浙江省2019年中考數學復習題方法技巧專題訓練(打包10套)(新版)浙教版

PAGEPAGEPAGE84方法技巧專題(一)數形結合思想訓練【方法解讀】數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方案(以形助數)，或利用數量關系研究幾何圖形的性質解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想。1.我們學習了一次函數、二次函數和反比例函數,回顧學習過程,都是按照列表、描點、連線得到函數的圖象,然后根據函數的圖象研究函數的性質,這種研究方法主要體現的數學思想是 ()A.演繹 B.數形結合C.抽象 D.公理化2.若實數a,b,c在數軸上對應的點如圖F1-1,則下列式子正確的是 ()圖F1-1A.ac>bc B.|a-b|=a-bC.-a<-b<-c D.-a-c>-b-c3.[2017·懷化]一次函數y=-2x+m的圖象經過點P(-2,3),且與x軸、y軸分別交于點A,B,則△AOB的面積是 ()A.12 B.C.4 D.84.[2018·仙桃]甲、乙兩車從A地出發(fā),勻速駛向B地.甲車以80km/h的速度行駛1h后,乙車才沿相同路線行駛.乙車先到達B地并停留1h后,再以原速按原路返回,直至與甲車相遇.在此過程中,兩車之間的距離y(km)與乙車行駛時間x(h)之間的函數關系如圖F1-2所示.下列說法:①乙車的速度是120km/h;②m=160;③點H的坐標是(7,80);④n=7.5.圖F1-2A.4個 B.3個C.2個 D.1個5.已知二次函數y=(x-h)2+1(h為常數),在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下,與其對應的函數值y的最小值為5,則h的值為 ()A.1或-5 B.-1或5C.1或-3 D.1或36.[2018·白銀]如圖F1-3是二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點A在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是直線x=1,對于下列說法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m為常數),⑤當-1<x<3時,y>0,其中正確的是 (圖F1-3A.①②④ B.①②⑤C.②③④ D.③④⑤7.如圖F1-4是由四張全等的矩形紙片拼成的圖形,請利用圖中空白部分面積的不同表示方法,寫出一個關于a,b的恒等式:.

圖F1-48.[2018·白銀]如圖F1-5,一次函數y=-x-2與y=2x+m的圖象交于點P(n,-4),則關于x的不等式組2x+m圖F1-59.《莊子·天下篇》中寫道:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永遠也取不完,如圖F1-6.圖F1-6由圖易得:12+122+123+…10.當x=m或x=n(m≠n)時,代數式x2-2x+3的值相等,則x=m+n時,代數式x2-2x+3的值為.

11.已知實數a,b滿足a2+1=1a,b2+1=1b,則2018|a-b|=12.已知函數y=(x-1)2+1,x<2,(13.(1)觀察下列圖形與等式的關系,并填空:圖F1-7(2)觀察圖F1-8,根據(1)中結論,計算圖中黑球的個數,并用含有n的代數式填空:圖F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1=.

14.[2018·北京]在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經過點A,將點B向右平移5個單位長度,(1)求點C的坐標;(2)求拋物線的對稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結合函數圖象,求a的取值范圍.

參考答案1.B2.D3.B4.B[解析]甲、乙兩車最開始相距80km,0到2h是乙在追甲,并在2h時追上,設乙的速度為xkm/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①在2h時甲、乙距離為0,在6h時乙到達B地,此時甲、乙距離=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正確;H點是乙在B地停留1h后開始原路返回,6h時甲、乙距離是160km,1h中只有甲在走,所以1h后甲、乙距離80km,所以點H的坐標是(7,80),最后一段是乙原路返回,直到在nh時與甲相遇,初始距離80km,所以相遇時間=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④錯誤.綜上所述,①②③正確,④錯誤,正確的有3個,故選B.5.B[解析]由二次函數的頂點式y=(x-h)2+1,可知當x=h時,y取得最小值1.(1)如圖①,當x=3,y取得最小值時,h>3,(3-h(2)如圖②,當x=1,y取得最小值時,h<1,(1-h)2+1=5,6.A[解析]∵拋物線的開口向下,∴a<0.∵拋物線的對稱軸為直線x=1,即x=-b2a=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a∵當x=-1時,y=a-b+c=3a+c,由對稱軸為直線x=1和拋物線過x軸上的A點,A點在點(2,0)和(3,0)之間,知拋物線與x軸的另一個交點在點(-1,0)和(0,0)之間,所以當x=-1時,y=3a+c<0,∴③錯誤.當x=1時,y=a+b+c,此點為拋物線的頂點,即拋物線的最高點,也是二次函數的最大值.當x=m時,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此時有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正確.∵拋物線過x軸上的A點,A點在點(2,0)和(3,0)之間,則拋物線與x軸的另一個交點在點(-1,0)和(0,0)之間,由圖知,當2<x<3時,有一部分圖象位于x軸下方,說明此時y<0,根據拋物線的對稱性可知,當-1<x<0時,也有一部分圖象位于x軸下方,說明此時y<0,∴⑤錯誤.故選A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析]∵y=-x-2的圖象過點P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P點坐標是(2,-4).觀察圖象知:2x+m<-x-2的解集為x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式組2x+m<-x9.1-110.311.112.1或2[解析]畫出函數解析式的圖象,要使y=k成立的x的值恰好只有3個,即函數圖象與y=k這條直線有3個交點.函數y=(x-根據圖象知道當y=1或2時,對應成立的x值恰好有3個,∴k=1或2.故答案為1或2.13.解:(1)1+3+5+7=16=42.觀察,發(fā)現規(guī)律,第一個圖形:1+3=22,第二個圖形:1+3+5=32,第三個圖形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)個圖形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案為:42n2.(2)觀察圖形發(fā)現:圖中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案為:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵將點B向右平移5個單位長度,得到點C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵拋物線y=ax2+bx-3a經過點∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=--2a2a(3)易知拋物線過點(-1,0),(3,0).①若a>0,如圖,易知拋物線過點(5,12a),若拋物線與線段BC恰有一個公共點,滿足12a≥4即可,可知a的取值范圍是a≥②若a<0,如圖,易知拋物線與y軸交于點(0,-3a),要使該拋物線與線段BC只有一個公共點,就必須-3a>4,此時a<-43③若拋物線的頂點在線段BC上,此時頂點坐標為(1,4),從而解析式為y=a(x-1)2+4,將A(-1,0)代入,解得a=-1,如圖:綜上,a的取值范圍是a≥13或a<-43或a=-方法技巧專題(二)分類討論思想訓練【方法解讀】當數學問題中的某一條件模糊而不確定時,需要對這一條件進行分類討論,然后逐一解決.常見的分類討論有概念的分類、解題方法的分類和圖形位置關系的分類等.1.點A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,點C不與A,B重合,則∠ACB的度數為 ()A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130°2.[2018·山西權威預測]已知一等腰三角形的兩邊長x,y滿足方程2x-y=3A.5 B.4 C.3 D.53.[2018·棗莊]如圖F2-1是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連結PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P有 ()圖F2-1A.2個 B.3個 C.4個 D.5個4.[2018·鄂州]如圖F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,動點P在邊BC上從點B向點C運動,速度為1cm/s,同時動點Q從點C出發(fā),沿折線C→D→A運動,速度為2cm/s.當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.設點P運動時間為t(s),△BPQ的面積為S(cm2),則描述S(cm2圖F2-2圖F2-35.[2018·聊城]如果一個正方形被截掉一個角后,得到一個多邊形,那么這個多邊形的內角和是.

