第一章優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型

第一章優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三引言人類在社會生產(chǎn)活動中，為了實現(xiàn)活動目標(biāo)，取得效益，總要付出一定的代價。有效益，有代價，就要進(jìn)行比較。要比較，就要對效益好壞進(jìn)行評價。如何從若干行動方案中，選擇一個最優(yōu)方案，以取得較大的效益，解決這一問題的鑰匙就是優(yōu)化技術(shù)。第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三怎樣烙才能讓客人盡快吃上餅?zāi)?？家里來客人?媽媽準(zhǔn)備烙餅招待客人。原則：烙每張餅正反面各需三分鐘最多同時烙兩張餅需烙三張餅第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三烙一張需要3×2=6分鐘，那烙3張需要18分鐘。一張一張的烙太浪費時間了！可以先烙兩張，再烙第三張。這樣比較省時間，只需要6+6=12分鐘。那還有沒有更合理的方法呢？第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

哇塞！原來這才是最簡單的方法，只需要3+3+3=9分鐘。123第一張正反第二張正反第三張正反第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

一邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長都是x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,x多大時,方盒的容積V最大?xa第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三優(yōu)化技術(shù)優(yōu)化技術(shù)：采用數(shù)學(xué)方法，針對研究對象，進(jìn)行系統(tǒng)分析，在若干可行方案中尋求最優(yōu)解，得到最佳方案，從而提高經(jīng)濟(jì)效益和社會效益。第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三汽車運(yùn)用優(yōu)化技術(shù)以數(shù)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)為理論基礎(chǔ)，以汽車運(yùn)用為研究對象，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，解決汽車運(yùn)用工程領(lǐng)域中的諸多優(yōu)化問題，以提高汽車運(yùn)用的綜合效益。

汽車的選型與匹配問題設(shè)計與試驗方案的選擇問題汽車運(yùn)輸行駛路線的優(yōu)化問題汽車維修工藝路線的確定問題汽車維修設(shè)施數(shù)量的確定和布局問題維修配件的合理訂購批量問題汽車的最佳更新周期的確定與社會效益的選擇問題舉例說明第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三汽車運(yùn)用優(yōu)化技術(shù)第一章優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型第二章汽車選型、設(shè)計、試驗優(yōu)化第三章汽車使用維修優(yōu)化第四章汽車更新優(yōu)化第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一章優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類一、模型及其分類二、數(shù)學(xué)模型及其分類第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立一、建立數(shù)學(xué)模型的一般要求二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法四、建模能力的培養(yǎng)第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類日常生活中經(jīng)常會遇到或用到模型，如飛機(jī)模型、坦克模型、樓群模型等各種實物模型，也有用文字、符號、圖表、公式等描述客觀事物的某些特征和內(nèi)在聯(lián)系的模型，如數(shù)據(jù)庫的關(guān)系模型、網(wǎng)絡(luò)的六層次模型、以及我們即將要介紹的數(shù)學(xué)模型等抽象模型．（用圖形表示）

一、模型及其分類第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類實體：一切客觀存在的事物及其運(yùn)動形態(tài)模型：對實體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或者抽象。模型的基本要求：目的性、清晰性準(zhǔn)確性、經(jīng)濟(jì)性一、模型及其分類舉例說明第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類按表達(dá)形式，模型可分為：實體模型符號模型實體模型：實物模型（汽車模型）模擬模型（電路圖）符號模型：數(shù)學(xué)模型、結(jié)構(gòu)模型仿真模型、符號模型

