基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)名題同課異構(gòu)

第七章

不合邏輯的發(fā)展：19世紀(jì)的困境噢，上帝，為什么二加二等于四？——亞歷山大·蒲柏歷史進(jìn)入19世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷入更加自相矛盾的處境。雖然它在描述和預(yù)測物理現(xiàn)象方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的預(yù)料，但是，正如許多18世紀(jì)的人所指出的那樣，大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒有邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無誤的。這種自相矛盾的情況在19世紀(jì)上半葉一直存在，同時(shí)許多數(shù)學(xué)家開始研究自然科學(xué)的一些新領(lǐng)域，而且成就斐然。但是數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)問題并沒有得到解決，而且，對(duì)于負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)和微積分及其擴(kuò)展分析數(shù)學(xué)的批評(píng)仍然在繼續(xù)。讓我們來回顧19世紀(jì)早期數(shù)學(xué)所處的困境。我們可以忽略那些依然存在的，對(duì)使用無理數(shù)的微不足道的反對(duì)意見。無理數(shù)，可被看作是直線上的點(diǎn)，它在直觀上并不比整數(shù)、分?jǐn)?shù)更加難以接受，它們和整數(shù)、分?jǐn)?shù)遵循同樣的規(guī)律。對(duì)于它的作用，人們沒有異議。所以，雖然無理數(shù)也沒有邏輯基礎(chǔ)，卻被人們承認(rèn)了。而真正遇到麻煩，直觀上難以被接受的是負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，它們?cè)?9世紀(jì)所遇到的攻擊和非議，其劇烈程度不亞于18世紀(jì)。威廉·弗蘭德(WillianFrend)，笛·摩根的岳父，曾就讀于劍橋大學(xué)的耶穌學(xué)院，在他的《代數(shù)原理》（1796年）序言中直率地宣稱：“用一個(gè)數(shù)減去比自身大的數(shù)是不可理解的，然而許多代數(shù)學(xué)家都這樣做，他們稱小于零的數(shù)為負(fù)數(shù)，認(rèn)為兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘，其結(jié)果為正數(shù)。他們提出每一個(gè)二次方程都有兩個(gè)根，這一點(diǎn)，初學(xué)者在任一給定的方程均可驗(yàn)證。他們用兩個(gè)不可能存在的根使得一個(gè)方程可解，并試圖找出一些不可能存在的數(shù)，這些數(shù)自身相乘后，得到單位元素1。所有這些都是荒誕不經(jīng)的，并為通常思維方式所排斥。但是，從一開始采用這些理論就像其他虛構(gòu)的東西一樣，擁有了許多堅(jiān)定不移的支持者，這些人喜歡對(duì)新生事物篤信不疑，對(duì)正統(tǒng)思想?yún)s深惡痛絕。1800年在馬賽羅(BaronMaseres)出版的一本書中（見第五章）收錄了弗朗德(Frend)的一篇文章。弗朗德在此文中批評(píng)了方程根的個(gè)數(shù)與其次數(shù)相等這一普遍規(guī)律，認(rèn)為它只適用于所有根為正的少數(shù)方程。對(duì)那些接受此規(guī)律的數(shù)學(xué)家，他說：“他們?cè)谂φ页龇匠趟械母?，但?shí)際上這是不可能的。為了掩蓋自己所提出的規(guī)律的錯(cuò)誤，他們不得不給一些數(shù)起一個(gè)特殊的名字。這樣，至少在字面上可以使他們的規(guī)律看起來是正確的……”?？ㄖZ，法國著名的幾何學(xué)家，其名著《關(guān)于無窮小分析的形而上學(xué)的思考》（1797年第一版，1813年修訂版）被翻譯成多種文字，使他在自己的工作領(lǐng)域之外聲譽(yù)鵲起。他斷言存在小于零的數(shù)的概念是錯(cuò)誤的，作為一種在計(jì)算時(shí)有用、假想的東西，負(fù)數(shù)可以被引入代數(shù)，然而，它實(shí)際上并不是數(shù)，并且只能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。18世紀(jì)關(guān)于負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)取對(duì)數(shù)的爭論使許多數(shù)學(xué)家非常困惑，以致于到了19世紀(jì)，他們?nèi)詫?duì)此喋喋不休。1801年，劍橋大學(xué)的伍德豪斯(RobertWoodhouse)發(fā)表了一篇題為《關(guān)于一個(gè)借助虛構(gòu)的數(shù)得到的結(jié)論的正確性》的論文。他在文中說道：“在關(guān)于負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)取對(duì)數(shù)的爭論中，許多數(shù)學(xué)家互相攻擊對(duì)方理論時(shí)所指出的矛盾和謬誤，都可以作為說明那些數(shù)不可用的證據(jù)?！笨挛?，最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在19世紀(jì)初創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)理論，也不柯西認(rèn)為將這些表達(dá)式作為一個(gè)整體是毫無意義的。