華師大版八年級(jí)下矩形菱形與正方形1菱形1菱形的性質(zhì)市賽一等獎(jiǎng)

《菱形》典例精析第二課時(shí)【例1】已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E.求證：∠AFD=∠CBE.【解析】從圖中觀察AB∥CD,容易得到∠AFD=∠CDE；而利用三角形全等，容易得到∠CDE=∠CBE.即可得證.【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）.∴∠CBE=∠CDE.∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE.【點(diǎn)評(píng)】如果直接證明兩個(gè)角相等有困難時(shí)，我們可以利用第三個(gè)角，證明所求證的兩個(gè)角都與第三個(gè)角相等.這也是證明中常用的方法.【例2】如圖，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度數(shù).【解析】由∠B=60°，連結(jié)AC得等邊三角形△ABC和△ACD，從而△ABE≌△ACF,有AE=AF，則△AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可求CEF.【答案】解：連結(jié)AC.在菱形ABCD中，∠B=60°，∴∠BCD=120°，在△ACF和△ABE中，∠ACD=∠ABE=60°，∠CAF=∠BAF-∠BAC=∠BAE+∠EAF-∠BAC=20°+60°-60°=20°=∠BAE，又AB=AC∴△ABE≌△ACF，AE=AF又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∠AEF=60°，∠CEF=∠CEA-∠AEF，∠CEA=∠B+∠BAE=80°.得∠CEF=20.【點(diǎn)評(píng)】菱形的問(wèn)題常通過(guò)連對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決.第二課時(shí)【例1】已知：如圖所示，□ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F.【解析】欲證四邊形AFCE是菱形，已知其對(duì)角線AC⊥EF，故只需證四邊形AFCE是平行四邊形即可，為此需證OE=OF即可，由已知易得△AOE≌△COF得到OE=OF.【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC.∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又EF⊥AC，∴□AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).【點(diǎn)評(píng)】若所證四邊形中有對(duì)角線，我們就可以考慮利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形來(lái)分兩步證明.【例2】先閱讀下面題目及某同學(xué)給出的證明，再根據(jù)要求回答問(wèn)題.已知：如圖，在□ABCD中，∠A的平分線與BC邊相交于點(diǎn)E，∠B的平分線與AD交于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)O，求證：四邊形ABEF是菱形.證明：①因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形.②所以AD∥BC，③所以∠ABE+∠BAF=180°，④因?yàn)锳E、BF分別是∠BAF、∠ABE的平分線，⑤所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE.⑥所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）=×180°=90°.⑦所以∠AOB=90°⑧所以AE⊥BF，⑨所以四邊形ABEF是菱形.問(wèn)：（1）上述證明是否正確？答：.（2）如有錯(cuò)誤，指出在第步到第步推理錯(cuò)誤，應(yīng)在第步后添加如下證明過(guò)程：.【解析】分析證明過(guò)程是否無(wú)懈可擊，從上一步到下一步的結(jié)論是否嚴(yán)密.【答案】解：（1）不正確；（2）錯(cuò)在第⑧步到第⑨步，應(yīng)在第⑧步后添加如下證明過(guò)程：因?yàn)椤?=∠AFB，∠4=∠