6.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為.

7.如圖F2-4,已知點A(1,2)是反比例函數y=kx圖象上的一點,連結AO并延長交雙曲線的另一分支于點B,點P是x軸上一動點,若△PAB是等腰三角形,則點P的坐標是圖F2-48.[2017·齊齊哈爾]如圖F2-5,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是.

圖F2-59.[2017·義烏]如圖F2-6,∠AOB=45°,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構成等腰三角形的點P恰好有3個,則x的值是.

圖F2-6

參考答案1.D2.A[解析]解方程組得x=2,y=1,當2作為腰長時,等腰三角形的周長為5;當1作為腰長時,因為1+1=2,3.B[解析]如下圖,設每個小矩形的長與寬分別為x,y,則有2x=x+2y,從而x=2y.因為線段AB是長與寬為2∶1的矩形對角線,所以根據網格作垂線可知,過點B與AB垂直且相等的線段有BP1和BP2,過點A與AB垂直且相等的線段有AP3,且P1,P2,P3都在頂點上,因此滿足題意的點P共有3個.故選B.4.A[解析]由題意可知,0≤t≤4,當0≤t<2時,如下圖,S=12BP·CQ=12t·2t=t當t=2時,如下圖,點Q與點D重合,則BP=2,CQ=4,故S=12BP·CQ=12×2×4當2<t≤6時,如下圖,點Q在AD上運動,S=12BP·CD=12t·4=故選A.5.180°或360°或540°[解析]如圖,一個正方形被截掉一個角后,可能得到如下的多邊形:∴這個多邊形的內角和是180°或360°或540°.6.3或65[解析]由題意知,點P在線段BD上.(1)如圖,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,故點P為BD的中點,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC=(2)如圖,若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=1綜上所述,PE的長為3或657.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或413或273[解析]在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底邊BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=12BC=12×12=6,∴AD=10∴用這兩個三角形拼成平行四邊形,可以分三種情況:(1)按照如圖的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是10.(2)按照如圖的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是82+122(3)按照如圖的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是62+162綜上所述,這個平行四邊形較長的對角線的長是10或413或273.9.x=0或x=42-4或4<x<42[解析]根據OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分線,該線與射線OB始終有一個公共點,分別以點M,N為圓心,4為半徑畫圓,觀察兩圓與射線OB的交點情況:(1)當☉N與射線OB沒有公共點,☉M與射線OB有兩個公共點時,滿足題意,如圖①,此時4<x<42.(2)當☉N與射線OB相切,只有一個公共點時,☉M與射線OB也只有一個公共點時,也滿足題意,如圖②,此時x=42-4;(3)當☉N與射線OB有兩個公共點時,此時☉M與射線OB只有一個公共點,因此當☉N與射線OB有兩個公共點時,必須出現不能與點M,N構成三角形的一個點,也能滿足題意,如圖③,此時x=0.方法技巧專題(三)整體思想訓練【方法解讀】整體思想是研究和解決有關數學問題時,通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.1.[2018·樂山]已知實數a,b滿足a+b=2,ab=34,則a-b= (A.1 B.-52 C.±1 D.±2.[2018·瀘州]如圖F3-1,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AB的中點,且AE+EO=4,則?ABCD的周長為()圖F3-1A.20 B.16 C.12 D3.[2018·濟寧]如圖F3-2,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,則∠P的度數是()圖F3-2A.50° B.55° C.60° D.65°4.[2018·襄陽]如圖F3-3,在△ABC中,分別以點A和點C為圓心,大于12AC長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN分別交BC,AC于點D,E.若AE=3cm,△ABD的周長為13cm,則△圖F3-3A.16cm B.19cm5.[2018·岳陽]已知a2+2a=1,則3(a2+2a)+2的值為6.[2018·揚州]若m是方程2x2-3x-1=0的一個根,則6m2-9m7.[2018·成都]x+y=0.2,x+3y=1,則代數式x2+4xy+4y2的值為.