然而，它們還是說明b=d，“每一個(gè)虛數(shù)方程僅僅是兩個(gè)實(shí)數(shù)方程的符號(hào)表達(dá)式”。1847年，晚年的柯西又提出了一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的理論，可以用來判斷用復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算定和拋棄一個(gè)我們不知道它表示什么，也不知道應(yīng)該讓它表示什么的數(shù)?！?831年，著名的數(shù)理邏輯學(xué)家，并在代數(shù)領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)的笛·摩根在他的著作《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中表示了對(duì)復(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的反對(duì)。他順便說明自己這本書把當(dāng)時(shí)牛津和劍橋使用的最好的書中的一切東西都包攬無遺。他寫道：

一個(gè)作為問題的解出現(xiàn)，就說明一定有某種矛盾或謬誤。只要一不可思議的。然后，笛·摩根舉一個(gè)例子來說明：父親56歲，他的兒子29歲，問什么時(shí)候父親的年齡是兒子的兩倍？通過解方程56+x=2(29+x)得到x=-2，這個(gè)結(jié)果顯然是荒謬的。接著他又說如果我們把x換成-x，然后解方程56-x=2(29-x)就得到x=2。因此，他推斷出：最初問題的提出就是錯(cuò)誤的，答案為負(fù)數(shù)表明第一個(gè)方程的列法是不正確的。談到復(fù)數(shù)，他說：謬絕倫的。然而，通過這些記號(hào)，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來了。它依賴了一個(gè)必須用經(jīng)驗(yàn)來檢驗(yàn)的事實(shí)，即代數(shù)的一般規(guī)則都可以應(yīng)用于這些式子（復(fù)數(shù)），而不會(huì)導(dǎo)致任何錯(cuò)誤的結(jié)果。要把這個(gè)性質(zhì)求助于經(jīng)驗(yàn)，那是與本書開頭所寫的基本原理相違背的。我們不能否認(rèn)實(shí)際情況確實(shí)如此，但是必須想到這只不過是一門很大的學(xué)科中的一個(gè)小小的孤立部分，對(duì)于這門學(xué)科的其余一切分支，這些原理將完整地得到應(yīng)用。這里的原理，他指的是數(shù)學(xué)真理應(yīng)該由公理經(jīng)過演繹推理得出來。接著，他對(duì)負(fù)根和復(fù)根加以比較：在負(fù)的結(jié)果和虛的結(jié)果之間有截然不同的區(qū)別。當(dāng)一個(gè)問題的答案是負(fù)的時(shí)候，在產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的方程里變換一下x的符號(hào)，我們就可以發(fā)現(xiàn)形成那個(gè)方程的方法有錯(cuò)誤，或可證明問題的提法大受局限，因而可以擴(kuò)展，使之容許一個(gè)令人滿意的答案。但當(dāng)一個(gè)問題的答案是虛的時(shí)候，得到的就不是這樣了。稍后，他又說：對(duì)于支持和反對(duì)這種問題（如用負(fù)的量等等）的所有論據(jù)，我們不贊成采用完全介入的辦法來阻止學(xué)生的進(jìn)步，這些論據(jù)他們不能理解，而且論據(jù)本身在兩方面都無確定結(jié)果；但是學(xué)生也許會(huì)意識(shí)到困難確實(shí)存在，這些困難的性質(zhì)可以給他們指明，然后他們也許會(huì)考慮充分多的（分類處理的）例子，從而相信法則所導(dǎo)致的結(jié)果。哈密爾頓，這位在其他領(lǐng)域也頗有建樹的偉大數(shù)學(xué)家，也不愿意接受負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)。1837年他在一篇文章中表明了他的反對(duì)意見：毋庸置疑，當(dāng)它從以下的原理出發(fā)（正如通常已是如此）時(shí)，復(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)學(xué)說，很值得懷疑，甚至是不可相信的：小數(shù)可以減大數(shù)，其結(jié)果小于零；兩個(gè)負(fù)數(shù)，或者說兩個(gè)代表的量小于零的數(shù)可以相乘，其結(jié)果將是一個(gè)正數(shù)，即一個(gè)代表的量大于零的數(shù)；盡管一個(gè)數(shù)，不論其正負(fù)，它的平方（也就是自身相乘）總為正數(shù)，但我們卻可以找到或者說想象或確定這樣一類被稱之為虛數(shù)的數(shù)，雖然其具有負(fù)的平方值，并因此而被假定為一類非正非負(fù)也非零的數(shù)，而它們所被認(rèn)為代表的量既非大于零，又非小于零，更不等于零，盡管在此基礎(chǔ)上邏輯形式可以建立成一個(gè)表示式的對(duì)稱系統(tǒng)，而且通過正確應(yīng)用有用的以此基礎(chǔ)建立的規(guī)則，可以學(xué)會(huì)一種應(yīng)用的技巧，但在這樣一種基礎(chǔ)上，哪里有什么科學(xué)可言。布爾，這位和笛·摩根同負(fù)盛名的邏輯學(xué)大師，在《思維規(guī)律研究》它，我們就可以從可解釋的表達(dá)式經(jīng)過不可解釋的表達(dá)式，而得到可解釋的表達(dá)式。