一、模型及其分類第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類

數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字、及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式、不等式、圖表、圖形以及框圖等描述客觀事物特征及內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是客觀事物的抽象與簡化。二、數(shù)學(xué)模型及其分類數(shù)學(xué)模型的定義第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類二、數(shù)學(xué)模型及其分類數(shù)學(xué)模型的分類分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別數(shù)學(xué)模型的功能定量的數(shù)學(xué)模型、定性的數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型的目的理論研究用的數(shù)學(xué)模型、預(yù)期結(jié)果用的數(shù)學(xué)模型、優(yōu)化用的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型變量間的關(guān)系代數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型、幾何關(guān)系的數(shù)學(xué)模型、積分關(guān)系的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的研究對象人口模型、交通模型、經(jīng)濟(jì)模型、基因模型等第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)數(shù)學(xué)模型的概念和分類二、數(shù)學(xué)模型及其分類優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的分類分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別函數(shù)類型線性最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、非線性最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型有無約束條件無約束最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、有約束最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型目標(biāo)的個數(shù)單目標(biāo)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、多目標(biāo)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型涉及的階段時期靜態(tài)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、動態(tài)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立一、建立數(shù)學(xué)模型的一般要求要有明確的目標(biāo)模型必須精確可靠必須有嚴(yán)格的概念和邏輯關(guān)系模型要簡單適用第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析與檢驗?zāi)Ｐ褪褂玫?8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型準(zhǔn)備在建模前，應(yīng)對實際問題的歷史背景和內(nèi)在機(jī)理有深刻的了解，必須對該問題進(jìn)行全面的、深入細(xì)致的調(diào)查研究。首先要明確所解決問題的目的要求，并著手收集數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)是為建立模型而收集的，因此，如果在調(diào)查研究時對建立什么樣的模型有所考慮的話，那么就可以按模型需要，更有目的地、更合理地來收集有關(guān)數(shù)據(jù)。第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型假設(shè)現(xiàn)實問題錯綜復(fù)雜，常常涉及面極廣。要想建立一個數(shù)學(xué)模型來面面俱到、無所不包地反映現(xiàn)實問題是不可能的，也是沒有必要的。一個模型，只要它能反映我們所需要的某一個側(cè)面就夠了，建模前應(yīng)先將問題理想化、簡單化，即首先抓住主要因素，忽略次要因素，在相對簡單的情況下，理清變量間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。為此對所給問題作出必要且合理的假設(shè)，是建立模型的關(guān)鍵。第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型建立分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量間的關(guān)系；建模要有較嚴(yán)密的推理；建模要足夠的精度第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型求解不同的模型要用到不同的數(shù)學(xué)工具才能求解。由于計算機(jī)的廣泛使用，利用已有的許多計算機(jī)軟件為求解各種不同的數(shù)學(xué)模型帶來了方便。其中著名的有Mathematica、Matlab、MathCAD等。掌握了它們，將會使你解決問題事半功倍。

第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型分析對模型求出的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有助于對實際問題的解決。分析時，有時要根據(jù)問題的要求對變量間的依賴關(guān)系進(jìn)行分析和對解的結(jié)果穩(wěn)定性進(jìn)行分析，有時根據(jù)求出的解對實際問題的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，為決策者提供最優(yōu)決策方案。除此之外，常常還需要進(jìn)行誤差分析，模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析和靈敏度分析等。第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型檢驗要說明一個模型是否反映了客觀實際，也可用已有的數(shù)據(jù)去驗證。如果由模型計算出來的理論數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)比較吻合，則可以認(rèn)為模型是成功的。如果理論數(shù)值與實際數(shù)值差別較大，則模型失敗。如果是部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。修改模型時，對約束條件也要重新考慮，增加、減少或修改約束條件，甚至于修改模型假設(shè)，重新建模。第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立二、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型應(yīng)用非常廣泛，可以說已經(jīng)應(yīng)用到各個領(lǐng)域，而且越來越滲透到社會學(xué)科、生命學(xué)科、環(huán)境學(xué)科等。由于建模是預(yù)測的基礎(chǔ)，而預(yù)測又是決策與控制的前提．因此用數(shù)學(xué)模型對實際工作進(jìn)行指導(dǎo)，可以節(jié)省開支、減少浪費、增加收入。特別是對未來的預(yù)測和估計，對促進(jìn)科學(xué)技術(shù)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展具有更大的意義。第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法1.理論分析法2.模擬法3.類比法第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法理論分析法理論分析是指應(yīng)用自然科學(xué)中已被證明是正確的理論、原理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法問題：配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付存貯費。今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，存貯費每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費用最小。第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法問題分析：若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無存貯費，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，每天費用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，存貯費900+800+…+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，總計9500元，平均每天費用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，存貯費4900+4800+…+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，總計127500元，平均每天費用2550元；尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費和存貯費之間的關(guān)系，使每天的費用最少第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法模型假設(shè)：（1）連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量；（2）產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù)r；（3）每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費C1，每日每件產(chǎn)品存貯費C2；（4）生產(chǎn)能力為無限大（相對于需求量），當(dāng)存貯量降到零時，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來供給需求，即不允許缺貨。第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法模型建立：總費用與變量的關(guān)系總費用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費+存貯費存貯費=存貯單價*存貯量存貯量=？第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法存貯量的計算：設(shè)t時刻的存貯量為q(t)，t=0時生產(chǎn)Q件，存貯量q(0)=Q,q(t)以需求速率r線性遞減，直至q(T)=0，如圖。q(t)=Q-rt，Q=rT。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量q(t)

第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法一個周期內(nèi)存貯量一個周期內(nèi)存貯費一個周期的總費用每天平均費用第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法模型求解用微分法每天平均最小費用經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式(EOQ:EconomicOrderQuantity)第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法結(jié)果分析當(dāng)準(zhǔn)備費c1增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)存貯費c2增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變??；當(dāng)日需求費r增加時，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果符合常識，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2等）憑常識是無法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)化用數(shù)學(xué)模型的建立三、建立數(shù)學(xué)模型的常用方法模擬法有的模型，雖然對其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述和求解過程都相當(dāng)麻煩。如果有另一種系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，而且構(gòu)造出來的模型也類似，就可以把后一種模型看成是原來模型的模擬，可對后一種模型進(jìn)行試驗，并求得其解。第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)優(yōu)