8.[2018·江西]一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1,x2,則x12-4x1+2x1x2的值為9.[2018·黃岡]若a-1a=6,則a2+1a210.計算(1-12-13-14-15)(12+13+14+15+16)-(1-12-13-14-111.先化簡,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-12.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求下列各式的值:(1)a2+b2和ab;(2)a4+b4;(3)1a2+2

參考答案1.C[解析]∵a+b=2,∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,又∵ab=34,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×34=1,∴a-b=±1.故選注:此題把“a+b”,“ab”分別當作整體.2.B[解析]因為?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,所以O為AC的中點.又因為E是AB的中點,所以AE=12AB,EO是△ABC的中位線所以EO=12因為AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO)=8.在?ABCD中,AD=BC,AB=CD,所以周長為2(AB+BC)=2×8=16.故選B.注:此題把“AB+BC”當作整體.3.C[解析]根據五邊形的內角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度數,再根據角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和,進一步求得∠P的度數.∵五邊形的內角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD,∠CDE的平分線在五邊形內相交于點P,∴∠PDC+∠PCD=12(∠BCD+∠CDE)=∴∠P=180°-120°=60°.故選C.注:此題把“∠BCD+∠CDE”當作整體.4.B[解析]由尺規(guī)作圖可知,MN是線段AC的垂直平分線,∴AD=CD,AC=2AE=6(cm),∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm,∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19(cm).故選B.注:此題把“AB+BC”當作整體.5.5[解析]∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=注:此題把“a2+2a”當作整體.6.2018[解析]由題意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=注:此題把“2m2-3m”當作整體.7.0.36[解析]∵x+y=0.2①,x+①+②,得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.注:此題把“x+y”“x+3y”“x+2y”分別當作整體.8.2[解析]∵x2-4x+2=0的兩根為x1,x2,∴x1x2=2,x12-4x1+2=0,即x12-4∴x12-4x1+2x1x2=-2+2×2=9.8[解析]∵a-1a=6,∴原式=a2+1a2-2·a·1a+2·a·1a=(a-1a)2+2=(6)注:此題把“a-1a”當作整體10.16[解析]設12+13+14+15=a,則原式=(1-a)·(a+16)-(1-a-16)=16+56注:此題中的整體是“12+13+14+11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2∵m是方程x2+x-2=0的根,∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,∴原式=2×(2-1)=2.注:此題把“m2+m”當作整體.12.解:(1)依題意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.①-②,得4ab=4,即ab=1.(2)a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=52-2×12=25-2=23.(3)原式=b2+2=a2+b2+4注:此題把“ab”“a2+b2”分別當作整體.方法技巧專題(四)構造法訓練【方法解讀】構造法是一種技巧性很強的解題方法,它能訓練思維的創(chuàng)造性和敏捷性.常見的構造形式有:(1)構造方程;(2)構造函數;(3)構造圖形.1.[2018·自貢]如圖F4-1,若△ABC內接于半徑為R的☉O,且∠A=60°,連結OB,OC,則邊BC的長為 ()圖F4-1A.2R B.32R C.22R D.2.[2018·遵義]如圖F4-2,直角三角形的直角頂點在坐標原點,∠OAB=30°,若點A在反比例函數y=6x(x>0)的圖象上,則經過點B的反比例函數的解析式為 (圖F4-2A.y=-6x B.y=-C.y=-2x D.y=3.設關于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的兩根分別為α,β,且α<β,則α,β滿足 ()A.1<α<β<2 B.1<α<2<βC.α<1<β<2 D.α<1且β>24.如圖F4-3,六邊形ABCDEF的六個內角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,則這個六邊形的周長等于.

圖F4-35.[2018·揚州]如圖F4-4,已知☉O的半徑為2,△ABC內接于☉O,∠ACB=135°,則AB=.

圖F4-46.[2018·濱州]若關于x,y的二元一次方程組3x-my=5,2x+ny=6的解是7.[2018·揚州]問題呈現如圖F4-5①,在邊長為1的正方形網格中,連結格點D,N和E,C,DN和EC相交于點P,求tan∠CPN的值.方法歸納求一個銳角的三角函數值,我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現問題中∠CPN不在直角三角形中,我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題,比如連結格點M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連結DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中.問題解決(1)直接寫出圖①中tan∠CPN的值為;

(2)如圖②,在邊長為1的正方形網格中,AN與CM相交于點P,求cos∠CPN的值.思維拓展(3)如圖③,AB⊥BC,AB=4BC,點M在AB上,且AM=BC,延長CB到點N,使BN=2BC,連結AN交CM的延長線于點P,用上述方法構造網格求∠CPN的度數.圖F4-5

參考答案1.D[解析]如圖,延長CO交☉O于點D,連結BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直徑,∴∠CBD=90°.在Rt△BCD中,sinD=BCCD=BC2R=sin60°∴BC=3R.故選D.注:此題構造了直角三角形.2.C[解析]如圖,過點A作AM⊥x軸于點M,過點B作BN⊥x軸于點N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于BOAO,在Rt△AOB中,∠OAB=所以BOAO=tan30°=33,所以S△因為點A在雙曲線y=6x上所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.即經過點B的反比例函數的解析式為y=-2x.故選C注:此題構造了相似三角形.3.D[解析]一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的兩根實質上是拋物線y=(x-1)(x-2)與直線y=m兩個交點的橫坐標.如圖,顯然α<1且β>2.故選D.注:此題構造了二次函數.4.15[解析]分別將線段AB,CD,EF向兩端延長,延長線構成一個等邊三角形,邊長為8,則EF=2,AF=4,故所求周長=1+3+3+2+2+4=15.注:此題構造了等邊三角形.5.22[解析]如圖,在優(yōu)弧AB上取一點D,連結AD,BD,OA,OB,∵☉O的半徑為2,△ABC內接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=22.故答案為22.注:此題構造了直角三角形.6.a=32,b=-12注:此題構造了一個二元一次方程組.7.[解析](1)根據方法歸納,運用勾股定理分別求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作圖,即可求解;(3)利用網格,構造等腰直角三角形解決問題即可.解:(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10.∵(22)2+(2)2=(10)2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM=DMMN=22∴tan∠CPN=2.(2)如圖,取格點D,連結CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos45°=22(3)構造如圖網格,取格點Q,連結AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.方法技巧專題(五)轉化思想訓練【方法解讀】轉化思想是解決數學問題的根本思想,解數學題的過程其實就是逐漸轉化的過程.常見的轉化方法有:未知向已知轉化,數與形的相互轉化,多元向一元轉化,高次向低次轉化,分散向集中轉化,不規(guī)則向規(guī)則轉化,生活問題向數學問題轉化等等.1.[2018·銅仁]計算12+16+112+120+130+…+A.1100 B.99100 C.199 2.[2018·嘉興]歐幾里得的《原本》記載形如x2+ax=b2的方程的圖解法:畫Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a2,AC=b,再在斜邊AB上截取BD=a2,則該方程的一個正根是 (圖F5-1A.AC的長 B.AD的長C.BC的長 D.CD的長3.[2018·東營]如圖F5-2,圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現在有一只螞蟻想從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食,則它爬行的最短距離是 ()圖F5-2A.31+π B.32C.34+π22 4.[2018·白銀]如圖F5-3是一個運算程序的示意圖,若開始輸入的x的值為625,則第2018次輸出的結果為.