使數(shù)學(xué)家們相信復(fù)數(shù)的不是邏輯，而是威塞爾、阿爾剛和高斯（見第四章）等人的幾何表示。但是，在高斯的著作中，仍然能發(fā)現(xiàn)他并不愿意承認(rèn)復(fù)數(shù)。高斯給出了代數(shù)基本定理（每個(gè)n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)解）的四個(gè)證明。在前三個(gè)證明中（1799、1815、1816年），他處理的是實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，他又預(yù)先假定復(fù)數(shù)與笛卡爾平面中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，盡管沒有明確地定義對(duì)應(yīng)。實(shí)際上，在實(shí)數(shù)平面內(nèi)并不能標(biāo)出x+yi的值，只能把x，y當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)出。另外，高斯的證明并沒有真正用到復(fù)變函數(shù)理論，因?yàn)樗麑⑸婕暗降暮瘮?shù)實(shí)部虛部分開了。1811年，他在給貝塞爾的一封信中更明確地指出，a＋bi可以用點(diǎn)(a,b)表示，在復(fù)平面上從一點(diǎn)到另一點(diǎn)有多條路徑可走。如果從這三個(gè)證明和其他未出版的著作中顯示的思想來判斷，高斯無疑仍在關(guān)注復(fù)數(shù)和復(fù)函數(shù)的地位問題。1825年12月11日，他在一封信中說自己不能從“負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的玄奧中擺脫出然而，如果說高斯還對(duì)自己和其他數(shù)學(xué)家是否承認(rèn)復(fù)數(shù)心存顧忌的話，到1831年，他已經(jīng)無所牽掛了。他公開陳述了復(fù)數(shù)的幾何表示，在同年發(fā)表的一篇論文中，高斯非常清楚地將a+bi表示為復(fù)數(shù)平面中一點(diǎn)，而且用幾何方法實(shí)現(xiàn)了復(fù)數(shù)的加法和乘法（見第四章）。他又指出：雖然現(xiàn)在已充分理解了分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)。但對(duì)于復(fù)數(shù)只是抱了一種容忍的態(tài)度，而不顧它們的巨大價(jià)值。對(duì)許多人來說，它們不過是一種符號(hào)游戲，但是，就能將這些數(shù)歸入算術(shù)的范疇。因此，高斯?jié)M足于這種直觀理解，他認(rèn)為，人們就不會(huì)覺得這些數(shù)非?；逎y懂。他說幾何表述將原本深?yuàn)W的虛數(shù)變得清晰明白了。他引入術(shù)語“復(fù)數(shù)”與笛卡爾的術(shù)語“虛數(shù)”相對(duì)應(yīng)，并隨意地使用沒有事實(shí)基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)，高斯卻未置一詞。在1849年的一篇論文中，高斯更加隨心所欲地使用復(fù)數(shù)，因?yàn)樗J(rèn)為人們已經(jīng)對(duì)復(fù)數(shù)很熟悉了，對(duì)此我們?cè)谝院筮€將提到。但是情況并不完全如此，復(fù)變量的復(fù)函數(shù)理論主要由柯西于19世紀(jì)的頭30年發(fā)展起來并應(yīng)用于流體力學(xué)，在這之后很長一段時(shí)間劍橋大學(xué)的教授們?nèi)灶B固反對(duì)有爭使用。19世紀(jì)上半期，人們又注意到代數(shù)也缺乏邏輯基礎(chǔ)，主要問題是字母被用來表示各類數(shù)并參與運(yùn)算，好像它們具有正整數(shù)的所有令人熟知且易于理解的性質(zhì)，而且任何數(shù)——負(fù)數(shù)、無理數(shù)，復(fù)數(shù)被字母代替時(shí)，運(yùn)算結(jié)果都是正確的。然而，因?yàn)榇祟悢?shù)還未被真正理解，它們的性質(zhì)也是缺乏邏輯基礎(chǔ)的，所以使用字母代替更不合理，但似乎字母代數(shù)表達(dá)式有其自身的邏輯性，否則無法理解它的正確性和有效性，因此在18世紀(jì)30年代數(shù)學(xué)家們著手處理用文字或符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的正確性問題。首先考慮這個(gè)問題的是劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)教授皮科克，他區(qū)分了算術(shù)代數(shù)和符號(hào)代數(shù)，前者是處理表示正整數(shù)的符號(hào)，所以基礎(chǔ)牢固，它只允許運(yùn)算結(jié)果為正整數(shù)；而后者，皮科克以為它采取了算術(shù)代數(shù)規(guī)則，但是除去了只適用正整數(shù)的限制，在算術(shù)代數(shù)中推出的全部結(jié)果與符號(hào)代數(shù)中的結(jié)果都一樣，但算術(shù)代數(shù)中的表達(dá)式在形式上是普遍的，在數(shù)值上是特殊的；而符號(hào)代數(shù)中的表達(dá)式，從數(shù)值到形式上都是普遍的。例如，在算術(shù)代數(shù)中，式子ma+na=(m+n)a，當(dāng)m，n，a都為正整數(shù)時(shí)成立，因而在符號(hào)代數(shù)中，對(duì)于所有的m，n，a均成立。與此類似，(a+b)n的二項(xiàng)展開式中的n在代數(shù)計(jì)算中須為正整數(shù)，如果用不帶末項(xiàng)的一般形式來表示，就對(duì)所有n均成立。