiàng)分布公式代入解得p>0.5，可求得p.【詳解】由二項(xiàng)分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因?yàn)?，所以，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7.【點(diǎn)睛】本題綜合考查二項(xiàng)分布公式應(yīng)用及二項(xiàng)分布的性質(zhì)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用。14、【解析】

先由題得，再化簡得=，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.【詳解】在△ABC中，有,所以==,當(dāng)即時取等.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解能力掌握水平.解題的關(guān)鍵是三角恒等變換.15、1【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解詳解：點(diǎn)睛：等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則。16、【解析】根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個，其分值X相應(yīng)為4，6，8，1．∴.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）不具有，理由見解析；（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由條件易得集合具有性質(zhì)，對集合中的進(jìn)行討論，利用題設(shè)條件得出集合不具有性質(zhì)；（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)具有性質(zhì)的集合有限個，根據(jù)題設(shè)條件得出矛盾，即可證明具有性質(zhì)的集合有無窮多個.【詳解】解：(Ⅰ)具有性質(zhì)，如可?。徊痪哂行再|(zhì)；理由如下：對于中的元素，或者如果，那么剩下個元素，不滿足條件；如果，那么剩下個元素，也不滿足條件．因此，集合不具有性質(zhì).（Ⅱ）證明：假設(shè)符合條件的只有有限個，設(shè)其中元素個數(shù)最多的為.對于，由題設(shè)可知，存在，滿足條件.構(gòu)造如下集合由于所以易驗(yàn)證，，對集合滿足條件，而也就是說存在比的元素個數(shù)更多的集合具有性質(zhì)，與假設(shè)矛盾．因此具有性質(zhì)的集合有無窮多個.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的應(yīng)用，涉及了反證法的應(yīng)用，屬于較難題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）取,再根據(jù)平幾知識證,最后根據(jù)線面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性質(zhì)得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求出平面法向量，根據(jù)向量夾角公式求夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）取,因?yàn)椋云矫?，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，即平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，因?yàn)樵O(shè)平面法向量為，則即即令因?yàn)?所以因此直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及利用空間向量求線面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)性并求得極值；（2）對g（x）求導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，當(dāng)a≥1時，易得g（x）為單調(diào)遞增，有g(shù)（x）≥g（1）＝1，符合題意．當(dāng)a＜1時，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再結(jié)合g（1）＝1，可得當(dāng)x∈（1，x1）時，g（x）＜1，不符合題意．由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）．①當(dāng)a≤1時，f′（x）＜1，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）無極值；②當(dāng)a＞1時，由f′（x）＞1得：1＜x，可得函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞增．由f′（x）＜1，得：x，可得函數(shù)f（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）在x時取極大值為：f（）＝alna﹣2a；（2）由題意有g(shù)（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．g′（x）．①當(dāng)a≥1時，g′（x）．故當(dāng)x∈[1，+∞）時，g（x）＝alnx﹣ex+ex為單調(diào)遞增函數(shù)；g（x）≥g（1）＝1，符合題意．②當(dāng)a＜1時，g′（x），令函數(shù)h（x），由h′（x）1，c∈[1，+∞），可知：g′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，又g′（1）＝a＜1，g′（x），當(dāng)x時，g′（x）＞1．∴存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，因此函數(shù)g（x）在（1，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）＝1，∴當(dāng)x∈（1，x1）時，g（x）＜1，不符合題意．綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了利用了進(jìn)行放縮的技巧，是難題．20、見證明【解析】試題分析：、證明因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，①式和②式等號成立