圖F5-35.[2018·廣東]如圖F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E,連結BD,則陰影部分的面積為.(結果保留π)

圖F5-46.[2018·淄博]如圖F5-5,P為等邊三角形ABC內的一點,且點P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為.

圖F5-57.如圖F5-6①,點O是正方形ABCD兩條對角線的交點.分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE為鄰邊作正方形OEFG,連結AG,DE.(1)求證:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如圖②.①在旋轉過程中,當∠OAG'是直角時,求α的度數;②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中,求AF'長的最大值和此時α的度數,直接寫出結果,不必說明理由.圖F5-6

參考答案1.B[解析]∵12=11×2=1-12,16=12×3=12-13,112=13×4=13-14,120=14×5=14-15,130=∴12+16+112+120+130+…+19900=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16+2.B[解析]利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+a22=b2+a24,解得x=b2+a24-a2或x=-根據勾股定理得AB=b2+a24根據圖形知道AD=AB-BD,即AD的長是方程的一個正根.故選B.3.C[解析]將圓柱沿AB側面展開,得到矩形,如圖,則有AB=3,BC=3π2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=AB2+BC2=4.1[解析]當x=625時,代入15x得15x=15×625=當x=125時,代入15x得15x=15×125=當x=25時,代入15x得15x=15×25=當x=5時,代入15x得15x=15×5=當x=1時,代入x+4得x+4=5,輸出5;當x=5時,代入15x得15x=15×5=…觀察發(fā)現從第4次以后奇數次就輸出5,偶數次就輸出1.因此,第2018次輸出的應是1.5.π[解析]連結OE,易證四邊形ABEO為正方形,則扇形OED的圓心角為90°,半徑為2,因此可求扇形OED的面積,陰影面積看成正方形ABEO的面積+扇形OED的面積-△ABD的面積,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面積均可求,即可求得陰影部分的面積.6.9+2534[解析]如圖,將△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△AHC,連結PH,作AI⊥CH交CH的延長線于點I,易知△APH為等邊三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=32,HI=323,∴CI=∴AC2=322+323+42=25+123,∴S△ABC=34AC2=34(25+123)=9+7.解:(1)證明:如圖,延長ED交AG于點H.∵點O為正方形ABCD對角線的交點,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四邊形OEFG為正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋轉過程中,∠OAG'成為直角有以下兩種情況:(i)α由0°增大到90°的過程中,當∠OAG'為直角時,∵OA=OD=12OG=12∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O=OAOG'=∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的過程中,當∠OAG'為直角時,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.綜上,當∠OAG'為直角時,α=30°或150°.②AF'長的最大值是2+22,此時α=315°理由:當AF'的長最大時,點F'在直線AC上,如圖所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=2,AO=OD=22∴OE'=E'F'=2OD=2.∴OF'=(2)2∴AF'=AO+OF'=22+2∵∠DOG'=45°,∴旋轉角α=360°-45°=315°.方法技巧專題(六)中點聯想訓練【方法解讀】1.與中點有關的定理:(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(2)等腰三角形“三線合一”的性質.(3)三角形的中位線定理.(4)垂徑定理及其推論.2.與中點有關的輔助線:(1)構造三角形的中位線,如連結三角形兩邊的中點;取一邊的中點,然后與另一邊的中點相連結;過三角形一邊的中點作另一邊的平行線等等.(2)延長角平分線的垂線,構造等腰三角形,利用等腰三角形的“三線合一”.(3)把三角形的中線延長一倍,構造平行四邊形.1.[2018·南充]如圖F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分別為AB,AC,AD的中點,若BC=2,則EF的長度為()圖F6-1A.12 B.1 C.322.[2017·株洲]如圖F6-2,點E,F,G,H分別為四邊形ABCD四條邊AB,BC,CD,DA的中點,則下列關于四邊形EFGH的說法正確的是()圖F6-2A.一定不是平行四邊形B.一定不會是中心對稱圖形C.可能是軸對稱圖形D.當AC=BD時,它為矩形3.[2018·荊門]如圖F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜邊AB的長為2,O為AB的中點,P為AC邊上的動點,OQ⊥OP交BC于點Q,M為PQ的中點,當點P從點A運動到點C時,點M所經過的路線長為 ()圖F6-3A.24π B.22π C.1 D4.如圖F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是 ()圖F6-4A.2.5 B.5 C.5.[2018·眉山]如圖F6-5,在?ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于點E,F為DC的中點,連結EF,BF,下列結論:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四邊形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正確的結論有 ()圖F6-5A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.[2018·蘇州]如圖F6-6,在△ABC中,延長BC至點D,使得CD=12BC.過AC的中點E作EF∥CD(點F位于點E右側),且EF=2CD.連結DF,若AB=8,則DF的長為圖F6-67.[2018·天津]如圖F6-7,在邊長為4的等邊三角形ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EF⊥AC于點F,G為EF的中點,連結DG,則DG的長為.

圖F6-78.[2018·哈爾濱]如圖F6-8,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=OB,點E,F分別是OA,OD的中點,連結EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于點M,EM交BD于點N,FN=10,則線段BC的長為.

圖F6-89.[2018·德陽]如圖F6-9,點D為△ABC的AB邊上的中點,點E為AD的中點,△ADC為正三角形,給出下列結論,①CB=2CE,②tanB=34,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,點P是AB上一動點,點P到AC,BC邊的距離分別為d1,d2,則d12+d22的最小值是3.其中正確的結論是圖F6-910.[2017·徐州]如圖F6-10,在平行四邊形ABCD中,點O是邊BC的中點,連結DO并延長,交AB的延長線于點E.連結BD,EC.(1)求證:四邊形BECD是平行四邊形;(2)若∠A=50°,則當∠BOD=°時,四邊形BECD是矩形.