皮科克的論證被稱為等價(jià)型的永恒性原理，是他在1833年給皇家科學(xué)促進(jìn)會(huì)題為《關(guān)于分析的某些分支的新近成就和理性的報(bào)告》中提出的，他武斷地肯定：無論什么代數(shù)的型，當(dāng)符號(hào)在形式上是普遍的，而在數(shù)值（正整數(shù)）上是特殊的時(shí)候是等價(jià)的，則當(dāng)符號(hào)在值上和形式上都是普遍的時(shí)候同樣是等價(jià)的。皮科克特地用此原理去證明復(fù)數(shù)運(yùn)算是合理的，他試圖依靠“當(dāng)符號(hào)在形式上是普遍的時(shí)候”來維護(hù)自己的觀點(diǎn)。這樣，人們就不能陳述僅屬于0和1的性質(zhì)，因?yàn)檫@些數(shù)具有特殊的性質(zhì)。皮科克在他的《代數(shù)論著》（1842—1845年）第二版中從公理推出了他的原理。他明確講到代數(shù)如同幾何也是一門推理科學(xué)，因此代數(shù)的步驟必須根據(jù)法則條文的完全陳述，這些法則支配著步驟中用到的運(yùn)算。至少對(duì)于代數(shù)這門演繹科學(xué)而言，運(yùn)算的符號(hào)除了法則給予它的意義之外沒有其他意義。例如，加法不過是表示服從代數(shù)中加法法則的任一步驟。他的法則是，例如加法和乘法的結(jié)合律和交換律，以及如ac=bc而c≠0，則a=b這個(gè)法則。這里，從所采用的公理證明了型的永恒性原理。在19世紀(jì)的大部分期間，由皮科克肯定的代數(shù)觀點(diǎn)被接受了。格雷戈里，笛·摩根和漢克爾在支持它的同時(shí)，在小的方面有所改進(jìn)。這條原理基本上是主觀推想的，它借助未必成立的假定來論證為什么不同類型數(shù)與整數(shù)具有相同的性質(zhì)。雖然它的成立缺乏嚴(yán)密的邏輯性，但在實(shí)踐運(yùn)用上是正確的，所以被人們接受了。顯然，皮科克、格雷戈里和笛·摩根認(rèn)為他們創(chuàng)立了一門源于代數(shù)學(xué)卻獨(dú)立于實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)性質(zhì)的科學(xué)。顯然，將一些單憑經(jīng)驗(yàn)的方法稱為原理無助于改善其邏輯狀況，正如貝克萊所說的：“根深蒂固的偏見也常常會(huì)演變?yōu)樵?，這些性質(zhì)一旦獲得了原理所具有的力量和聲望，不僅它自身，而且由它推出的任何結(jié)論，都會(huì)無需驗(yàn)證而被人們接受?！毙偷挠篮阈栽韺⒋鷶?shù)看作是一門由符號(hào)和關(guān)于符號(hào)組合定律組成的學(xué)科，這種基礎(chǔ)不僅含糊不清，而且不能變通。它極力主張算術(shù)代數(shù)和一般算術(shù)的嚴(yán)格對(duì)等性，照此辦理將會(huì)破壞代數(shù)的普遍性，他們似乎從未認(rèn)識(shí)到一個(gè)公式對(duì)于符號(hào)的一種解釋是正確的，對(duì)于另一種可能就是錯(cuò)誤的。碰巧，這條原理由于四元數(shù)的產(chǎn)生而失效，因?yàn)檫@些數(shù)（現(xiàn)在稱之為超數(shù)）不具備乘法的交換性（見第四章），從而代表超數(shù)的字母也不具有實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的所有性質(zhì)，這樣，這條原理就不成立了。代數(shù)不是只有一種，而是有很多種；只有證明了字母所表示的數(shù)具有字母被賦予的所有性質(zhì)，建立在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上的代數(shù)才能成立。上述兩個(gè)問題，皮科克和他的支持者都沒有認(rèn)識(shí)到，而引入四元數(shù)后不久就顯而易見了。除了代數(shù)，19世紀(jì)早期的分析也處于邏輯困境中。拉格朗日為微積分打下的基礎(chǔ)（見第六章）并未得到所有數(shù)學(xué)家的認(rèn)同，一些人退回到了貝克萊的立場，其余人則認(rèn)為錯(cuò)誤是相互抵償?shù)摹？ㄖZ就是后者之一（他也是法國大革命時(shí)期的軍隊(duì)領(lǐng)袖），在他的著作《關(guān)于無窮分析的形而上學(xué)的思考》中，他的形而上學(xué)“解釋”錯(cuò)誤的確相互抵償。經(jīng)過對(duì)當(dāng)時(shí)各種解決微積分問題的方法的仔細(xì)推敲，卡諾得出結(jié)論：盡管現(xiàn)在的各種方法，包括達(dá)蘭貝爾的極限概念的運(yùn)用，實(shí)際上和古希臘的窮竭法都是等價(jià)的，但是無窮小的方法更為迅捷?？ㄖZ對(duì)于微積分概念的澄清作出了一定的，但不是最主要的貢獻(xiàn)。另外，他將牛頓、萊布尼茨和達(dá)蘭口爾的觀點(diǎn)和希臘的窮竭法聯(lián)系到一起時(shí)，作了錯(cuò)誤的解釋，因?yàn)樵诠畔ＥD幾何、代數(shù)學(xué)中找不出與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念。分析中的錯(cuò)誤在19世紀(jì)繼續(xù)發(fā)展，這方面的例子不勝枚舉，但舉一兩個(gè)就足夠了。所有分析的基礎(chǔ)就是連續(xù)函數(shù)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念。直觀上，連續(xù)函數(shù)可用一條不間斷畫出的連續(xù)曲線來表示（見圖）。而函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線上任意一點(diǎn)P處切線的斜率。直觀看來，一個(gè)連續(xù)函數(shù)應(yīng)在任何一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)存在，然而，一些19世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家都超然于直觀證明之外，而盡可能地用邏輯方法來說明。

