連通空間的教案

連通空間的教案第1頁/共32頁

第四章連通性與道路連通性第2頁/共32頁本章教學(xué)基本要求

掌握拓?fù)淇臻g連通與子空間的連通性的概念,掌握關(guān)于連通性的相關(guān)性質(zhì)和定理,掌握連通性的幾個等價條件;了解連通分支等相關(guān)概念,掌握道理連通性和道路連通分支等概念掌握如何證明一個集合的連通與否；掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃浴⒂邢蘅煞e性、可商性．重點：連通性及連通性的證明難點：用連通性判斷兩個拓?fù)淇臻g不同胚第3頁/共32頁

在實數(shù)空間R中的兩個區(qū)間(0,1)和[1,2)，盡管它們互不相交，但它們的并(0,1)∪[l,2)＝(0,2)卻是一個“整體”；而另外兩個區(qū)間(0,1)和(1,2)，它們的并(0,1)∪(l,2)是明顯的兩個“部分”．產(chǎn)生上述不同情形的原因在于：

對于前一種情形，區(qū)間(0,l)有一個凝聚點1在[1,2)中；而對于后一種情形，兩個區(qū)間中的任何一個都沒有凝聚點在另一個中．§4.1連通空間第4頁/共32頁定義4.1.1設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個子集．如果則稱子集A和B是隔離的．說明定義中的條件等價于和A與B無交,并且其中的任何一個不包含另一個的任何凝聚點．平庸空間中任何兩個非空子集都不是隔離的離散空間中任何兩個無交的子集都是隔離的

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設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．如果X中有兩個非空的隔離子集A和B使得X=A∪B，則稱X是一個不連通空間.否則，則稱X是一個連通空間．

例4.1.1

設(shè)Y=[-1,0)∪(0,1]是實數(shù)空間R的子空間,[-1,0)和(0,1]都是Y中非空的開集,也是Y的一對隔離子集.

它們在Y中,任何一個不包含另一個的凝聚點,所以,Y作為子空間是不連通的.定義4.1.2

第6頁/共32頁定理4.1.1

設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．則下列條件等價：（l）X是一個不連通空間；（2）X中存在著兩個非空的閉子集A和B,使得：成立（3）X中存在著兩個非空的開子集A和B,使得：成立（4）X中存在著一個既開又閉的非空真子集．第7頁/共32頁證明:

條件(l)蘊涵(2),設(shè)(1)成立．

令A(yù)和B是X中的兩個非空的隔離子集使得A∪B＝X.顯然A∩B=Φ.所以:

因此B是X中的一個閉子集；同理A也是一個X中的一個閉子集．

條件(2)蘊涵(3)．如果X的子集A和B滿足條件(2)中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時有:因此A、B也是開集，第8頁/共32頁

條件(3)蘊涵(4)．如果X的子集A和B滿足條件(3)中的要求，所以A、B是開集，則由A和B都是X中的閉集，因此A、B是X中既開又閉的真子集.條件(4)蘊涵(l)．

設(shè)X中有一個既開又閉的非空真子集A,令則A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無交的并,且使得A∪B=X．易見兩個無交的閉子集必定是隔離的,因此(l)成立．第9頁/共32頁

例4.1.2

有理數(shù)集Q作為R的子空間也是不連通的.證明:對任意的集合是Q中既開且閉的非空真子集定理4.1.2實數(shù)空間R是一個連通空間．假設(shè)實數(shù)空間R是不連通空間．則在R中有兩個非空閉集A和B使得任意選取a∈A和b∈B，不失一般性可設(shè)a＜b．令于是和是R中的兩個非空閉集分別包含a和b，第10頁/共32頁容易看出

集合有上界b,所以有上確界,設(shè)為,由于是閉集,所以,并且因此可見.因此,由于是閉集,所以,這于矛盾.

定義4.1.3設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集．如果Y作為X的子空間是一個連通空間，則稱Y是X的一個連通子集；否則，稱Y是X的一個不連通子集．拓?fù)淇臻gX的子集Y是否是連通的和X本身無關(guān)第11頁/共32頁定理4.1.3如果，則Y是X的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y是Z的連通子集．定理4.1.4設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集，則A和B是子空間Y中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集．

因此，Y是X的一個不連通子集，當(dāng)且僅當(dāng)存在Y中的兩個非空隔離子集A和B使得A∪B＝Y(jié)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個非空隔離子集A和B使得A∪B＝Y(jié)．第12頁/共32頁連通性的幾個重要定理設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個連通子集．如果X中有隔離子集A和B使得:則或者.或者.證明如果A和B是X中的隔離子集使得則:這說明A∩Y和B∩Y也是隔離子集．而(A∩Y)∪(B∩Y)＝(A∪B)∩Y＝Y(jié)