圖F6-1011.[2017·成都]如圖F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點D,交CA的延長線于點E,過點D作DH⊥AC于點H,連結DE交線段OA于點F.(1)求證:DH是☉O的切線;(2)若A為EH的中點,求EFFD的值(3)若EA=EF=1,求☉O的半徑.圖F6-1112.[2018·淄博](1)操作發(fā)現:如圖F6-12①,小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外側分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點M,N,G,連結GM,GN,小明發(fā)現:線段GM與GN的數量關系是;位置關系是.

(2)類比思考:如圖②,小明在此基礎上進行了深入思考,把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中AB>AC,其他條件不變,小明發(fā)現上述的結論還成立嗎?請說明理由.(3)深入探究:如圖③,小明在(2)的基礎上,又作了進一步的探究,向△ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變,試判斷△GMN的形狀,并給予證明.圖F6-12

參考答案1.B[解析]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=12AB,∴CD=12×4=2.∵E,F分別為AC,AD的中點,∴EF=12CD=12×2=12.C3.C[解析]如圖,連結OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中點,∴OM=12∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=12PQ,∴OM=CM∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分線上.∵當點P在A點時,點M為AC的中點,當點P在C點時,點M為BC的中點,∴點M所經過的路線長為12AB=1.故選C4.B5.D[解析]如圖①,連結AF并延長與BC的延長線相交于點M,易證△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正確.如圖②,延長EF,BC相交于點G.易得△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得EF=BF,故②正確.如圖②,由于BF是△BEG的中線,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四邊形DEBC,∴S四邊形DEBC=2S△EFB,故③正確.如圖②,設∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD,F為CD的中點,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正確.故選D.6.4[解析]解此題時可取AB的中點,然后再利用三角形的中位線和平行四邊形的判定和性質.取AB的中點M,連結ME,則ME∥BC,ME=12∵EF∥CD,∴M,E,F三點共線,∵EF=2CD,CD=12BC,∴MF=BD∴四邊形MBDF是平行四邊形,∴DF=BM=12AB=12×8=7.192[解析]如圖,連結∵D,E分別為AB,BC的中點,∴DE∥AC,DE=12AC=2,EC=2∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,∴△DEG為直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=3.∵G為EF的中點,∴EG=32在Rt△DEG中,DE=2,EG=32由勾股定理,得DG=DE2+故答案為1928.42[解析]如圖,連結BE,由E,F分別為OA,OD的中點可知EF=12AD,EF∥AD,易證△BEC是等腰直角三角形,EM三線合一,可證得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=10,tan∠NBM=12,就能求出BM=22,所以BC=49.①③④[解析]由題意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正確;∵∠B=30°,∴tanB=33,故②錯誤在正△ACD中,CE是△ACD的中線,∴∠ECD=12∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正確如題圖,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,d12+d22=MN2.∵∠ACB=∠∴四邊形MPNC為矩形,∴MN=CP.要使d12+d22最小,只需MN最小,即PC最小,當CP⊥AB時,即P與E重合時,d在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,∴CE=AC·cos30°=3,則CE2=3,∴d12+d22的最小值為3,故正確的有①③④.10.解:(1)證明:∵平行四邊形ABCD,∴AE∥DC,∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.∵點O是邊BC的中點,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四邊形BECD是平行四邊形.(2)100°提示:若四邊形BECD為矩形,則BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.∵∠A=50°,根據等腰三角形的性質,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.11.解:(1)證明:連結OD,如圖.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是☉O的切線.(2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴△EDC是等腰三角形.又∵DH⊥AC,點A是EH中點,∴設AE=x,則EC=4x,AC=3x.連結AD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中點,∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥AC,OD=12AC=32x,∴∠E=在△AEF和△ODF中,∠∴△AEF∽△ODF,∴EFFD=AE∵AEOD=x32x=23,(3)設☉O的半徑為r,即OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1.∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD=1+r,∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在△BFD與△EFA中,∠∴△BFD∽△EFA,∴EFFA=BF∴1r-1解得r1=1+52,r2=1-5∴☉O的半徑為1+512.[解析](1)通過觀察可得兩條線段的關系是垂直且相等;(2)連結BE,CD,可得△ACD≌△AEB,從而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位線得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,從而得到MG和GN的關系;(3)連結BE,CD,仿照(2)依然可得相同的結論.解:(1)操作發(fā)現:線段GM與GN的數量關系為GM=GN;位置關系為GM⊥GN.(2)類比思考:上述結論仍然成立.理由如下:如圖①,連結CD,BE相交于點O,BE交AC于點F.①∵點M,G分別是BD,BC的中點,∴MG∥CD,MG=12同理可得NG∥BE,NG=12∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.證明如下:如圖②,連結BE,CD,CE與GM相交于點H.②∵點M,G分別是BD,BC的中點,∴MG∥CD,MG=12同理NG∥BE,NG=12BE∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.方法技巧專題(七)角平分線訓練【方法解讀】1.與角平分線有關的判定和性質:(1)角平分線的判定和性質.(2)角平分線的夾角:①三角形兩內角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的和;②三角形兩外角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的差;③三角形一內角與另一外角的平分線的夾角等于第三角的一半.(3)三角形的內心及其性質.(4)圓中弧、圓心角、圓周角之間的關系.2.與角平分線有關的圖形或輔助線:(1)角平分線“加”平行線構成等腰三角形.(2)角平分線“加”垂線構成等腰三角形.(3)過角平分線上的點作邊的垂線.1.[2018·黑龍江]如圖F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中點,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,則∠MAB的度數是 ()圖F7-1A.30° B.35°C.45° D.60°2.[2018·陜西]如圖F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為 ()圖F7-2A.432 B.22C.832 D.33.[2018·達州]如圖F7-3,△ABC的周長為19,點D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為M.若BC=7,則MN的長為 ()圖F7-3A.32 B.C.52 D.4.如圖F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分線分別交AD,AC于點E,F,則BFEF的值是 (圖F7-4A.2-1 B.2+2C.2+1 D.25.[2017·濱州]如圖F7-5,點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點,且∠MPN與∠AOB互補.若∠MPN在繞點P旋轉的過程中,其兩邊分別與OA,OB相交于M,N兩點,則以下結論:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4)MN的長不變.其中正確的個數為 ()圖F7-5A.4 B.3 C.2 D6.[2016·寧夏]如圖F7-6,在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線AE交BC于點E,且BE=3,若平行四邊形ABCD的周長是16,則EC等于.