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圖不幸的是，如圖所示，一個(gè)在A、B、C處有隅角的連續(xù)函數(shù)在這些點(diǎn)處沒有導(dǎo)數(shù)存在。然而，1806年安培(Andre-MarieAmpère)“證明”了任何函數(shù)在所有的連續(xù)點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。其他類似的“證明”可在拉克魯瓦的三卷本名著《微積分學(xué)教程》和幾乎所有19世紀(jì)主要著作中找到。直到1875年，貝爾特朗(JosephL．F．Bertrand)才在一篇論文中“證明”了可微性。然而，所有這些“證明”都是錯(cuò)誤的。其中一些數(shù)學(xué)家情有可原，因?yàn)樵诤荛L一段時(shí)期內(nèi)函數(shù)的概念沒有很好地建立起來，但是大約到了1830年，這方面的缺陷已得到了彌補(bǔ)。連續(xù)性和可微性是分析的基本概念。從1650年至今，分析一直是人們研究的主要對(duì)象。而數(shù)學(xué)家們對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)竟然如此模糊不清，對(duì)此你就不能不感到震驚。一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤在今天對(duì)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的大學(xué)生來說都是不可原諒的，然而犯錯(cuò)誤的人卻是當(dāng)時(shí)的偉人——傅立葉、柯西、伽羅瓦、勒讓德、高斯，還有其他一些名聲稍遜，但也成就斐然的數(shù)學(xué)家。19世紀(jì)的教科書仍然隨意使用可微、無窮小等意義不明，在既是零，又不是零這一點(diǎn)上前后定義不一致的術(shù)語，當(dāng)時(shí)學(xué)生對(duì)微積分困惑不解，他們所能做的也只是遵循達(dá)蘭貝爾的告誡：“堅(jiān)持，你就會(huì)有信心?！绷_素，1890—1894年曾就讀于劍橋三一學(xué)院，他在《我的哲學(xué)發(fā)展》中寫道：“那些教我無窮小分析的老師找不出有說服力的論據(jù)來證明微積分的基本概念，就只好說服我充滿信心地去接受那些公認(rèn)的詭辯?！?7、18、19世紀(jì)一直困撓數(shù)學(xué)家們的邏輯問題，在分析中表現(xiàn)得尤為嚴(yán)重，特別是在微積分和以微積分為基礎(chǔ)的無窮級(jí)數(shù)、微分方程等領(lǐng)域。然而，在19世紀(jì)早期，幾何又一次成為人們熱衷的研究目標(biāo)。歐氏幾何被擴(kuò)展了，幾何學(xué)的一個(gè)新分支——射影幾何首先被龐斯萊(Jean-VictorPoncelet)正確地預(yù)見到了它的前景。雖然龐斯萊和其他人提出了許多理論，但從其早期歷史來看，這些理論的證明要比提出它們困難得多。當(dāng)時(shí)，主要是借助于17世紀(jì)笛卡爾和費(fèi)馬的工作成就，幾何結(jié)論可用代數(shù)方法來證明，但是，19世紀(jì)初期的幾何學(xué)家對(duì)此不屑一顧，他們認(rèn)為代數(shù)方法和幾何方法格格不入，完全相異。為了用純粹幾何學(xué)方法“建立”結(jié)果，龐斯萊提出了連續(xù)性原理，在他的《論圖形的射影性質(zhì)》中他是這樣說的：“如果一個(gè)圖形從另一個(gè)圖形經(jīng)過連續(xù)變化得出，并且后者與前者一樣的一般，那么可以馬上斷定，第一個(gè)圖形的任何性質(zhì)第二個(gè)圖形也有?！痹鯓优卸ㄟ@兩個(gè)圖形都是一般的呢？他沒有解釋。

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圖為了“證明”此原理的正確性，他舉出歐氏幾何中圖的相交弦的兩段之積相等這條定理（如圖，ab=cd）并指出：當(dāng)交點(diǎn)移到圓外時(shí)，會(huì)得到割線與其圓外段之積相等的定理（圖）。不需其他證據(jù)，連續(xù)性原理就可以保證這條定理的正確性。另外，當(dāng)一條割線變成切線時(shí)，切線與其圓外段變得相等，它們的積仍等于另一條割線與其圓外段的積（ab=c2，見圖）。龐斯萊用來論證連續(xù)性原理的結(jié)論剛好是三個(gè)獨(dú)立完美的定律，能夠滿足和說明他的原理。龐斯萊杜撰了“連續(xù)性原理”這個(gè)術(shù)語，并把此原理抬高成絕對(duì)的真理，在他的那本著作中大膽應(yīng)用，“證明”了射影幾何中的許多新定理。這原理對(duì)龐斯萊來說其實(shí)不是新的。在廣義的哲學(xué)意義下，可以追溯到萊布尼茨，他在解決與微積分有關(guān)的問題時(shí)就用到了這個(gè)原理（見第六章）。此后這個(gè)原理只是偶而提到，直到蒙日(Gas-PardMonge)為了建立某些特殊類型的定理才復(fù)蘇了它。他首先對(duì)一個(gè)圖形的物理位置證明了一個(gè)一般的定理，然后聲稱這定理是普遍成立的，甚至該圖形里的某些元素變成“虛”的時(shí)候也成立。例如，要證明關(guān)于直線與曲線的一個(gè)定理，他就在直線與曲線相交時(shí)證明，然后聲稱既使直線與曲線不相交，交點(diǎn)變成虛時(shí)，結(jié)論也成立。