因此根據(jù)定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一個是空集．如果A∩Y=Φ,則,

如果B∩Y=Φ,則第13頁/共32頁或者或者設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集，

滿足條件,則Z是X的連通子集．

證明假設(shè)Z是X中的一個不連通子集．則在X中有非空隔離子集A和B使得Z=A∪B.由于,根據(jù)1知:這兩種情形都與假設(shè)矛盾第14頁/共32頁設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個子集族．如果,則是連通的

證明設(shè)A和B是X中的兩個隔離子集，使得,任意選取不失一般性，設(shè)x∈A．對于每一個由于連通,則或者,或者由于,所以,所以:而由,第15頁/共32頁設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個子集．如果對于任意x，y∈Y存在X中的一個連通子集,使得:則Y是X中的一個連通子集．證明如果Y=Φ,顯然是連通的.下設(shè)Y≠Φ,

任意選取a∈Y，因為:并且應(yīng)用定理可見Y是連通的．第16頁/共32頁設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個連通子集．如果X中有隔離子集A和B使得:則或者.或者.上一堂課內(nèi)容回顧設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集，

滿足條件,則Z是X的連通子集．設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個子集族．如果,則是連通的第17頁/共32頁設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個子集．如果對于任意x，y∈Y存在X中的一個連通子集,使得:則Y是X中的一個連通子集．第18頁/共32頁設(shè)f:X→Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射．則f(X)是Y的一個連通子集．證明如果f(X)是Y的一個不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A和B使得f(X)＝A∪B．于是是X的非空子集，并且所以,是X的非空隔離子集．此外，第19頁/共32頁設(shè)是n個連通空間．則積空間也是連通空間．拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)

拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì),所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個拓?fù)淇臻g具有必為任何一個與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì)．事實上，如果拓?fù)淇臻g的某一個性質(zhì)，它是藉助于開集或者藉助于經(jīng)由開集定義的其他概念表達的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．第20頁/共32頁連通性的某些簡單應(yīng)用設(shè)A是實數(shù)空間R的一個子集．A是包含著不少于兩個點的一個連通子集當(dāng)且僅當(dāng)E是一個區(qū)間．

上的子集A稱為是區(qū)間,如果:證明:必要性,設(shè)A是連通的,假如A不是區(qū)間則存在實數(shù)并且:,構(gòu)造則可得到結(jié)論:而都是A的非空開集,因此A不連通,矛盾第21頁/共32頁充分性;設(shè)A是區(qū)間,則A是下列情況之一:其中:a,b分別可以取,由于,而連通,所以連通.令:,則是滿射,從而是連通的,于是是連通的令為:則,是連續(xù)的滿射,所以,連通.第22頁/共32頁設(shè)X是一個連通空間，f:X→R是一個連續(xù)映射．則f(X)是R中的一個區(qū)間．如果x，y∈X，則對于f(x)與f(y)之間的任何一個實數(shù)t存在z∈X,使得f(z)=t．設(shè)X是一個連通空間，f:X→R是一個連續(xù)映射,證明:

設(shè)x，y∈X．如果f(x)＝f(y)，顯然.現(xiàn)在設(shè)f(x)≠f(y)，并且不失一般性，設(shè)f(x)＜f(y),由于f(X)是一個區(qū)間，所以[f(x)，f(y)]f(X)．因此對于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在z∈X,使得f(z)=t.第23頁/共32頁設(shè)f:[a,b]→R是從閉區(qū)間[a,b]到實數(shù)空間R的一個連續(xù)映射．則對于f(a)與f(b)之間的任何一個實數(shù)r，存在z∈[a,b］使得f(z)=r．設(shè)f:[0,1]→[0,1]是一個連續(xù)映射．則存在z∈[0,1]使得f(z)=z若X有一個連通的稠密子集,則X是連通的.如果X有一個連通覆蓋U,并且X中的有一個連通子集A它與U中的每個成員都相交,則X連通請大家來證明!!!第24頁/共32頁若X有一個連通的稠密子集,則X是連通的.

證明:

設(shè),A是連通的,是X的既開且閉的子集.

若,則由于A是稠密的,如果,則有由此,必有,于是從而有既X中既開且閉的子集只有X和必有第25頁/共32頁如果X有一個連通覆蓋U,并且X中的有一個連通子集A它與U中的每個成員都相交,則X連通(1)若,則由,,

證明:

設(shè)是X的既開且閉的子集.由定理知:或者,或者得出:而U

是X的一個覆蓋,即.所以(2)若,,第26頁/共32頁

拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)．因為同胚是連續(xù)的雙射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).拓?fù)涓拍?拓?fù)淇臻g在同胚映射下保持不變的概念拓?fù)湫再|(zhì):拓?fù)淇臻g在同胚映射下保持不變的性質(zhì)關(guān)于連通性的證明和同胚的判斷第27頁/共32頁例4.1.3

證明歐氏平面中的子集

是連通的.證明:

定義映射