圖F7-67.[2017·十堰]如圖F7-7,△ABC內接于☉O,∠ACB=90°,∠ACB的平分線交☉O于點D,若AC=6,BD=52,則BC的長為.

圖F7-78.如圖F7-8,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線BE與AD交于點E,∠BED的平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC,則BC=.(結果保留根號)

圖F7-89.如圖F7-9,已知☉O的直徑AB=5,AC,AE為弦,且AC=4,AC平分∠BAE,求AE的長.圖F7-910.[2017·鹽城]如圖F7-10,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分線BE,DF分別交邊AD,BC于點E,F.(1)求證:四邊形BEDF為平行四邊形.(2)當∠ABE為多少度時,四邊形BEDF是菱形?請說明理由.圖F7-1011.[2017·臨沂]如圖F7-11,∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,∠ABC的平分線交AD于點E.(1)求證:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圓的半徑.圖F7-1112.如圖F7-12,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點E,F,G,連結ED,DG.(1)請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=210,點H是BD上的一個動點,求HG+HC的最小值.圖F7-12

參考答案1.B2.C[解析]∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE=12∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°,∴AE=BE=2DE,∴AE=23在Rt△ACD中,sinC=ADAC∴AD=ACsinC=8×22=42∴AE=23×42=8故選C.3.C[解析]∵△ABC的周長為19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,∴BA=BE,N是AE的中點.∵∠ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,∴AC=DC,M是AD的中點,∴DE=AB+AC-BC=5.∵MN是△ADE的中位線,∴MN=12DE=52.故選4.C[解析]如圖,過點F作FG⊥AD于點G.依題意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.設FG=1,則AG=1,AF=2.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF=2,∴EG=2-1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴BFEF=AGEG=12-1=2+5.B[解析]結論(1),如圖,過點P分別作OA,OB的垂線段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB與∠EPF互補,由已知“∠MPN與∠AOB互補”,可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根據“角平分線上一點到角兩邊距離相等”,可證PE=PF,即可證得Rt△PME≌Rt△PNF,因此對于結論(1),“PM=PN”由全等即可證得是成立的;結論(2),也可以由全等得到ME=NF,即可證得OM+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不變,因此OM+ON的值也保持不變;結論(3),由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得這兩個三角形的面積相等,因此四邊形PMON的面積與四邊形PEOF的面積始終相等,因此結論(3)是正確的;結論(4),如圖,連結EF,對于△PMN與△PEF,這兩個三角形都是等腰三角形,且頂角相等,但由于腰長不等,因此這兩個三角形不可能全等,所以底邊MN與EF不可能相等.所以MN的長是變化的.故選B.6.27.8[解析]連結DA,因為∠ACB=90°,所以AB為☉O的直徑,所以∠ADB=90°.因為CD平分∠ACB,所以BD=AD.在△ABD中,AB=AD2+BD2=(52)2+(52)8.62+3[解析]如圖,延長EF和BC,交于點G.矩形ABCD中,∠ABC的平分線BE與AD交于點E,所以∠ABE=∠GBE=45°,所以在Rt△ABE中,∠ABE=∠AEB=45°,所以AB=AE=9.在Rt△ABE中,根據勾股定理,得BE=AB2+AE2=92+92=92.又因為∠BED的平分線EF與DC相交于點F,所以∠BEG=∠DEF.因為AD∥BC,所以∠G=∠DEF,所以∠BEG=∠G,所以BG=BE=92.由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,所以CGDE=CFDF=CF2CF=12.設CG=x,DE=2x,則AD=9+2x=BC.因為BG=BC+CG,所以92=9+2x+x,解得x=32-3,所以BC=99.解:如圖,連結BC,BE,OC,OC交BE于點G.因為∠BAE=2∠BAC=∠BOC,且∠BAE+∠ABE=90°,所以∠OGB=90°,即OC⊥BE,所以BG=EG,AE=2OG.設OG=x,則CG=52-x,BC=3,由勾股定理可得OB2-OG2=BC2-CG2,即254-x2=9-52-x2,解得x=710,故AE=2x=10.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD=12∠ABD,∠FDB=12∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四邊形BEDF是平行四邊形.(2)當∠ABE=30°時,四邊形BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.∵四邊形BEDF是平行四邊形,∴四邊形BEDF是菱形.11.解:(1)證明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴DE=BD.(2)如圖,連結CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直徑,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC=BD2+C∴△ABC外接圓的半徑為22.12.解:(1)四邊形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB.∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.在△EFD和△GFB中,∠∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四邊形EBGD是菱形.(2)如圖,分別過點E,D作EM⊥BC于點M,DN⊥BC于點N,連結EC交BD于點H,此時HG+HC最小,在Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=210,∴EM=12BE=10∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN=10,MN=DE=210.在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC=10,∴MC=310.在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=10,MC=310,∴EC=EM