巴黎科學(xué)院的一些院士批評(píng)連續(xù)性原理，認(rèn)為它只具有啟發(fā)的意義，特別是柯西，他說：這條定理嚴(yán)格說只是依靠將某一限定條件下成立的定理擴(kuò)展到?jīng)]有限定條件情況下時(shí)歸納出來的。用于二階曲線時(shí)，它使人得到確切的結(jié)論，但是，其不具備普遍意義，因而不能隨意用于幾何學(xué)，甚至分析學(xué)中的各類問題，否則就會(huì)犯一些明顯的錯(cuò)誤。但遺憾的是，柯西用來攻擊這個(gè)原理的正確性的例子，卻可以用別的方法證明完全為正確。批評(píng)者指出，龐斯萊等人對(duì)這原理的信心其實(shí)是來源于它有代數(shù)上的依據(jù)。事實(shí)上，龐斯萊在俄國獄中的筆記表明他的確曾用代數(shù)學(xué)來檢驗(yàn)過原理的可靠性。龐斯萊也承認(rèn)其證明是建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上的，但他堅(jiān)持認(rèn)為這原理并不依賴于這樣一個(gè)證明。然而可以相當(dāng)肯定的是，龐斯萊依靠了代數(shù)的方法去弄清事情的究竟，然后又以這原理為依據(jù)來肯定幾何的結(jié)果。在19世紀(jì)，盡管存在一些批評(píng)意見，連續(xù)性原理由于它直觀易懂還是被人們接受并且作為一種證明方法得到廣泛應(yīng)用，尤其是幾何學(xué)家，隨心所欲地使用它。然而，從數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展角度來看，連續(xù)性原理只不過是為了解決當(dāng)時(shí)人們用純推理方法不能解決的問題而提出的一個(gè)武斷、偏頗的假定，提出這條原理是為了滿足直觀性和形象性的要求。龐斯萊對(duì)連續(xù)性原理的主張和應(yīng)用只是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗C明他們用正當(dāng)手續(xù)不能證明的定理的一個(gè)例子，但是邏輯困境依然存在于幾何學(xué)的每一處。我們知道（見第五章），主要是18世紀(jì)末、19世紀(jì)初非歐幾何方面的研究工作，暴露了歐氏幾何推理結(jié)構(gòu)上的嚴(yán)重缺陷。然而，數(shù)學(xué)家們沒有立即去彌補(bǔ)它，而是繼續(xù)堅(jiān)持它們的所謂絕對(duì)確定性。因?yàn)闅W氏幾何學(xué)定理的直觀基礎(chǔ)及實(shí)際應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的證據(jù)，甚至無人在意其缺陷。對(duì)非歐幾何來說，情況就不同了。19世紀(jì)早期，除了非歐幾何的創(chuàng)始人——蘭伯特、高斯、羅巴切夫斯基、鮑耶之外，另外一些人也接受了非歐幾何，他們以為自己創(chuàng)造了一門新的學(xué)科，盡管其邏輯基礎(chǔ)不如歐氏幾何那樣牢靠。然而，特別是當(dāng)高斯和黎曼在這方面所從事的工作為人們熟知后，不僅剛才提到的四人而且?guī)缀跛麄兯械睦^承者在沒有證明的情況下，都相信非歐幾何是相容的，也就是說，其定理是彼此不矛盾的。他們都同意薩切利自以為得出矛盾的證法是錯(cuò)誤的。但是，非歐幾何中的矛盾總有可能暴露出來。一旦如此，雙曲幾何中的平行公理假設(shè)就不成立，如薩切利所認(rèn)為的那樣，歐氏幾何中的平行公理也就是歐氏幾何中其他公理的推論。沒有任何證據(jù)能夠證明這種新幾何的相容性和實(shí)用性，否則它至少會(huì)成為一個(gè)令人信服的論據(jù)，數(shù)學(xué)家們只能出于一種信念來接受前輩們認(rèn)為是荒謬的結(jié)論。在非歐幾何相容性問題上的疑問后來又持續(xù)了50年（見第八章）。很明顯，19世紀(jì)任何一門數(shù)學(xué)在邏輯上都是得不到保證的。實(shí)數(shù)系、代數(shù)學(xué)、歐氏幾何，新出現(xiàn)的非歐幾何和射影幾何，它們要么邏輯不完善，要么根本就沒有。分析，也就是微積分及其擴(kuò)展，不僅在缺乏實(shí)數(shù)和代數(shù)邏輯基礎(chǔ)的情況下隨意使用，而且在導(dǎo)數(shù)，積分，無窮級(jí)數(shù)中，一些概念也急需澄清。如果說數(shù)學(xué)沒有一樣?xùn)|西是建立在牢固基礎(chǔ)上的，此話一點(diǎn)也不為過。從數(shù)學(xué)本身來講，許多數(shù)學(xué)家對(duì)證明的態(tài)度真是令人難以置信。在18世紀(jì)，分析陷入了明顯的困境，以致使一些數(shù)學(xué)家放棄了這個(gè)領(lǐng)域的嚴(yán)密性。因而洛爾認(rèn)為微積分只是一些精巧的謬誤的集合，其他人則像吃不著葡萄的狐貍，極力嘲弄希臘人的嚴(yán)密性。克萊洛在《幾何原理》中說道：歐幾里得自找麻煩地去證明什么兩個(gè)相交的圓的圓心是不同的啦，什么一個(gè)被圍于另一個(gè)三角形內(nèi)的三角形，其各邊之和小于外圍三角形的各邊之和啦，這是不足為怪的。這位幾何學(xué)家必須去說服那些冥頑不化的詭辯論者，而這些人是以拒絕最明顯的真理而自豪的；因此，像邏輯那樣，幾何必須依賴形式推理去反駁他們?？巳R洛又說道：“但是一切都倒了個(gè)個(gè)，所有那些涉及到常識(shí)且早已熟知的事情的推理，只能掩蓋真理，使讀者厭倦，在今天人們對(duì)它已不屑一顧了?！崩仕蓟譶e-Wronski)，一位偉大的計(jì)算方法專家，但他不關(guān)心數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，表達(dá)了18世紀(jì)和19世紀(jì)初的這種觀點(diǎn)。他的一篇論文被巴黎科學(xué)院的一個(gè)委員會(huì)認(rèn)為缺乏嚴(yán)密性，而朗思基回答說，這是“迂腐，一種對(duì)達(dá)到目的的方法偏愛的迂腐”。