2023屆山西省晉中市榆社縣數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一系列樣本點…的回歸直線方程為若樣本點與的殘差相同，則有()A． B． C． D．2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設，，則A． B．， C． D．，4．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知集合滿足，則集合的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．16．已知函數(shù)圖象如圖，是的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．7．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x34y12對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是A． B． C． D．8．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．9．如果，那么的值是（）A． B． C． D．10．通過隨機詢問111名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計

愛好

41

21

31

不愛好

21

21

51

總計

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”11．已知函數(shù)f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍（）A． B．C． D．12．設函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且滿足.若，是數(shù)列的前項和，則_______.14．設隨機變量，，若，則___________．15．若，則實數(shù)的值為____________.16．在名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有__________種不同的選擇方案.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)，求的取值范圍；（2）設，求證：時，.18．（12分）四棱錐中，底面是中心為的菱形，，．（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角正弦值．19．（12分）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產(chǎn)件這種產(chǎn)品還需要增加投入萬元.經(jīng)測算，市場對該產(chǎn)品的年需求量為件，且當出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為（單位：百件），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當該公司的年產(chǎn)量為多少時，當年所得利潤最大？最大為多少？20．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．21．（12分）已知直線經(jīng)過點P（1，1），傾斜角．（1）寫出直線的參數(shù)方程；（2）設與圓相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積．22．（10分）已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)當時，記，其中為的導函數(shù).證明：對任意，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分別求得兩個殘差，根據(jù)殘差相同列方程，由此得出正確選項.【詳解】樣本點的殘差為，樣本點的殘差為，依題意，故，所以選C.【點睛】本小題主要考查殘差的計算，考查方程的思想，屬于基礎題.2、A【解析】

等價于在上恒成立，即在上恒成立，再構造函數(shù)并求g(x)的最大值得解.【詳解】在上恒成立，則在上恒成立，令，，所以在單調(diào)遞增，故g(x)的最大值為g(3)=.故.故選A【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于基礎題.3、A【解析】

利用一元二次不等式的解法以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出集合，，然后進行交集的運算即可?！驹斀狻浚?；，故選．【點睛】本題主要考查區(qū)間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，以及交集的運算．4、A【解析】

先將復數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念確定對應點，最后根據(jù)對應點坐標確定象限.【詳解】解：∵，∴，∴復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為5、B【解析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項.【詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【點睛】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎題.6、C【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過點的切線的傾斜角最大，過點的切線的傾斜角最小，又因為點的切線的斜率，點的切線斜率，直線的斜率，故，應選答案C．點睛：本題旨在考查導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識的綜合運用．求解時充分借助題設中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進行解答．先將經(jīng)過兩切點的直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過兩切點的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個過程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解．7、D【解析】

根據(jù)的數(shù)值變化規(guī)律推測二者之間的關系，最貼切的是二次關系.【詳解】根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以得出，近似增加一個單位時，的增量近似為2.5，3.5，4.5，6，比較接近，故選D.【點睛】本題主要考查利用實驗數(shù)據(jù)確定擬合曲線，求解關鍵是觀察變化規(guī)律，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).8、C【解析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.9、D【解析】

由誘導公式，可求得的值，再根據(jù)誘導公式化簡即可．【詳解】根據(jù)誘導公式，所以而所以選D【點睛】本題考查了誘導公式在三角函數(shù)式化簡中的應用，屬于基礎題．10、A【解析】

由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A11、C【解析】

令，化簡得，構造函數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖像，結(jié)合兩個函數(shù)圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個正整數(shù)解即有兩個不同的正整數(shù)解，令，，故函數(shù)在區(qū)間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數(shù)解等價于解得故，選C.【點睛】本小題主要考查不等式解集問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12、D【解析】令，則在上有兩個不等實根，有解，故,點晴:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，要注意轉(zhuǎn)化，函數(shù)()在區(qū)間上有兩個極值點，則在上有兩個不等實根，所以有解，故,只需要滿足解答此類問題，應該首先確定函數(shù)的定義域，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項求的前99項和?！驹斀狻慨敃r，符合，當時，符合，【點睛】一般公式的使用是將變?yōu)椋绢}是將變?yōu)?，給后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。14、【解析】

由求出，然后即可算出【詳解】因為，所以解得，所以所以故答案為：【點睛】本題考查的是二項分布的相關知識，較簡單.15、1【解析】

先求的原函數(shù),再令即可.【詳解】易得的原函數(shù),所以,即,故故答案為：1【點睛】本題主要考查定積分的基本運算,屬于基礎題型.16、【解析】

根據(jù)分步計數(shù)原理計算可得.【詳解】從名女生中選出二人,有種選法,從5名男生中選出二人,有種選法,所以根據(jù)分步計數(shù)原理可得,從名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有種不同的選法.故答案為:30.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）見解析【解析】

（1）在區(qū)間上單調(diào)且是增函數(shù)，所以或，進而得到答案．（2）令，，由的導函數(shù)研究的單調(diào)性并求出最小值，則可知在時是增函數(shù)，從而證得答案．【詳解】解：（1）∵是增函數(shù)．又∵在區(qū)間上單調(diào)，∴或．∴或（2）令．∵，．∴時，是減函數(shù)，時，是增函數(shù)，∴時，．∵，∴．∴在時是增函數(shù)．∴，即．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及利用導函數(shù)證明不等式問題，解題的關鍵是令，屬于偏難題目．18、（1）見解析（2）【解析】

（1）由題意，，又，則平面，則，又，則平面；（2）由題意，直線與平面所成的角即為，設菱形的邊長為2，取的中點，連接，則平面，以為原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量求解二面角．【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，故，又，且平面，，∴平面，∵平面，∴又∵，，平面，∴平面；（2）解：由（1）知，平面，故直線與平面所成的角即為，設菱形的邊長為2，由平面幾何知識，，取的中點，連接，則平面，以為原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，，，故所求二面角的正弦值為．【點睛】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查利用空間向量求二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、(1);(2)當年產(chǎn)量為件時，所得利潤最大.【解析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，求得兩段函數(shù)值的取值范圍，從而可得結(jié)果.詳解：（1）由題意得：；（2）當時，函數(shù)對稱軸為，故當時，；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以當年產(chǎn)量為件時，所得利潤最大.點睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數(shù)的解析式，屬于難題.與實際應用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數(shù)，構造分段函數(shù)時，做到分段合理、不重不漏，分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).20、（1）；（2）【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設出點的極坐標，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為（）.由題設知|OA|=2，，于是△OAB面積當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點睛:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.21、（1）（2）2【解析】

（1）直線的參數(shù)方程為，即(t為參數(shù))（2）把直線代入得，則點到兩點的距離之積為22、（1）；（2）見解析．【解析】

(1)求得，由，得，令，利用導數(shù)求得，進而求得參數(shù)的取值范圍；(2)當時，得，令，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，得，進而證得結(jié)論．【