2+MC

∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值為10.方法技巧專題(八)面積訓練【方法解讀】1.面積公式:(1)三角形的面積=12×底×高=12×周長×內切圓的半徑;(2)矩形的面積=長×寬;(3)平行四邊形的面積=底×高;(4)菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半;(5)正方形的面積等于邊長的平方;(6)梯形的面積=12×(上底+下底)×高;(7)圓的面積=πR2;(8)扇形的面積=nπR2360=12lR;(9)2.面積的計算技巧:(1)利用“等底等高等積”進行轉化;(2)用兩種不同的方法分割同一整體;(3)“割補法”;(4)平移變換;(5)旋轉變換等.1.[2018·德陽]如圖F8-1,將邊長為3的正方形繞點B逆時針旋轉30°,那么圖中陰影部分的面積為 ()圖F8-1A.3 B.3C.3-3 D.3-32.[2018·海南]如圖F8-2,分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC,EG剪開,拼成如圖F8-2的?KLMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形,且?KLMN的面積為50,則正方形EFGH的面積為 ()圖F8-2A.24 B.25 C.26 D.273.[2018·威海]如圖F8-3,正方形ABCD中,AB=12,點E為BC的中點,以CD為直徑作半圓CFD,點F為半圓的中點,連結AF,EF,圖中陰影部分的面積是 ()圖F8-3A.18+36π B.24+18πC.18+18π D.12+18π4.如圖F8-4,正方形ABCD的邊長為2,H在CD的延長線上,四邊形CEFH也為正方形,則△DBF的面積為 ()圖F8-4A.4 B.2 C.22 D.25.[2017·烏魯木齊]如圖F8-5,在矩形ABCD中,點F在AD上,點E在BC上,把這個矩形沿EF折疊后,使點D恰好落在BC邊上的G點處.若矩形面積為43且∠AFG=60°,GE=2BG,則折痕EF的長為 ()圖F8-5A.1 B.3 C.2 D.236.[2018·廣安]如圖F8-6,已知☉O的半徑是2,點A,B,C在☉O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分的面積為()圖F8-6A.23π-23 B.23πC.43π-23 D.43π7.如圖F8-7,點C在線段AB上,若△CDB和△ADE分別是邊長為2和3的等邊三角形,則△ABE的面積是.

圖F8-78.[2018·河南]如圖F8-8,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B'C',其中點B的運動路徑為弧BB',則圖中陰影部分的面積為.

圖F8-89.設△ABC的面積為1,如圖F8-9①,將邊BC,AC分別2等分,BE1,AD1相交于點O,△AOB的面積記為S1;如圖F8-9②,將邊BC,AC分別3等分,BE1,AD1相交于點O,△AOB的面積記為S2;…,依此類推,則Sn可表示為.(用含n的代數式表示,其中n為正整數)

圖F8-910.[2018·揚州]如圖F8-10,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于點O,OE⊥AB于點E,以點O為圓心,OE為半徑作半圓,交AO于點F.(1)求證:AC是☉O的切線;(2)若點F是AO的中點,OE=3,求圖中陰影部分的面積;(3)在(2)的條件下,點P是BC邊上的動點,當PE+PF取最小值時,直接寫出BP的長.圖F8-1011.如圖F8-11,在?ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,點E是邊AB上一點,點F是邊CD上一點,將?ABCD沿EF折疊,得到四邊形EFGH,點A的對應點為點H,點D的對應點為點G.(1)當點H與點C重合時,①填空:點E到CD的距離是;

②求證:△BCE≌△GCF;③求△CEF的面積.(2)當點H落在射線BC上,且CH=1時,直線EH與直線CD交于點M,請直接寫出△MEF的面積.溫馨提示:學生可以根據題意,在備用圖中補充圖形,以便作答.圖F8-11