拉克魯瓦在三卷本《微積分教程》第二版序言中說，“希臘人所煩惱的這種瑣碎的東西，我們不再需要了。”當(dāng)時(shí)典型的態(tài)度是，為什么要自找麻煩，用深?yuàn)W的推理去證明那些人們根本沒有懷疑過的東西呢？或者用不太明顯的東西去證明較為顯然的東西呢？甚至到了19世紀(jì)，雅可比（在他未完成的關(guān)于橢圓函數(shù)的著作中留有許多疑點(diǎn)）還說，“要達(dá)到像高斯那樣的嚴(yán)密，我們沒有時(shí)間?！币恍┤斯幻镆暷欠N沒必要的證明，大多數(shù)人并不關(guān)心問題的嚴(yán)密性。他們經(jīng)常說的一句話是，傳統(tǒng)阿基米得方法認(rèn)為是嚴(yán)密的，而用現(xiàn)代方法則不是。這在希臘數(shù)學(xué)中所沒有的微分學(xué)的工作中顯得尤為突出。達(dá)蘭貝爾1743年說“直到現(xiàn)在……人們總是熱衷于擴(kuò)大數(shù)學(xué)的范疇，卻很少闡明其來源，注重向高層次發(fā)展，而很少考慮加固其基礎(chǔ)。”這句話對(duì)整個(gè)18世紀(jì)和19世紀(jì)初的數(shù)學(xué)工作做了很好的注釋。到19世紀(jì)中期，對(duì)證明的考慮更少了，以至于一些數(shù)學(xué)家甚至不愿意費(fèi)腦筋去證明他們?cè)揪涂梢猿浞肿C明的東西。杰出的代數(shù)幾何學(xué)家、矩陣代數(shù)的發(fā)明者凱萊發(fā)表了關(guān)于矩陣的一個(gè)定理，現(xiàn)在稱為凱萊—哈密爾頓定理（一個(gè)矩陣就是一些數(shù)字的矩形排列，在方陣中每行每列都有n個(gè)數(shù)字）。他證明了他的定理對(duì)2×2階矩陣是正確的，并在1858年的一篇論文中說：“我認(rèn)為沒有必要對(duì)一般n×n階矩陣去費(fèi)力證明這個(gè)定理?！蔽鳡柧S斯特(James

JosephSylvester)，杰出的英國代數(shù)學(xué)家，曾在1876年至1884年期間任英國霍普金斯大學(xué)教授。上課時(shí)他總是說，“我還沒有證明這個(gè)結(jié)果，但我能像肯定任何必然事物一樣肯定它?！比缓笏眠@個(gè)結(jié)果證明新的定理，但是他經(jīng)常又在下一次課結(jié)束前承認(rèn)他上節(jié)課所肯定的結(jié)果是錯(cuò)誤的。1889年他證明了一個(gè)關(guān)于3×3階矩陣的定理，但僅僅指出了對(duì)n×n階矩陣證明此定理時(shí)必須考慮的幾點(diǎn)?？紤]到歐幾里得在處理幾何和整數(shù)時(shí)的良好開端，數(shù)學(xué)這種不合邏輯的發(fā)展就提出了這樣一個(gè)問題：為什么數(shù)學(xué)家們要如此徒勞無功地去使后來的發(fā)展——無理數(shù)、負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)學(xué)、微積分及其擴(kuò)展邏輯化？我們已經(jīng)注意到（見第五章），就歐氏幾何和整數(shù)而言，這些都是非常明顯和直觀易懂的，因此更容易發(fā)現(xiàn)基本原理或公理，從中又能得到其他性質(zhì)，盡管歐氏幾何的發(fā)展也存在一些缺陷。另一方面，無理數(shù)、負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)、字母運(yùn)算和微積分概念卻極其難以掌握。還有更深一層的原因。數(shù)學(xué)大師們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)無意識(shí)地做了微小的改變，到1500年左右，數(shù)學(xué)概念成了經(jīng)驗(yàn)的直接理想化或抽象化。那時(shí)，負(fù)數(shù)和無理數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并被印度人和阿拉伯人所接受。然而，盡管他們的貢獻(xiàn)得到人們的承認(rèn)，但就證明而言，他們只滿足于直覺和經(jīng)驗(yàn)證明。而且當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)、使用字母的廣義代數(shù)，微分和積分的概念紛紛進(jìn)入數(shù)學(xué)，這門學(xué)科由于人們大腦深處的概念而處于統(tǒng)治地位。特別是導(dǎo)數(shù)或瞬間變化率的概念，盡管速度這個(gè)物理現(xiàn)象有直觀基礎(chǔ)，但還遠(yuǎn)不是理性的產(chǎn)物，它在本質(zhì)上完全不同于數(shù)學(xué)三角形。同樣對(duì)希臘人謹(jǐn)慎避開的無窮大量和巧妙地防止其出現(xiàn)的無窮小量，以及負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)在理解時(shí)所做出的努力也是勉為其難的。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們沒有認(rèn)識(shí)到這些概念不是來自于直接經(jīng)驗(yàn)，而是心智的創(chuàng)作。換句話說，數(shù)學(xué)家們是在貢獻(xiàn)概念而不是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出思想，究其成因，他們是將感性知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槔硇灾R(shí)。由于這些概念被證明越來越實(shí)用，數(shù)學(xué)家們起初還忸怩作態(tài)，后來就變得肆無忌憚了，久而久之，人們也就認(rèn)為這是無可指責(zé)且理所當(dāng)然的了。