2023屆江西師大附中數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,則P(-2≤Z≤2)=A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.9772．從甲、乙等10個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()（Ａ）種（Ｂ）種（Ｃ）種（Ｄ）種3．己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實數(shù)a的平方為負(fù)數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題4．由直線，曲線以及軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．5．下列說法錯誤的是A．回歸直線過樣本點的中心B．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1C．在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加個單位D．對分類變量X與Y，隨機(jī)變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小6．安排4名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．120種 B．180種 C．240種 D．480種7．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．8．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．10．名同學(xué)參加班長和文娛委員的競選，每個職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．11．某樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，那么（）A． B． C． D．是的估計值12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B．1 C．-1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能圍成的矩形個數(shù)是___________14．已知(1-2x)2018=a15．已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的左視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________；16．已知兩個單位向量，的夾角為，，若，則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且，是棱的中點，點在側(cè)棱上運動.（1）當(dāng)是棱的中點時，求證：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角的正切值為時，求二面角的余弦值.18．（12分）現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學(xué)生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知矩陣，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.20．（12分）已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點，且，求的面積.21．（12分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,又,所以,所以0.954,故選C.【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識,掌握其基礎(chǔ)知識是解答好本題的關(guān)鍵.2、C【解析】∵從10個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法故選C；【考點】此題重點考察組合的意義和組合數(shù)公式；【突破】從參加“某項”切入，選中的無區(qū)別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；3、D【解析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項判斷每個選項的正誤.【詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實數(shù)a的平方為非負(fù)數(shù)，假命題為假命題，A錯誤為假命題，B錯誤是真命題，C錯誤是假命題，D正確故答案選D【點睛】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.4、C【解析】

作出圖象，確定被積函數(shù)以及被積區(qū)間，再利用定積分公式可計算出所圍成封閉圖形的面積?！驹斀狻咳缦聢D所示，聯(lián)立，得，則直線與曲線交于點，結(jié)合圖形可知，所求區(qū)域的面積為，故選：C?！军c睛】本題考查利用定積分求曲邊多邊形區(qū)域的面積，確定被積函數(shù)與被積區(qū)間是解這類問題的關(guān)鍵，考查計算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題。5、D【解析】

分析：A.兩個變量是線性相關(guān)的，則回歸直線過樣本點的中心B.兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)線越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1；C.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加0.2個單位D.正確.詳解：A.兩個變量是線性相關(guān)的，則回歸直線過樣本點的中心；B.兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)線越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1；C.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加0.2個單位D.錯誤，隨機(jī)變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大故選：D.點睛：本題考查了兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系的意義，線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，以及獨立性檢驗等，是概念辨析問題．6、C【解析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：先將5項工作分成4組，再將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)，由分步計數(shù)原理計算即可得到答案。【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：（1）先將5項工作分成4組，有種分組方法；（2）將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，有種情況；分步計數(shù)原理可得：種不同的安排方式。故答案選C【點睛】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意題目中“每人至少完成1項，每項工作由1人完成”的要求，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計算即可.【詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖與體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正負(fù)可排除D.【詳解】，，故為奇函數(shù)，排除選項A、C；又，排除D，選B.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問題，在做這類題時，一般要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性以及特殊點函數(shù)值來判斷，是一道基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A?！军c睛】本題主要考查由直線與圓的位置關(guān)系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長即可．【詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【點睛】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

統(tǒng)計學(xué)中利用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，可知樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計值.【詳解】解：樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，

統(tǒng)計學(xué)中，利用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，

∴樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計值.

故選：D.【點睛】本題考查了利用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】試題分析：∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，∴，把代入可得，解得，故選C.考點：（1）導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；（2）導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分析矩形的組成：兩個長，兩個寬，然后利用分步乘法計數(shù)原理與排列組合思想計算可圍成的矩形數(shù).【詳解】因為矩形由兩個長，兩個寬構(gòu)成，第一步選長：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【點睛】本題考查分步乘法計數(shù)原理和排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對于計數(shù)問題，第一步可考慮是屬于分類還是分步問題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問題.14、3【解析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得(1-2x)2018的展開式的通項，分析可知a1、a3、……a2017為負(fù)值，在【詳解】根據(jù)題意，(1-2x)2018中，其展開式的通項為又由(1-2x)則a1、a3、則在(1-2x)2018中，令x=-1可得：又由a1、a3、則|a故答案為：32018【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，賦值法求項的系數(shù)和，屬于中檔題．15、【解析】

由左視圖得出三棱錐中線面關(guān)系及棱的長度．【詳解】由左視圖知三棱錐的高為，底面等腰三角形的底邊長為，又底面等腰三角形的腰長為2，這個等腰三角形的面積為，．故答案為：．【點睛】本題考查棱錐的體積，解題是由左視圖得出棱錐的高為1，底面等腰三角形的底邊長為，從而由體積公式可求得棱錐的體積，本題還考查了空間想象能力．16、2；【解析】

試題分析：由可得，即，故填2.考點：1.向量的運算.2.向量的數(shù)量積.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）取線段的中點，連結(jié)．可得四邊形是平行四邊形，，即可證明平面；（2）以為原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法二面角的余弦值.試題解析：(1)取線段的中點，連結(jié).∵,∴，且.又為的中點，∴,且.∴,且.∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵兩兩垂直，∴以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,∵三棱柱中，平面，∴即為直線與平面所成的角.設(shè)，則由，得.∴.∴,設(shè)平面的一個法向量為，則令，得，即.又平面的一個法向量為,∴,又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.18、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據(jù)上學(xué)時間不少于1小時的頻率估計住校人數(shù)；（3）根據(jù)二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數(shù)學(xué)期望.詳解：(1)由直方圖可得,∴.(2)新生上學(xué)所需時間不少于1小時的頻率為:,,∴估計1200名新生中有180名學(xué)生可以申請住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時間少于40分鐘的概率為,,,,,,則的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望.點睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.19、(1)當(dāng)時，解得,當(dāng)時，解得;(2)見解析.【解析】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量；（2）根據(jù)矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為3和-1，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量，利用矩陣的乘法法則求出，從而即可求出答案.詳解（1）矩陣的特征多項式為，令，解得，，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.(2)令，得，求得.所以點睛：考查學(xué)生會利用二階矩陣的乘法法則進(jìn)行運算，會求矩陣的特征值和特征向量.20、（1）；（2）.【解析】

（1）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出、與的等量關(guān)系，可得出橢圓的離心率的值；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將的值代入得出橢圓的方程，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式結(jié)合條件可求出，利用點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）橢圓，橢圓長半軸長為，短半軸長為，；（2）設(shè)斜率為的直線的方程為，且、，，橢圓的方程為，由，.消去得，又有.，解得：滿足，直線的方程為.故到直線的距離，.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查橢圓中的弦長與三角形面積的計算，一般將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