參考答案1.C[解析]由旋轉可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.∵∠BAM=∠BC'M=90°,且AB=BC',BM=BM,∴Rt△ABM≌Rt△C'BM,∴∠2=∠3=30°.在Rt△ABM中,AB=3,∠2=30°,則AM=ABtan30°=1.∴S△ABM=S△BMC'=32∴S陰影=S正方形A'B'C'D'-(S△ABM+S△BMC')=3-3.故選C.2.B[解析]設長方形紙片長、寬分別為x,y,正方形紙片邊長為z.∵四邊形OPQR是正方形,∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①.∵?KLMN的面積為50,∴xy+z2+(z-y)2=50,把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50.整理,得2z2=50,∴z2=25,∴正方形EFGH的面積=z2=25.故選B.3.C[解析]如圖,過點F作FH⊥BC,交BC延長線于點H,連結AE.∵點E為BC的中點,點F為半圓的中點,∴BE=CE=CH=FH=12AB=12×12AE=62+122易得Rt△ABE≌△EHF,∴∠AEB=∠EFH,而∠EFH+∠FEH=90°,∴∠AEB+∠FEH=90°,∴∠AEF=90°,∴圖中陰影部分的面積=S正方形ABCD+S半圓-S△ABE-S△AEF=12×12+12×π×62-12×12×6-12×65×65=18故選C.4.D[解析]連結CF,則由正方形的對角線的性質可知BD∥CF,∴S△DBF=S△DBC=12S正方形ABCD=12×22=2.故選5.C[解析]過點G作GM⊥AD,垂足為M.∵GE=2BG,∴設BG=x,GE=2x.∵∠AFG=60°,AD∥BC,∴∠FGE=∠AFG=60°.∵四邊形FDCE折疊得到四邊形FGHE,∴∠GFE=∠DFE=180°-∠AFG2∴△FGE是等邊三角形,∴EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在Rt△FMG中,GM=GFsin∠AFG=3x,FM=GFcos∠AFG=x.易證四邊形ABGM是矩形,∴AM=BG=x,AB=GM=3x,∴AD=AM+FM+DF=4x.∵矩形ABCD的面積為43,∴AD×AB=4x×3x=43,解得x=1,∴EF=2x=2.故選C.6.C[解析]如圖.連結AC,交OB于點D.∵四邊形OABC是菱形,∴AC⊥OB,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO.∵AO=BO,∴AO=BO=AB,∴△ABO是等邊三角形,則∠AOB=60°,同理∠BOC=60°,∴∠AOC=120°.在Rt△ADO中,∵AO=2,DO=1,∴AD=3.可知BO=2,AC=23,∴S扇形AOC=120π×22360=43π,S菱形OABC=12×2×23=23,則陰影部分的面積=S扇形AOC-S菱形OABC=43π-7.58.54π-32[解析]如圖,連結B'D,BD∵∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B'C',∴C'D=CD=1,B'C'=BC=2,∠CDC'=∠C'=∠B'DB=90°,∴B'D=BD=12+22=5,B'C=A'C=12A'B'=2∴S陰影=S扇形BDB'―S△BDB'+S△B'BC=90π·(5)2360―12×5×5=54π-3故答案為54π-39.12n+1[解析]連結D1∵AE1∶AC=1∶(n+1),∴S△ABE1∶S△ABC=1∴S△ABE∵ABD1E1=BOOE1=∴S△ABO∶S△ABE1=(n+1)∴S△ABO∶1n+1=(n+1)∶(2∴S△ABO=12n+1.10.解:(1)證明:作OH⊥AC于點H,如圖.∵AB=AC,AO⊥BC于點O,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切線.(2)∵點F是AO的中點,∴AO=2OF=6.而OE=3,∠AEO=90°,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=3OE=33.∴圖中陰影部分的面積=S△AOE-S扇形EOF=12×3×33-60·π(3)3.提示:作點F關于BC的對稱點F',連結EF'交BC于點P,如圖.∵PF=PF',∴PE+PF=PE+PF'=EF',此時EP+FP最小.∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=33,即PE+PF的最小值為33.在Rt△OPF'中,OP=33OF'=3在Rt△ABO中,OB=33OA=33×6=2∴BP=23-3=3,即當PE+PF取最小值時,BP的長為3.11.解:(1)①23②證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,∠D=∠B,∠A=∠BCD.由折疊可知,AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG,∴BC=GC,∠B=∠G,∠BCD=∠ECG,∴∠BCE=∠GCF,∴△BCE≌△GCF.③如圖,過點E作EP⊥BC于點P.∵∠B=60°,∠EPB=90°,∴∠BEP=30°,∴BE=2BP.可設BP=m,則BE=2m,∴EP=BE·sin60°=2m×32=3由折疊可知,AE=CE,∵AB=6,∴AE=CE=6-2m.∵BC=4,∴PC=4-m.在Rt△ECP中,由勾股定理,得(4-m)2+(3m)2=(6-2m)2,∴m=54,∴EC=6-2m=6-2×54=∵△BCE≌△GCF,∴CF=EC=72,S△CEF=12×72×23(2)124335或4方法技巧專題(九)角的存在性問題1.[2018·樂山]如圖F9-1,曲線C2是雙曲線C1:y=6x(x>0)繞原點O逆時針旋轉45°得到的圖形,P是曲線C2上任意一點,點A在直線l:y=x上,且PA=PO,則△POA的面積等于 (圖F9-1A.6 B.6 C.3 D2.[2018·宿遷]如圖F9-2,在平面直角坐標系中,反比例函數y=2x(x>0)的圖象與正比例函數y=kx,y=1kx(k>1)的圖象分別交于點A,B.若∠AOB=45°,則△AOB的面積是圖F9-23.如圖F9-3,在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,0),B(0,2),點C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y軸于點D,CD=3AD,反比例函數y=kx的圖象經過點C,則k的值為圖F9-34.如圖F9-4,點P是正方形ABCD內一點,點P到點A,B和D的距離分別為1,22,10.△ADP沿點A旋轉至△ABP',連結PP',并延長AP與BC相交于點Q.(1)求證:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的長.圖F9-45.如圖F9-5,拋物線y=ax2+bx-4a經過A(-1,0),C(0,4)兩點,與x(1)求拋物線的解析式;(2)已知點D(m,m+1)在第一象限的拋物線上,求點D關于直線BC對稱的點的坐標;(3)在(2)的條件下,連結BD,點P為拋物線上一點,且∠DBP=45°,求點P的坐標.圖F9-56.如圖F9-6,在平面直角坐標系xOy中,頂點為M的拋物線是由拋物線y=x2-3向右平移一個單位后得到的,它與y軸負半軸交于點A,點B在該拋物線上,且橫坐標為3.(1)求點M,A,B的坐標;(2)連結AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)點P是頂點為M的拋物線上一點,且位于對稱軸的右側,設PO與x軸正半軸的夾角為α,當α=∠ABM時,求點P的坐標.圖F9-67.如圖F9-7,拋物線y=-x2+bx+c與直線y=12x+2交于C,D兩點,其中點C在y軸上,點D的坐標為(3,72).點P是y軸右側的拋物線上一動點,過點P作PE⊥x軸于點E,交CD(1)求拋物線的解析式;(2)若存在點P,使∠PCF=45°,求點P的坐標.圖F9-78.[2018·萊蕪]如圖F9-8,拋物線y=ax2+bx+c經過A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三點,D為直線BC上方拋物線上一動點,DE⊥BC于點E.(1)求拋物線的函數表達式.(2)如圖①,求線段DE長度的最大值.(3)如圖②,設AB的中點為F,連結CD,CF,是否存在點D,使得△CDE中有一個角與∠CFO相等?若存在,求點D的橫坐標;若不存在,請說明理由.圖F9-8

參考答案1.B[解析]如圖,將點P繞點O順時針旋轉45°,得到點P的對應點P',∵曲線C2是雙曲線C1:y=6x(x>0)繞原點O逆時針旋轉45°得到的圖形∴點P'在雙曲線y=6x上,且OP=OP'過點P'作P'M⊥y軸于點M,過點P作PH⊥OA于點H.∴△OP'M的面積=12|k|=3∵PA=PO,∴OH=AH.又∵點A在直線l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨設∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面積=△OP'M的面積=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面積為6.故選B.2.2[解析]如圖,過點O作OC⊥AB,垂足為C,過點A作AM⊥y軸,垂足為M,過點B作BN⊥x軸,垂足為N.設點A的橫坐標為a,則點A的縱坐標為2a∵點A在正比例函數y=kx的圖象上,∴2a=ka,k=2a2.∴OB所在直線的解析式為令a22x=2x,得x=2a,此時y=a.∴點B的坐標為(2∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)證明:∵△ABP'是由△ADP順時針旋轉90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=2.又∵BP'=DP=10,BP=22,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)過點B作BE⊥AQ于點E,則△PBE為等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB=AE2+BE2=∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴AEAB=ABAQ,即313=13AQ,∴BQ=AQ2-∴CQ=BC-BQ=1335.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-4a經過A(-1,0),C(0,4)∴a解得a∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.(2)∵點D(m,m+1)在拋物線上,∴m+