從1700年起，越來越多的從自然中提取和在人思想中產(chǎn)生的觀念進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域并幾乎被毫不懷疑地接受，由此引起的不良后果終于促使數(shù)學(xué)家們不得不從現(xiàn)實(shí)世界之上去審視他們的這門學(xué)科。因?yàn)樗麄儧]有認(rèn)識(shí)到新概念特征的變化，他們也沒有認(rèn)識(shí)到他們所需要的是公理化發(fā)展的基礎(chǔ)，而不是那些自明的真理。當(dāng)然，新概念要比舊概念精致得多，而且就我們目前所了解的情況看，合適的公理基礎(chǔ)并不容易建立。那么，數(shù)學(xué)家們?nèi)绾沃浪麄冊(cè)撏翁幦ツ?？同時(shí)，考慮到他們的證明傳統(tǒng)，他們?cè)趺锤抑挥靡?guī)則就能保證結(jié)論的可靠性呢？毫無疑問，解決物理問題就是他們的目標(biāo)，一旦物理問題被數(shù)學(xué)公式化后，就可利用精湛的技巧，從而新的方法和結(jié)論就出現(xiàn)了。數(shù)學(xué)公式的物理意義引導(dǎo)著數(shù)學(xué)的步驟，也經(jīng)常給數(shù)學(xué)步驟提供部分論據(jù)，這個(gè)過程在原理上同一個(gè)幾何定理的論證沒有什么差別。在證明幾何定理時(shí)，對(duì)圖形中一些顯而易見的事實(shí)，盡管沒有公理或定理支持它們，還是被利用了。除了物理思維，在所有新的數(shù)學(xué)工作中，還有強(qiáng)烈的直覺作用，基本概念和方法總是在對(duì)結(jié)論合理的證明以前很久就被直覺捕捉到了。杰出的數(shù)學(xué)家，不管他們?cè)鯓禹б馔秊?，都有一種本能，即保護(hù)他們自己免遭滅頂之災(zāi)。偉大人物的直覺比凡人的推演論證更為可靠。由于某些數(shù)學(xué)公式能抓住物理問題的本質(zhì)，18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們特別熱衷于公式。顯然，對(duì)他們來講公式是如此的富有吸引力，以至于他們認(rèn)為僅通過用像微分和積分這樣的形式化運(yùn)算，從一個(gè)公式到另一個(gè)公式的推導(dǎo)就足以證明它的正確性了。符號(hào)的魔力泛濫，耗盡了他們的理性。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄時(shí)代，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)家們?cè)趲缀鯖]有邏輯支持的前提下，勇于開拓并征服了眾多的科學(xué)領(lǐng)域。但是我們?nèi)匀恍拇嬉蓡枺M管數(shù)學(xué)家們，特別是在18世紀(jì)知道微積分的概念不清而且證明不充分，他們卻那么自信他們的結(jié)果是正確的。部分答案是由于有許多結(jié)果被經(jīng)驗(yàn)和觀測所證實(shí)，其中最突出的是天文學(xué)的一些預(yù)言（見第二章）。但是另一個(gè)有關(guān)的因素導(dǎo)致17和18世紀(jì)的人們相信他們的工作，那就是他們確信上帝已經(jīng)數(shù)學(xué)化地設(shè)計(jì)了世界，而數(shù)學(xué)家們正在發(fā)現(xiàn)和揭示這種設(shè)計(jì)（見第二章）。盡管17世紀(jì)和18世紀(jì)的人們的發(fā)現(xiàn)是不完全的，但他們認(rèn)為它是基本真理的一部分。他們正在展示上帝的杰作并將最終達(dá)到永恒真理的彼岸。這樣一種信仰支撐著他們的精神和勇氣，而豐碩的科學(xué)成果則是養(yǎng)育他們的心智和使他們能夠不懈追求的精神食糧。數(shù)學(xué)家們所發(fā)現(xiàn)的只是尋覓中的寶物的一部分，但卻富含著更多寶物將被發(fā)現(xiàn)的啟示。如果應(yīng)用起來如此精確的數(shù)學(xué)規(guī)律卻缺乏精確的數(shù)學(xué)證明的話，那么還需不需要詭辯了呢？由科學(xué)論據(jù)支持的宗教信仰代替了虛弱的或者根本不存在的邏輯力量，他們渴望維護(hù)上帝的真理，致使他們不斷地建造沒有牢固基礎(chǔ)的空中樓閣。他們用成功來安撫良心，的確，成功是如此地令人陶醉，以致于人們?cè)诖蠖鄶?shù)時(shí)間里忘記了理論和嚴(yán)密性。偶爾向哲學(xué)和神秘教義的求助掩蓋了一些困難，以便它們不再顯現(xiàn)。從邏輯上講，17世紀(jì)，18世紀(jì)及19世紀(jì)早期的工作肯定是粗糙不堪的，但也不乏獨(dú)創(chuàng)性。為了貶抑這些工作的成就，其中的錯(cuò)誤和不準(zhǔn)確處被19世紀(jì)后期和20世紀(jì)的人們不公平地強(qiáng)調(diào)了。17、18世紀(jì)的數(shù)學(xué)就像一個(gè)經(jīng)營大宗業(yè)務(wù)、卻由于管理不善而招致破產(chǎn)的大公司。當(dāng)然，顧客——購買并利用數(shù)學(xué)商品的科學(xué)家們和債權(quán)人——那些毫不猶豫地向數(shù)學(xué)股票投資的大眾，并不知道真正的財(cái)政狀況。所以，我們發(fā)現(xiàn)了極其荒謬的事情，在今天高度發(fā)展的數(shù)學(xué)的邏輯，當(dāng)時(shí)卻處于一種十分可憐的窘境。但數(shù)學(xué)在描述和預(yù)測自然方法上的成功給人的印象太深刻了，所以不僅僅是希臘人，所有18世紀(jì)的知識(shí)分子都公然支持宇宙是按數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的，且把數(shù)學(xué)作為人類理性的壯